数字信号处理-面向非电类专业 课件全套 李雨青

数字信号处理第一章绪论数字信号处理的基本概念数字信号处理的基本组成数字信号处理的实现方法数字信号处理的特点数字信号处理的应用绪论数字信号处理的基本概念数字信号处理的基本组成数字信号处理的实现方法数字信号处理的特点数字信号处理的应用数字信号处理的基本概念信号的定义信号的分类系统的定义及分类信号处理的定义及分类

数字信号处理的基本概念信号的定义信号的分类系统的定义及分类信号处理的定义及分类

信号的定义

信号是信息的载体和物理表现形式，是传递信息的函数。通常是一个自变量或几个自变量的函数。

信息则是信号的具体内容。

信号的表现形式信号我们并不陌生，如上课铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图像信号等等。数字信号处理的基本概念信号的定义信号的分类系统的定义及分类信号处理的定义及分类

信号的分类一维时间信号/二维信号周期信号/非周期信号能量信号

/功率信号实信号/

复信号连续时间信号/

离散时间信号/

数字信号信号的分类：一维时间信号/多维信号

一维时间信号多数是以时间或频率为自变量，记作:

二维信号自变量可以为空间坐标，也可以是其他二维信号自变量物理量，记作:多维信号有多个自变量。信号的分类周期信号/非周期信号

满足的信号称为周期信号，反之称为非周期信号。信号的分类能量信号

/功率信号信号的能量E

信号的功率P能量信号

/功率信号信号的能量E

若信号f(t)的能量有界，即

E<∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时

P=0能量信号

/功率信号

信号的功率P

若信号f(t)的功率有界，即

P<∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时

E=∞信号的分类连续时间信号/

离散时间信号/

数字信号连续时间信号即模拟信号在时间和幅值都是连续的；记：离散时间信号：在时间上是离散的，幅值是连续的，用k表示离散时间变量。数字信号：时间与幅值都是离散的连续时间信号

tf(t)0k012f(k)离散时间信号数字信号处理的基本概念信号的定义信号的分类系统的定义及分类信号处理的定义及分类

系统的定义及分类系统是将信号进行处理（或变换）以达到人们要求的各种设备。系统可以是硬件的，也可以是软件编程实现的。系统的分类（按所处理的信号种类不同分类）连续时间信号系统（模拟信号系统）离散时间信号系统

数字信号系统数字信号处理的基本概念信号的定义信号的分类系统的定义及分类信号处理的定义及分类

信号处理的定义及分类信号处理是研究用系统对含有信息的信号进行处理(变换)以获得人们所希望的信号，从而达到提取信息，便于利用的一门学科。信号处理的分类模拟信号处理数字信号处理信号处理的定义及分类模拟信号处理模拟信号处理是通过一些模拟器件如：晶体管，运算放大器，电阻，电容，电感等组成的网络来完成对信号的处理。CRxa(t)ya(t)信号处理的定义及分类数字信号处理数字信号处理是利用计算机或专用处理设备，采用数值计算的方法对信号进行采集、变换、滤波、估值、增强、压缩、识别等处理。延时x(n)y(n)a绪论数字信号处理的基本概念数字信号处理的基本组成数字信号处理的实现方法数字信号处理的特点数字信号处理的应用数字信号处理的基本组成o模拟信号

防混叠模拟低通滤波器

A/D转换器抽样保持量化编码DSP

D/A转换器抽样保持量化编码平滑用模拟低通滤波器模拟信号

数字信号数字信号处理的基本组成o模拟信号

防混叠模拟低通滤波器

A/D转换器抽样保持量化编码DSP

D/A转换器抽样保持量化编码平滑用模拟低通滤波器模拟信号

数字信号防混叠模拟低通滤波器输入模拟信号时，避免频域混叠，通过一个防混叠模拟低通滤波器，把会造成混叠失真的高频分量加以滤除。模拟-数字转换器,完成将模拟信号转换成数字信号。A/D转换器包括了抽样保持及量化编码两部分。

A/D转换器数字信号处理的基本组成o模拟信号

防混叠模拟低通滤波器

A/D转换器抽样保持量化编码DSP

D/A转换器抽样保持量化编码平滑用模拟低通滤波器模拟信号

数字信号平滑用模拟低通滤波器平滑低通滤波器把阶梯形输出平滑为光滑的所需的输出信号。数字-模拟(D/A)转换器，若输出为数字信号则可直接送出；若需要输出模拟信需后接一个D/A转换器。

D/A转换器绪论数字信号处理的基本概念数字信号处理的基本组成数字信号处理的实现方法数字信号处理的特点数字信号处理的应用数字信号处理的实现方法软件实现法硬件实现法DSP芯片法数字信号处理的实现方法软件实现法软件实现方法是指按照原理和算法，通过自行编写程序或者采用已有的程序在通用计算机上实现数字信号处理的实现方法

硬件实现法是按照具体的要求和算法，设计用乘法器、加法器、延时器、控制器、存储器以及输入输出接口等基本部件构成的硬件结构图来实现的一种方法硬件实现法数字信号处理的实现方法DSP芯片法DSP芯片具有更加适合于数字信号处理的软件和硬件资源，可用于复杂的数学信号处理算法绪论数字信号处理的基本概念数字信号处理的基本组成数字信号处理的实现方法数字信号处理的特点数字信号处理的应用数字信号处理的特点灵活性高高精度和高稳定性容易大规模集成可以实现模拟系统无法实现的诸多功能绪论数字信号处理的基本概念数字信号处理的基本组成数字信号处理的实现方法数字信号处理的特点数字信号处理的应用数字信号处理的应用语音信号处理图像信号处理通信信号处理雷达信号处理生物医学信号处理地质勘察第2章离散时间信号和

离散时间系统掌握常见离散时间信号的表示及运算。掌握离散时间系统的线性、时不变性、因果性及稳定性的含义及判别方法。掌握采样定理。离散时间信号离散时间信号的由来常用的典型序列序列的运算序列的周期1.1离散时间信号(序列)

