2024届一轮复习人教A版 第八章立体几何与空间向量第五节空间向量及其运算 课件（47张）

第五节空间向量及其运算第八章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解空间向量的概念,了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.4.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题.1.空间向量的线性运算2.共线向量定理、共面向量定理的应用3.空间向量的数量积及其应用直观想象逻辑推理数学运算强基础增分策略知识梳理1.空间向量的有关概念抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向

名称概念表示零向量长度(模)为

的向量

0单位向量长度(模)为

的向量

—相等向量方向

且模

的向量

a=b相反向量长度

而方向

的向量

a的相反向量为-a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相

的向量

a∥b共面向量平行于同一个

的向量

—01相同

相等相等相反平行或重合

平面

微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.微思考“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?提示

正确.根据向量相等的定义,可以把向量进行平移,空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为共面向量.2.空间向量中的有关定理

定理语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理{a,b,c}叫做空间的一个基底如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc微点拨(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.微思考基向量和基底一样吗?0是否能作为基向量?提示

不一样.基底是指一个向量组,基向量是基底中的某一个向量;因为0与其他两个非零向量共面,所以0不能作为基向量.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作

=a,

=b,则

叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>.

(1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向

②范围:0≤<a,b>≤π.(2)两个非零向量a,b的数量积:a·b=

.

∠AOB|a||b|cos<a,b>微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.4.空间向量的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决

a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0常用结论1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:2.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面:对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(

)(2)空间中任意两非零向量a,b共面.(

)(3)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.(

)(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.(

)√×××2.(多选)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量共面的是(

)A.b+c,b,b-c

B.a,a+b,2a-bC.a+b,a-b,c

D.a+b,a+b+c,c答案

ABD

解析

由平面向量基本定理得

对于C选项,a+b,a-b,c不共面;对于D选项,a+b+c=(a+b)+c,则D共面.故选ABD.3.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(

)A.垂直

B.平行C.异面

D.相交但不垂直答案

B

增素能精准突破考点一空间向量的线性运算典例突破

解析

(1)连接AG并延长交BC于N,连接ON.名师点析空间向量线性运算中的三个关键点

答案

A

考点二共线、共面向量定理的应用典例突破例2.(1)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于(

)答案

(1)B

解析

当m=0时,a=(1,3,-1),b=(2,0,0),a与b不平行,所以m≠0.名师点析向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键

对点训练2(1)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若向量a,b,c共面,则实数λ等于(

)(2)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=

.

答案

(1)D

(2)-3

解析

(1)因为向量a,b,c共面,所以由共面的向量基本定理,存在唯一实

考点三空间向量的数量积及其应用(多考向探究)考向1.求空间向量的数量积典例突破例3.(多选)如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于-a2的是(

)答案

AB

方法总结空间向量的数量运算的两条途径

考向2.利用数量积求长度与夹角典例突破(2)已知空间向量a=(1,-λ,λ-1),b=(-λ,1-λ,λ-1)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是

.

方法总结利用数量积求长度与夹角的一般方法

对点训练4(1)已知空间三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量

的夹角为60°,则实数m=(

)A.1 B.2 C.-1 D.-2(2)如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是

.

考向3.解决垂直问题典例突破例5.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(

)答案

D

解析

依题意得,(ka+b)·(2a-b)=0,即2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,∴4k+k-2-5=0,解得k=.故选D.名师点析将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.对点训练5(2022广西南宁模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=t,若在线段AB上存在点E,使得EC1⊥ED,则实数t的取值范围是

.

答案

(0,1]解析如图,以D为原点,以直线DA