贵州省遵义市2023年高二数学第一学期期末预测试题含解析

贵州省遵义市2023年高二数学第一学期期末预测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.2．若直线：与：互相平行，则a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或3．设双曲线C：的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A. B.2C. D.4．数列，，，，…，的通项公式可能是（）A. B.C. D.5．已知动点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则线段的长度的最小值为（）A. B.4C. D.6．已知函数在处有极小值，则c的值为（）A.2 B.4C.6 D.2或67．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.8．已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（）A.4条 B.3条C.2条 D.1条9．设，为双曲线的上，下两个焦点，过的直线l交该双曲线的下支于A，B两点，且满足，，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.10．下列问题中是古典概型的是A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5概率D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率11．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤12．已知点是椭圆上一点，点，则的最小值为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若圆与圆相交，则的取值范围是__________.14．若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.15．如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为__________16．求值______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆过，两点，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由18．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；.（2）求数列的前n项和.19．（12分）已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1（1）求椭圆C的方程；（2）直线交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形，求的面积的取值范围20．（12分）如图，在正四棱锥中，为底面中心，，为中点，（1）求证：平面；（2）求：（ⅰ）直线到平面的距离；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值21．（12分）已知函数（…是自然对数的底数）.（1）求的单调区间；（2）求函数的零点的个数.22．（10分）已知圆，是圆上一点，过A作直线l交圆C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且A为的中点.（1）求圆C在点A处的切线方程；（2）求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率【详解】由题意又则有：可得：，，中，中．可得：解得：则有：故选：C2、A【解析】根据直线：与：互相平行，由求解.【详解】因为直线：与：互相平行，所以，即，解得或，当时，直线：，：，互相平行；当时，直线：，：，重合；所以，故选：A3、A【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，因为O为的中点，所以,而,则，为等腰三角形，故，由，得，又为等腰直角三角形，故，即，解得，即，故选：A.4、D【解析】利用数列前几项排除A、B、C，即可得解；【详解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，故选：D5、A【解析】求出的最小值，由切线长公式可结论【详解】解：由，得最小时，最小，而，所以故选：A.6、A【解析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.【详解】由题意，，则，所以或.若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意；若c=6，则，函数R上单调递增，不合题意.综上：c=2.故选：A.7、C【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.【详解】则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C8、A【解析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.①直线与双曲线只有一个公共点；②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；③设过的切线方程为与双曲线联立，可得，由，即，解得，直线的条数为1.综上可得，直线的条数为4.故选：A,.9、A【解析】设，表示出，由勾股定理列式计算得，然后在，再由勾股定理列式，计算离心率.【详解】由题意得，，且，如图所示，设，由双曲线的定义可得，，因为，所以，得，所以，在中，，即.故选：A【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)10、D【解析】A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．故选D【考点】古典概型的判断11、A【解析】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，，解得，故选：A12、D【解析】设，则，.所以当时，的最小值为.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据圆心距小于两半径之和，大于两半径之差的绝对值列出不等式解出即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆，即的圆心为，半径为，由于两圆相交，故，即，解得，即的取值范围是，故答案为：14、【解析】首先根据圆与圆的位置关系得到公共弦方程，再根据弦长求解即可.【详解】根据得公共弦方程为：.因为公共弦长为，所以直线过圆的圆心.所以，解得.故答案为：15、28【解析】设椭圆的另一个焦点为由椭圆的几何性质可知：，同理可得，且，故,故答案为.16、【解析】将原式子变形为：，将代入变形后的式子得到结果即可.【详解】将代入变形后的式子得到结果为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，，【解析】（1）根据椭圆E：（）过，两点，直接代入方程解方程组，解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到，结合题意求解即可，当切线斜率不存在时，验证即可.【小问1详解】将，的坐标代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的方程为【小问2详解】假设满足题意的圆存在，其方程为，其中，设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，当直线的斜率存在时，令直线的方程为，①将其代入椭圆的方程并整理得，由韦达定理得，，②因为，所以，③将①代入③并整理得，联立②得，④因为直线和圆相切，因此，由④得，所以存在圆满足题意当切线的斜率不存在时，易得，由椭圆方程得，显然，综上所述，存在圆满足题意当切线的斜率存在时，由①②④得，由，得，即当切线的斜率不存在时，易得，所以综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且18、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件结合当时，探求数列的性质即可计算作答.(2)由(1)求出，再利用错位相减法计算作答.小问1详解】依题意，当时，因为，则，当时，，解得，于是得数列是以1为首项，为公比的等比数列，则，所以的通项公式是.【小问2详解】由(1)可知，，则，因此，两式相减得：，于是得，所以数列的前n项和.19、（1）（2）【解析】（1）由条件可得，解出即可；（2）设，，取AB的中点，联立直线与椭圆的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面积可得答案.小问1详解】令，得，所以，解得，，所以椭圆C的方程：【小问2详解】设，，取AB的中点，因为为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以且，联立得，则∴又∵，∴，且，，∴，由得，∴∴20、（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）（i）利用空间向量法可求得直线到平面的距离；（ii）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】证明：连接，则为的中点，且，在正四棱锥中，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系，则、、、、、、、，，设平面的法向量为，，，则，取，则，因为，则，又因为平面，所以，平面.【小问2详解】解：（i），所以，直线到平面的距离为.（ii），则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.21、（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）时函数没有零点；或时函数有且只有一个零点；时，函数有两个零点.【解析】（1）先对函数求导，然后分和两种情况判断导函数正负，求其单调区间；（2）由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，从而可得答案【详解】（1）因为，所以，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得；令，得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）显然0不是函数的零点，由，得.令，则.或时，，时，，所以在和上都是减函数，在上是增函数，时取极小值，又当时，.所以时，关于的方程无解，或时关于的方程只有一个解，时，关于的方程有两个不同解.因此，时函数没有零点，或时函数有且只有一个零点，时，函数有两个零点.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数判断函数