Discrete-timesignals(Sequences)离散时间信号的由来离散时间信号（又称序列），是连续时间信号以时间T采样(这儿是指等间隔采样)得到的，T称为采样间隔（单位：秒）。一段32ms语音信号以ms等间隔采样离散时间信号的由来一般，采样间隔是均匀的，用x(nT)表示离散时间信号在nT点上的值，n为整数。由于x(nT)顺序存放在存储器中,我们通常直接用x(n)表示离散时间信号－序列。tx(t)0T2T3T4T5T6T7T8T…………=nT|t=nT离散时间信号的由来一般，采样间隔是均匀的，用x(nT)表示离散时间信号在nT点上的值，n为整数。由于x(nT)顺序存放在存储器中,我们通常直接用x(n)表示离散时间信号－序列。0T2T3T4T5T6T7T8T9T0123456789n…………t=nTx(n)x(nT)离散时间信号的表示方法1、用集合的方式(数列形式)表示：注：用下划线标出n=0在序列中的位置，上面序列的x(0)=12、用公式表示：3、用波形图表示：图中横坐标n表示离散的时间坐标，仅在n为整数时才有意

义，纵坐标代表信号点的值。4、用单位抽样序列表示.常用的典型序列1、单位抽样序列(n)(Unitsamplesequence)(t)是脉宽为零，幅度为的一种数学极限，是非现实信号。单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时域离散冲激。单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到脉冲信号是偶函数；脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小；脉冲高度逐渐变大，直至无穷大；脉冲面积一直保持为1。2、单位阶跃序列u(n)(Unitstepsequence)

思考：单位取样序列(n)与单位阶跃序列u(n)的关系

注意：单位取样序列u(n)与单位阶跃信号u(t)的区别单位阶跃信号的定义为3、矩形序列RN(n)(Rectangularsequence)

RN(n)n01231N-1……………………4、实指数序列(Real-valuedexponentialsequence)当|a|≥1时，序列发散。当|a|<1时，序列收敛。当|a|<1，且a<0时，序列是摇动的正弦序列的由来抽样其中

，T是抽样间隔(抽样周期)。

0(弧度)称为数字域频率，

0(弧度/秒)称为模拟域频率。5、正弦序列(Sinusoidalsequence)正弦序列的由来的举例

0称为数字域频率。6、复指数序列(Sinusoidalsequence)对于复指数序列和正弦序列，只需分析频率

或

就够了序列的基本运算1、序列的和两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的

新序列。

x(n)n012345621211y(n)n012345611111z(n)n0123456323221、序列的和x(n)n012345621211y(n)n0123456111116n5z(n)0123432322z(n)=x(n)+y(n)……z(0)=x(0)+y(0)=3z(1)=x(1)+y(1)=2z(2)=x(2)+y(2)=3z(3)=x(3)+y(3)=2z(4)=x(4)+y(4)=2……

x1=wavread(‘w1.wav’);x2=wavread(‘w2.wav’);l1=length(x1);l2=length(x2);l=min(l1,l2);y=x1(1:l)+x2(1:l);figure(1);plot(x1);gridon;figure(2);plot(x2);gridon;figure(3);plot(y);gridon;wavwrite(y,‘w3.wav’);%读入声音文件%序列求和%画图显示结果%结果保存为声音文件%读入声音文件%画图显示结果%画图显示结果%两个序列有相同的n‘w1.wav’‘w2.wav’‘w3.wav’序列的基本运算2、序列的积两序列的积是指同序号n的序列值逐项对应相乘而构成的

新序列。

z(n)=x(n).y(n)……z(0)=x(0)*y(0)=2z(1)=x(1)*y(1)=1z(2)=x(2)*y(2)=2z(3)=x(3)*y(3)=?z(4)=x(4)*y(4)=?……

x1=wavread(‘w1.wav’);x2=wavread(‘w2.wav’);l1=length(x1);l2=length(x2);l=min(l1,l2);y=x1(1:l,1).*x2(1:l);y=x1.*x2;figure(1);plot(x1);gridon;figure(2);plot(x2);gridon;figure(3);plot(y);gridon;wavwrite(y,‘w4.wav’);%读入声音文件%序列求积%画图显示结果%结果保存为声音文件%读入声音文件%画图显示结果%画图显示结果%两个序列有相同的n‘w1.wav’‘w2.wav’‘w4.wav’两个序列相加或相乘得到的是一个数一个序列不确定ABC提交单选题1分此题未设置答案，请点击右侧设置按钮序列的基本运算3、累加y(n)

的某一个

值等于x(n)n及n以前所有值之和序列的基本运算4、序列的绝对和当(为常数)时，称序列

为绝对可和序列序列的基本运算5、序列的移位，若某序列为，则称是的移位序列为延时序列为超前序列

x=wavread(‘w1.wav’);l=length(x);n=0:l-1;m=30000;y1=[zeros(1,m),x];y2=[x,zeros(1,m)];figure(1);plot(x1);gridon;figure(2);plot(n+m,x1);gridon;figure(3);plot(n-m,x1);gridon;wavwrite(y1,‘w5.wav’);

%读入声音文件%画图显示结果%结果保存为声音文件%实现x(n-m)%画图显示结果%画图显示结果%实现x(n+m)%结果保存为声音文件wavwrite(y2,‘w6.wav’);‘w1.wav’‘w2.wav’‘w5.wav’延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存起来，参与这个时刻的运算。回声可以用延迟单元来生成。直接声音和它的延迟了R个周期的单个回声可以用下面的式子来表示（为回声的衰减系数）：原声：混响1：混响2：=0.3,R=5000=0.3,R=10000原声混响1混响2

(n)n01234561-1-2-3-4u(n)n01234561-1-2-3-478910…………u(n-1)n01234561-1-2-3-478910…………用单位阶跃序列u(n)表示单位取样序列(n)：…………1

(n)n0123456-1789

(n-1)1

(n-2)1

(n-3)1

(n-4)1

(n-5)1

(n-6)101234561-1-2-3-478910…………u(n)n用单位取样序列(n)表示单位阶跃序列u(n)：RN(n)n01231N-1……………………u(n)1n0123N-1……4NN+1N+2……u(n-N)…………任意序列2(n-1)n01234562-1-2-3-43(n-2)n01234563-1-2-3-4x(n)n01234563-1-2-3-421对于任意序列可以用单位抽样序列的移位加权和表示

序列的基本运算6、尺度变换与翻转，若某序列为，则称是的尺度变换序列的基本运算7、差分运算前向差分后向差分序列的基本运算8、卷积和运算设序列

和，则二者的卷积和定义为8、卷积和运算图形法解析图形结合法不进位对位相乘法卷积和的矩阵运算（1）翻转图形法（2）移位（3）相乘（4）求和计算两个序列的卷积和涉及多种序列运算，以下哪种运算不包含在其中？序列的移位序列的数乘序列相乘序列的反转ABCD提交单选题1分此题未设置答案，请点击右侧设置按钮8、卷积和运算图形法的非零区间为的非零区间为的非零区间为的非零区间确定

解析图形结合法已知，，求解

解析图形结合法的非零区间

的非零区间

不进位对位相乘法

设，，求的非零区间为卷积和的矩阵运算

的非零区间为设序列

的非零区间为序列

的非零区间为卷积和的矩阵运算

的非零区间为卷积和的矩阵运算

的非零区间为

求与设解:9、相关运算设序列

和，则二者的互相关运算为若序列和是满足绝对可和的能量信号

9、相关运算设序列

和，则二者的互相关运算为

10、共轭对称与共轭反对称运算

共轭对称共轭反对称

序列的周期如果对于所有的

，都存在一个最小的正整数满足则称序列为周期序列，周期为.

周期为是周期的吗？序列的周期

这样要求：即：为整数(1)是整数,是周期的，且周期为正弦序列即(2)是有理数,为互质的整数是周期的，且周期为正弦序列序列的周期举例

求下列周期离散时间系统离散时间系统线性系统时不变系统线性时不变系统因果系统稳定系统线性系统满足叠加原理的离散时间系统称为线性系统。线性系统增量线性系统系统的输出之差与对应的两个输入之差呈线性关系时不变系统如果系统输入序列的移位或延迟引起系统输出序列相应的移位或延迟，则称系统为时不变系统（又称移不变系统）时不变系统验证下面两个系统是否为时不变系统。

时不变系统验证下面两个系统是否为时不变系统。

线性时不变系统（LTIS）是指同时具有线性和时不变性的离散时间系统，也称为线性移不变系统，线性时不变系统

单位冲激响应也称为单位抽样响应或单位脉冲响应，是指LTIS输出的序列（或称为输出响应）当输入为单位抽样序列即线性时不变系统输出

任意的输入序列

，其输出

为线性时不变系统输出

对于任意序列都可以表示为对于LTIS来说

系统的互联方式有以下几种级联并联反馈

级联

并联

反馈因果系统某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的输入的系统称为因果系统，的值仅取决于输入序列

在

的值而与后的值无关LTIS是因果系统的充分必要条件为：单位冲激响应满足

因果系统

判断下面系统是否是因果系统非因果系统因果系统因果系统因果系统稳定系统有界输入(指幅度有界)有界输出LTIS是稳定系统的充分必要条件为：单位冲激响应满足

BoundedInputBoundedOutput，BIBO）稳定系统

判断下面系统是否是稳定系统稳定系统稳定系统非稳定系统稳定系统稳定系统？常系数线性差分方程

常系数线性差分方程的概念常系数线性差分方程的求解方法常系数线性差分方程的递推解法举例

常系数线性差分方程的概念与称为差分方程的系数且为常数差分方程的阶数等于的最高值与最低值之差常系数线性差分方程的求解方法

经典解法（实际中很少采用）递推解法（方法简单，但只能得到数值解，

不易直接得到公式解）变换域法（Z域求解，方法简便有效）常系数线性差分方程的求解方法

已知的情况下解得是不唯一的，为了得到唯一的必须给定辅助条件，即常系数线性差分方程的递推解法举例设系统用差分方程

描述，输入序列利用递推解法求输出序列（1）设初始条件：，

常系数线性差分方程的递推解法举例设系统用差分方程

描述，输入序列利用递推解法求输出序列（2）设初始条件：

常系数线性差分方程的递推解法举例

对于同一个差分方程和同一个输入序列，初始条件不同，得到的输出信号是不同的；另外，差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。

一个常系数线性差分方程，只有当初始条件选择得合适时，系统才是一个线性时不变系统模拟信号的抽样理想抽样与实际抽样理想抽样的频谱时域抽样定理时域信号的抽样恢复理想抽样与实际抽样理想抽样的频谱理想抽样的频谱时域抽样定理时域抽样定理：若模拟信号是带限信号，要想抽样后的信号能够不失真地还原出原信号，则必须抽样频率大于或等于信号最高频率分量的两倍，或者信号的最高截止频率不大于折叠频率，即该定理也称为奈奎斯特（Nyquist）抽样定理时域信号的抽样恢复时域信号的抽样恢复时域信号的抽样恢复第3章离散时间信号和

系统的频域分析

熟练掌握序列的傅里叶变换和Z变换公式能用一种方法计算Z反变换。能用Z变换法求解差分方程。时域分析频域分析复频域分析模拟信号信号：模拟信号（时间和幅值都是连续的）系统：微分方程傅里叶变换拉普拉斯变换离散时间信号信号：离散时间信号（时间是离散的，幅值是连续的）系统：差分方程傅里叶变换Z变换模拟信号与离散时间信号的时/频域分析工具的对比离散时间信号的傅里叶变换的定义及性质DTFT的定义DTFT的性质DTFT的定义序列的傅里叶变换(DTFT)定义为正变换：DTFT存在的充分条件是:反变换DTFT的定义称为序列的幅度谱，称为序列的相位谱。DTFT的定义设，求的DTFT。

解：DTFT的定义设，求的DTFT时的变化曲线随的变化曲线DTFT的性质周期性线性时移特性频移特性时域乘以指数序列频域翻转特性共轭翻转特性频域可微性时域卷积定理频域卷积定理帕斯瓦（Parseval）定理DTFT的对称性DTFT的性质周期性所以DTFT是频率的周期函数，周期是线性性与存在DTFT，分别记作线性设求解：时移特性DTFT设，求解：频移特性DTFT设，求解：时域乘以指数序列DTFT设，求解：频域翻转特性DTFT共轭翻转特性DTFT频域可微性DTFT时域卷积定理DTFTDTFT频域卷积定理DTFTDTFT帕斯瓦（Parseval）定理DTFT的对称性共轭对称共轭反对称表3.2.1共轭对称序列与共轭反对称序列的性质实虚特性性质共轭对称序列

共轭反对称序列

实部偶函数奇函数虚部奇函数偶函数DTFT的对称性共轭对称函数共轭反对称函数表3.2.2共轭对称函数与共轭反对称函数DTFT的对称性的DTFT的对称性表3.2.3DTFT的对称性的DTFT的对称性表3.2.4（3）特殊序列的DTFT的对称性如表3.2.5所示

（4）特殊序列的DTFT的对称性为实果序列，即周期序列的离散傅里叶级数与傅里叶变换周期序列的离散傅里叶级数周期序列的傅里叶变换表示式可以展成傅里叶级数，即对于为周期连续时间信号

在满足狄利克雷条件时复指数形式，即对于以为周期的序列同样可以展成个成谐波关系的称为离散傅里叶级数的系数称为周期序列的离散傅里叶级数解：设，将以为周期进行周期延拓，得到周期序列，周期为8，求周期序列的傅里叶变换表示式因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数，其FT可以用公式表示出来。

其不满足绝对可和条件，因此其傅里叶变换不存在，但引入后可以表示为

证明

所以由DTFT的性质得到的傅里叶变换为，

式中,令

设为有理数，求其DTFT解：利用欧拉公式将展开得的傅里叶变换如下

离散时间信号的傅里叶变换与模拟信号的

傅里叶变换之间的关系

为周期进行周期延拓，即抽样频率必须大于或等于模拟信号最高频率的2倍，否则会产生频域混叠现象，(1)抽样后信号

的频谱等于模拟信号频谱以抽样频率离散时间信号的傅里叶变换与模拟信号的

傅里叶变换之间的关系

(2)计算模拟信号的傅里叶变换可以用计算相应的离散时间信号按照抽样定理，以抽样频率大于或等于模拟信号最高频率的2倍，抽样得到离散时间信号的傅里叶变换得到:即再通过计算得到离散时间信号的傅里叶变换，得到它的，频谱函数然后乘以抽样间隔取一个周期便得到模拟信号的傅里叶变换模拟频率与数字频率之间的关系

模拟频率与数字频率之间的对应关系课堂练习

判断正误时域离散信号傅里叶变换存在的充分条件是序列绝对可和。()序列的傅里叶变换是频率ω非周期函数()序列的Z变换

掌握Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。

理解主要的Z变换的定理和性质。序列的Z变换

Z变换的定义

序列特性对收敛域的影响Z反变换（IZT）序列的Z变换

Z变换的定义正变换：序列的Z变换定义为记作上面定义的Z变换称为双边Z变换单边Z变换序列的Z变换

Z变换的定义正变换：序列的Z变换定义为存在的条件就是等号右边的幂级数收敛，只要的满足

使该级数收敛的取值全体称

的收敛域（缩写为ROC）

序列的Z变换

Z变换的定义使该级数收敛的取值全体称

的收敛域（缩写为ROC）

序列的Z变换

Z变换的定义常用的Z变换是一个有理函数，可以表示成两个多项式之比的形式，即分子多项式的根是的零点分母多项式的根是的极点序列的Z变换

Z变换的定义序列的傅里叶变换与Z变换的关系

单位圆上的Z变换就是该序列的傅里叶变换序列的Z变换

Z变换的定义

设序列,求其Z变换。解：在的条件是因此ROC为的Z变换的收敛域不包含单位圆，也可以验证该序列不满足傅里叶变换的存在条件.序列的Z变换

Z变换的定义

设序列,求其Z变换。解：在的条件是因此ROC为的Z变换的收敛域不包含单位圆，也可以验证该序列不满足傅里叶变换的存在条件.序列的Z变换

序列特性对收敛域的影响有限长序列右序列左序列双边序列右序列+左序列序列的Z变换

序列特性对收敛域的影响有限长序列举例右序列举例左序列举例双边序列举例序列的Z变换

序列特性对收敛域的影响有限长序列此分以下三种情况讨论收敛域

ROC:

ROC:ROC:有限长序列的收敛域确定

ROC:

ROC:ROC:求的Z变换及其ROC解：所以ROC:序列的Z变换

序列特性对收敛域的影响右序列右序列的ROC为:右序列的ROC为:右序列收敛域的确定右序列的ROC为:右序列的ROC为:求的Z变换及其ROC解：ROC应该是某圆外部并延伸至

即序列的Z变换

序列特性对收敛域的影响左序列左序列的ROC为左序列的ROC为左序列的收敛域确定左序列的ROC为左序列的ROC为求的Z变换及其ROC解：ROC：序列的Z变换

序列特性对收敛域的影响双边序列右序列+左序列ROC：序列的Z变换

序列特性对收敛域的影响

双边序列的收敛域确定求的Z变换及其ROC（为实数）解：没有收敛域，所以不存在的ROC为:求序列z变换及收敛域作答主观题10分同一个Z变换函数表达式，ROC不同，对应的序列也是不相同的所以，Z变换函数表达式与ROC是一个整体，计算Z变换包括计算其ROC。序列的Z变换

Z反变换（IZT）由序列的Z变换及其ROC,来求对应序列的过程称为Z反变换设的ROC：，则Z反变换可以表示为

闭合围线cZ反变换（IZT）

观察法留数法部分分式展开法幂级数展开法Z反变换（IZT）

观察法已知,求其Z反变换解：对照Z变换的定义式（3.5.1）可知：对应的系数为因此由已知的可得出作答已知求其Z反变换

主观题10分Z反变换（IZT）

留数法令则由留数定理围线内的极点记为围线外的极点记为被积函数的分母阶次比分子阶次高2阶以上当Zk为一阶极点时的留数：Z反变换（IZT）留数法当Zk为m阶(多重)极点时的留数：Z反变换（IZT）留数法举例已知，,求其逆Z变换。

解在围线内有一个1阶极点Z反变换（IZT）留数法举例

已知，,求其逆Z变换。

解：对应的序列应是因果序列对应的序列应是左序列对应的序列应是双边序列对应的序列应是因果序列这种情形的序列是因果序列，无须求时的值对应的序列应是左序列在围线内没有极点：对应的序列应是双边序列在围线内有一个极点：在围线内有两个极点：

Z反变换（IZT）

部分分式展开法或是非零值零点是非零值极点

已知试求Z反变换解：

Z反变换（IZT）

幂级数展开法

有限长序列：设

为试求Z反变换解：

Z反变换（IZT）

幂级数展开法

解：

设试求Z反变换令Z变换的性质线性性质时移性质与指数序列相乘的性质X(z)的微分性质复共轭序列的性质共轭翻转序列性质

初值定理

终值定理

时域卷积定理复卷积定理帕斯瓦（Parseval）定理Z变换的性质线性性质ROC：ROC：Z变换的性质时移性质ROC：ROC：解：设试求Z反变换因为

Z变换的性质与指数序列相乘的性质ROC：解：

ROC：为常数设求其Z变换Z变换的性质

X(z)的微分性质ROC：

解：设试求Z反变换ROC：Z变换的性质

X(z)的微分性质ROC：

解：ROC：设试求Z反变换Z变换的性质

复共轭序列的性质ROC：

ROC：ROC：ROC：

共轭翻转序列性质如果是因果序列且则Z变换的性质

初值定理

终值定理如果是因果序列且，除在单位圆上有一个1阶极点

，其他极点均在单位圆内，则Z变换的性质

时域卷积定理ROC：ROC：

ROC：

已知LTI系统的单位脉冲响应若输入序列求该系统的输出序列解：ROC：ROC：ROC：由收敛域判定序列是因果序列，所以

复卷积定理ROC：ROC：

ROC：帕斯瓦（Parseval）定理ROC：ROC：

ROC：作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮

的Z变换为____，收敛域为_____

可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。此处添加答案解析答案解析1/(1-az-1)，∣z∣>∣a∣

填空题0分作答的Z变换为____，收敛域为______。此题未设置答案，请点击右侧设置按钮1/(1-az-1)，∣z∣<∣a∣

填空题0分

已知求z反变换。解:所以当n<0时，x(n)=0。只需考虑n≥0时的情况。课堂练习

如图所示，取收敛域的一个围线c，可知当n≥0时,c内有两个一阶极点

所以课堂练习利用Z变换解差分方程

离散时间系统的输出（响应）Z变换求解差分方程利用Z变换解差分方程

离散时间系统的输出（响应）对于一个LTI系统，可以用一个N阶线性常系数差分方程描述称为初始状态不同时为零利用Z变换解差分方程

离散时间系统的输出（响应）称为系统的零输入响应记作利用Z变换解差分方程

离散时间系统的输出（响应）对于一个LTI系统，可以用一个N阶线性常系数差分方程描述称为零初始状态，解出的输出（响应）是由输入序列引起的称为系统的零状态响应。记作

可以通过分别求零输入响应与零状态响应利用Z变换解差分方程

离散时间系统的输出（响应）得到差分方程的解利用Z变换解差分方程Z变换求解差分方程1．零状态响应

（3.7.8）

利用Z变换解差分方程Z变换求解差分方程2．零输入响应

利用Z变换解差分方程Z变换求解差分方程

已知差分方程式中求其中

解：输入序列为因果序列且为非零初始状态对已知方程两边求单边Z变换ROC：ROC：利用Z变换分析信号和系统的频率响应特性

频率响应函数与系统函数

频率响应函数的物理意义

用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性

有理系统函数的频率响应特性

利用MATLAB计算系统的零、极点

几种特殊系统的系统函数及其特点利用Z变换分析信号和系统的频率响应特性

频率响应函数与系统函数为系统的频率响应函数（或称系统的传输函数），它表征系统的频率响应特性。称为幅频特性函数，称为相频特性函数。

差分方程式表示一个N阶LTI系统，对方程进行（双边）Z变换，由LTI系统的输入/输出关系

设2阶LTI系统的系统函数为求表示该系统的差分方程。解：的分子与分母进行因式展开其差分方程为数字频率为

的复指数序列，利用Z变换分析信号和系统的频率响应特性

频率响应函数的物理意义一个LTI系统的单位脉冲响应为输入信号为输出信号为通过频率响应函数为

相移输出仍为同频复指数序列，其幅度放大为原来的利用Z变换分析信号和系统的频率响应特性

用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性一个LTI系统具有因果性、稳定性的充要条件分别如下：LTI系统是因果的

LTI系统是稳定的因此若LTI系统是因果的,为因果序列系统函数的收敛域应包含若LTI系统是稳定的,的傅里叶变换存在，系统函数的收敛域应包含单位圆如果LTI系统既具有因果性又具有稳定性,系统函数的收敛域应包含

且包含单位圆

考虑一输入/输出通过下述差分方程描述的LTI系统能否选择合适的收敛域使得该系统是因果稳定的？解：根据已知的差分方程可得到系统函数为的ROC有以下3种情形（1）系统因果非稳定；（2）系统非因果非稳定（3）系统稳定非因果利用Z变换分析信号和系统的频率响应特性

有理系统函数的频率响应特性设系统函数为有理函数，的分子、分母分别进行因式分解，得到是的零点是的极点

则频率响应函数又可以表示为

以dB[1]表示

[1]0dB相应于以dB[1]表示

[1]0dB相应于称为的对数幅度，以dB表示有时也称增益为

与增益相对的衰减定义如下衰减（dB）增益为60dB指的是在该频率处衰减为60dB，指的是在该频率增益（dB）利用Z变换分析信号和系统的频率响应特性利用MATLAB计算系统的零、极点zplane用于绘制系统函数H(z)的零、极点分布图。

(1)zplane(z,p)可绘制出零点向量和极点向量分别为z、p的分布图（零点用“○”表示，极点用“×”表示），同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。如果z、p为矩阵，则zplane以不同的颜色分别绘出z、p各列中的零点和极点。(2)zplane(B,A)可绘制出系统函数H(z)的零、极点图。其中B和A为系统函数H(z)=B(z)/A(z)的分子与分母多项式的系数向量。如果H(z)为

第4章离散傅里叶变换(DFT)

熟练掌握DFT的定义式，并能计算一些序列的DFT熟练掌握DFT的性质掌握循环卷积与卷积和的关系有限长序列的傅里叶表示

DFT的定义DFT与傅里叶变换和Z变换的关系DFT的隐含周期性DFT与IDFT的矩阵形式

用MATLAB计算DFT有限长序列的傅里叶表示

DFT的定义正变换：设

为则定义

的点离散傅里叶变换（DFT）为

式中，称为DFT的变换区间长度

称为的离散傅里叶反变换（InverseDiscreteFourierTransform，IDFT）

称为序列的幅度特性称为序列的相位特性设求4点和8点DFT有限长序列的傅里叶表示DFT与傅里叶变换和Z变换的关系

有限长序列的傅里叶表示DFT的隐含周期性

（4.2.12）

N点DFT与DFS的关系

一对DFS一对DFT有限长序列的傅里叶表示DFT与IDFT的矩阵形式表示对

取共轭有限长序列的傅里叶表示用MATLAB计算DFT%DFT的MATLAB计算N=input("DFT变换区间长度N=");xn=[x(0),

x(1),…,

x(N-2),

x(N-1)];WN=Vander_matrix(N);Xk=WN*

xn;functionW=Vander_matrix(N)%N表示DFT的变换区间长度W=ones(N,N);fork=1:NW(2,k)=exp(-j*2*pi*(k-1)/N);endfork=3:NW(k,:)=W(2,:).^(k-1);endDFT的基本性质

线性性质

循环移位性质

循环卷积性质

共轭循环翻转序列的DFT

共轭对称性DFT的基本性质

线性性质DFT的基本性质

循环移位性质循环移位定义长度为N的DFT的基本性质

循环移位性质长度为N的时域循环移位定理DFT的基本性质

循环移位性质频域循环移位定理

设序列求其9点DFT解：已知y(n)=x(n)*h(n)，x(n)和h(n)的长度分别为M和N。x(n)和h(n)的L点循环卷积（L>M，L>N）用w(n)表示，w(n)=y(n)的条件是______________。作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮填空题0分对6点有限长序列{5，1，3，0，5，2}进行向左2点循环移位后得到序列______________。作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮填空题0分DFT的基本性质循环卷积性质序列的循环卷积定义和

设序列如果的长度分别为,和点循环卷积定义

称为循环卷积区间长度循环卷积记作

循环卷积

分别计算下面两序列的4点和8点循环卷积。解：

分别计算下面两序列的4点和8点循环卷积。解：

序列及其循环卷积

时域循环卷积定理设序列

与如果的长度分别为,和点循环卷积为

则

频域循环卷积定理设序列

与如果的长度分别为,则的点DFT

DFT的基本性质共轭循环翻转序列的DFTDFT的基本性质共轭对称性有限长共轭对称序列：有限长共轭反对称序列：任何长度的有限长序

都可以分解成有限长共轭对称序列和有限长共轭反对称序列之和

DFT的对称性

DFT的对称性

DFT的对称性

特殊序列的DFT的对称性

利用DFT的对称性设计一种高效算法，通过计算一个点DFT，就可以计算两个实序列

与解：首先构造一个复序列频域抽样定理

频域抽样与频域抽样定理

频域内插公式与频域内插函数频域抽样定理

频域抽样与频域抽样定理设任意一个满足绝对可和的非周期序列

，其Z变换为

频域抽样定理

频域内插公式与频域内插函数

验证频域抽样定理DFT的应用举例

用DFT计算卷积和

用DFT对信号进行谱分析DFT的应用举例

用DFT计算卷积和设序列

与如果的长度分别为,和点循环卷积定义

用DFT计算循环卷积的计算框图

设序列和的卷积和记为表示如下循环卷积式又可以表示为

点循环卷积是卷积和以为周期延拓序列的主值序列。而的长度为所以只有当以L为周期进行周期延拓时才不会出现时域混叠现象，此时有用DFT计算卷积和的计算框图

卷积和与循环卷积的波形图DFT的应用举例

用DFT对信号进行谱分析所谓信号的谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。而DFT是一种时域与频域均离散化的变换，适合进行数值运算成为用计算机分析离散时间信号和系统的有力工具.1．用DFT对连续时间信号进行谱分析工程实际中获取的信号一般是模拟信号其频谱函数也是连续函数，不便于直接用计算机进行计算。为了利用DFT进行谱分析,需要对进行抽样得到离散时间信号,然后计算的DFT

用DFT分析连续时间信号频谱的原理图用抽样周期进行等间隔抽样得到其长度为抽样频率（Hz）

与的关系

其中

表示对模拟信号频谱的抽样间隔，称为频率分辨率（单位为Hz）

通过对模拟信号抽样后进行DFT并乘以可近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期上的点等间隔抽样对于带限信号，在满足抽样定理时，包含模拟信号频谱的全部信息,所以用DFT分析模拟信号的频谱不会丢失信息.

截断效应：截断产生的，产生的误差称为截断误差为了减小这种误差，可适当地加长增加抽样点数或用窗函数处理后再进行DFT

因此用DFT对模拟信号进行谱分析时主要应考虑：谱分析范围和频率分辨率（1）谱分析范围为谱分析范围受抽样频率的限制为了避免发生频域混叠，通常要求信号的最高频率（2）频率分辨率用频率抽样间隔描述，即表示谱分析中相邻两个频谱分量的频率间隔。显然越小，谱分析越接近模拟信号的频谱。

下面给出在用DFT对模拟信号进行谱分析时参数的选择用DFT对模拟实信号进行谱分析，要求频率分辨率信号的最高频率为1kHz，试确定以下几个参数（1）最小持续时间（2）最大抽样周期（3）最小抽样点数（4）在谱分析范围不变的情况下，使频率分辨率提高为原来的2倍的抽样点数

解：（1）因此最小持续时间（2）因为所以最大抽样周期（3）因为所以最小抽样点数（4）在谱分析范围不变即不变时，频率分辨率提高为原来的DFT的应用举例

用DFT对信号进行谱分析2．用DFT对离散时间信号进行谱分析以N为周期的周期序列,其频谱函数为

如果预先不知道的周期，可以先截取点进行DFT，即再将截取长度放大为原来的2倍，截取比较与如果二者的主谱频率差满足误差要求，则以或近似表示的频谱否则，继续将截取长度加倍，直到前后两次分析所得的主谱频率差别满足误差DFT的应用举例

用DFT对信号进行谱分析3．用DFT进行谱分析的误差问题（1）混叠现象。（2）栅栏效应（3）截断效应截断前后的差别对谱分析的影响主要表现在如下两个方面。（1）泄露。（2）谱间干扰。若H(z)的收敛域包括∞点，则h(n)一定是__________序列。作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮填空题0分线性时不变系统h(n)是稳定系统的充要条件是____________________。作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮填空题0分线性时不变系统h(n)是因果系统的充要条件是____________________。作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮填空题0分时域离散线性时不变系统的系统函数为

若要求系统稳定，则a的取值域为____和b的取值域______________。作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮填空题0分序列的傅里叶变换等于序列在(

)上的Z变换。单位圆

实轴正虚轴

负虚轴ABCD提交单选题1分此题未设置答案，请点击右侧设置按钮下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?()提交单选题1分此题未设置答案，请点击右侧设置按钮A.δ(n)B.h(n)=u(n)C.h(n)=u(n)-u(n-1)D.h(n)=u(n)-u(n+1)如果系统函数用下式表示:提交则下列关于收敛域的说法正确的是（）A．该系统无法通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定B.收敛域为系统因果稳定单选题1分此题未设置答案，请点击右侧设置按钮C．收敛域为系统因果稳定D．收敛域为系统因果稳定第5章快速傅里叶变换(FFT)

理解按照时间或频率抽取基2FFT算法原理，并能构造给定长度较短序列的基2FFT算法的运算流图了解其他快速傅里叶变换方法。FFT的背景1965年库利（T.W.Cooley）和图基（J.W.Tukey）在《计算数学》杂志上发表了著名的论文，提出了一种按照时间抽取基2FFT算法（Cooley-Tukey算法），该算法将DFT的计算量减小为,运算时间减小1～2个数量级，是数字信号处理发展史上的一块里程碑.桑德（G.Sande）提出了按照频率抽取基2FFT算法，可以作为Cooley-Tukey算法的对偶形式FFT的背景库利在家中的六个子女中排行第四，属公理教会家庭，原居纽约州西部。他八岁至二十岁之间，健康状况极差，他费了七年才完成密西根大学学士学位。1894年他以论文《交通理论》（TheTheoryofTransportation,1894）完成经济学和社会学博士学位约翰·图基（JohnW.Tukey），1915年6月16日出生于马萨诸塞州的新贝德福德（NewBedford），天资聪颖的图基出生在一个教师世家.图基最终进入了布朗大学（BrownUniversity），主修化学专业，并在1936年和1937年分别获得布朗大学化学学士和硕士学位然而图基的兴趣逐渐转移至数学领域，所以他在1937年进入普林斯顿大学开始攻读数学博士，并在1939年获得博士学位按时间抽取基2FFT算法

直接计算DFT的计算量及减小运算量的措施

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）DIT-FFT的运算量DIT-FFT的运算规律及编程思想按时间抽取基2FFT算法

直接计算DFT的计算量及减小运算量的措施以正变换为例：

通常x(n)和都是复数,所以计算一个X(k)的值需要N次复数乘法运算,和N-1次复数加法运算。计算所有的X(k)就要N2次复数乘法运算,N(N-1)≈N2次复数加法运算。当N很大时,运算量将是惊人的,如N=1024,则要完成1048576次(一百多万次)运算。这样,难以做到实时处理按时间抽取基2FFT算法

直接计算DFT的计算量及减小运算量的措施FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。回顾：

的性质按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）(一)N/2点DFT1、先将x(n)按n的奇偶分为两组作DFT，设N=2L,不足时可补零。这样有:

n为偶数时:

n为奇数时:

下面用x1(r)和x2(r)来求x(n)的DFT。按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）2、两点结论:

(1)、均为N/2点的DFT。(2)确定出的值DIT-FFT蝶形运算蝶形运算按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）8点DFT一次时域抽取基2FFT算法流图按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）经过一次分解后，需要进行次蝶形运算和计算2个点DFT，所需的运算量为复数加法运算次数复数乘法运算次数

比较N点DFT的运算量，N点DFT的复乘为N2;复加N(N-1);与分解后相比可知,计算工作量差不多减少一半。

按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）

由于N=2L

,所以N/2仍为偶数,可以进一步把每个N/2点的序列再按其奇偶部分分解为两个N/4的子序列。例如，n为偶数时的

N/2点分解为:按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT），按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）

（5.2.15）

（5.2.16）按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）按时间抽取基2FFT算法

时域抽取基2FFT算法（DIT-FFT）按时间抽取基2FFT算法

DIT-FFT的运算量

N=8需三级蝶形运算N=23=8，由此可知，N=2M

共需M级蝶形运算,而且每级都由N/2个蝶形运算组成，每个蝶形运算有一次复乘，两次复加。N点的FFT的运算量为：复乘次数：(N/2)*M=(N/2)log2

N

复加次数：N*M=Nlog2

NN点的DFT直接计算的运算量为：复乘次数：N*N

复加次数：N*（N-1）

按时间抽取基2FFT算法

DIT-FFT的运算量按时间抽取基2FFT算法DIT-FFT的运算规律及编程思想

1、原位运算输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器按时间抽取基2FFT算法DIT-FFT的运算规律及编程思想

1、原位运算输入序列顺序倒位序树状图按时间抽取基2FFT算法DIT-FFT的运算规律及编程思想

1、原位运算按时间抽取基2FFT算法DIT-FFT的运算规律及编程思想由运算流图可知，基2FFT算法一共有log2N=M级蝶形运算，每一级共N/2个蝶形运算，而且每个蝶形仅与蝶形的2个输入有关，也仅有2个输出值，这4个值均与其它蝶形运算无关，而且2个输入值在计算完输出值后没有其它用途。因此，可用2个输入单元保存2个输出值。即实现所谓原位运算。按时间抽取基2FFT算法DIT-FFT的运算规律及编程思想2．旋转因子的变换规律N点DIT-FFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以旋转因子，p为旋转因子的指数。但各级的旋转因子和循环方式都有所不同。为了编写计算程序，应先找出旋转因子与运算级数的关系。用L表示从左到右的运算级数(L=1，2，…，M)。第L级共有2L－1个不同的旋转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下：按时间抽取基2FFT算法DIT-FFT的运算规律及编程思想对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为按时间抽取基2FFT算法DIT-FFT的运算规律及编程思想因为所以

按上两式确定第L级运算的旋转因子(实际编程序时，L为最外层循环变量)。

按时间抽取基2FFT算法DIT-FFT的运算规律及编程思想3．蝶形运算规律设序列x(n)经倒序后，存入数组A中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式：下标L表示第L级运算，AL(J)则表示第L级运算后的数组元素A(J)的值（即第L级蝶形的输出数据）。而AL－1(J)表示第L级运算前A(J)的值（即第L级蝶形的输入数据）按频率抽取基2FFT算法频域抽取基2FFT算法（DIF-FFT）基本原理

以N=23为例实现基2FFT算法DIF-FFT与DIT-FFT的比较按频率抽取基2FFT算法频域抽取基2FFT算法（DIF-FFT）基本原理按频率抽取基2FFT算法频域抽取基2FFT算法（DIF-FFT）基本原理由于故因此

可表为按频率抽取基2FFT算法频域抽取基2FFT算法（DIF-FFT）基本原理由于故因此

可表为按频率抽取基2FFT算法频域抽取基2FFT算法（DIF-FFT）基本原理

DIF-FFT蝶形运算流图按频率抽取基2FFT算法

以N=23为例实现基2FFT算法按频率抽取基2FFT算法

以N=23为例实现基2FFT算法按频率抽取基2FFT算法

以N=23为例实现基2FFT算法按频率抽取基2FFT算法DIF-FFT与DIT-FFT的比较（1）DIF-FFT输入的是自然顺序排列，输出的是倒序排列；DIT-FFT输入的是倒序排列，输出的是自然顺序排列。（2）蝶形运算略有不同：DIF-FFT先加（减）后相乘；DIT-FFT先相乘后加（减）。最后要说明的是：DIF-FFT与DIT-FFT算法的流图形式不是唯一的，只要保证各支路传输比不变，改变输入节点与输出节点及中间节点的排列顺序，可以得到其他形式的运算流图，进一步减小运算量的措施

多类蝶形单元运算

旋转因子的生成实序列的FFT算法进一步减小运算量的措施

多类蝶形单元运算无关紧要的旋转因子和的旋转因子除去第一、第二两级无关紧要的因子后，所需的复数乘法运算次数应是从L=3至L=M共减小的复数乘法运算次数为因此，DIT-FFT的复数乘法运算次数减小至进一步减小运算量的措施

多类蝶形单元运算从第三级至最后一级，旋转因子节省的实数乘法次数计算点DIT-FFT所需的实数乘法次数进一步减小运算量的措施

旋转因子的生成余弦函数的计算量是很大的，因此在FFT运算中，用旋转因子求正弦和一种方法是在每级运算中直接产生；另一种方法是在FFT程序开始前预先计算出并存放在数组中作为旋转因子表，在程序执行过程中直接查表就可得到所需的旋转因子值不再计算。这样可使运算速度大大提高，其不足之处是占用的内存较大进一步减小运算量的措施实序列的FFT算法设为点实序列，取的偶数点和奇数点分别作为新构造序列的实部和虚部，即

进一步减小运算量的措施实序列的FFT算法

这样计算所需的复数乘法运算次数为一个蝶形运算，需要________次复数乘法和________次复数加法运算。作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮填空题0分对于N点（N=2M）的按时间抽取的基2FFT算法，共需要作________次复数乘和________次复数加。作答此题未设置答案，请点击右侧设置按钮填空题0分下列关于FFT说法错误的是（）DIF-FFT算法与DIT-FFT算法的运算量一样。DIT-FFT算法输入序列为自然顺序，而输出为倒序排列。DIF-FFT算法与DIT-FFT算法的蝶形运算略有不同，DIF-FFT蝶形