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文档简介
福建省厦门市大同中学2023-2024学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的导函数为,若的图象如图所示,则函数的图象可能是()A B.C. D.2.定义在上的函数的导函数为,若对任意实数,有,且为奇函数,则不等式解集是A. B.C. D.3.已知等差数列前项和为,且,,则此数列中绝对值最小的项为A.第5项 B.第6项C.第7项 D.第8项4.在三棱锥中,,,则异面直线PC与AB所成角的余弦值是()A. B.C. D.5.若是等差数列的前项和,,则()A.13 B.39C.45 D.216.设是数列的前项和,已知,则数列()A.是等比数列,但不是等差数列 B.是等差数列,但不是等比数列C.是等比数列,也是等差数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列7.函数y=ln(1﹣x)的图象大致为()A. B.C D.8.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A.4 B.5C.6 D.79.如图,空间四边形中,,,,且,,则()A. B.C. D.10.已知曲线与直线总有公共点,则m的取值范围是()A. B.C. D.11.某四面体的三视图如图所示,该四面体的体积为()A. B.C. D.12.命题“存在,使得”的否定为()A.存在, B.对任意,C.对任意, D.对任意,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.抛物线的准线方程为_______.14.已知AB为圆O:的直径,点P为椭圆上一动点,则的最小值为______15.在平面直角坐标系xOy中,AB是圆O:x2+y2=1的直径,且点A在第一象限;圆O1:(x﹣a)2+y2=r2(a>0)与圆O外离,线段AO1与圆O1交于点M,线段BM与圆O交于点N,且,则a的取值范围为_______.16.已知直线与平行,则实数的值为_____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,已知等腰梯形,,为等腰直角三角形,,把沿折起(1)当时,求证:;(2)当平面平面时,求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值18.(12分)已知函数.(1)求的导数;(2)求函数的图象在点处的切线方程.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的焦距为4,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的上顶点为B,右焦点为F,直线l与椭圆交于M,N两点,问是否存在直线l,使得F为的垂心(高的交点),若存在,求出直线l的方程:若不存在,请说明理由.20.(12分)已知在平面直角坐标系中,圆A:的圆心为A,过点B(,0)任作直线l交圆A于点C、D,过点B作与AD平行的直线交AC于点E.(1)求动点E的轨迹方程;(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P,过点P且斜率为k1,k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P),若,证明:直线MN过定点.21.(12分)给出以下三个条件:①;②,,成等比数列;③.请从这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,并完成作答.若选择多个条件分别作答,以第一个作答计分已知公差不为0的等差数列的前n项和为,,______(1)求数列的通项公式;(2)若,令,求数列的前n项和22.(10分)已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4,且右顶点A到右焦点的距离为1.(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆交于不同两点,,记的面积为,当时求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据导函数大于,原函数单调递增;导函数小于,原函数单调递减;即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得:时,,所以在单调递减,排除选项A、B,当时,先正后负,所以在先增后减,因选项C是先减后增再减,故排除选项C,故选:D.2、B【解析】设.由,得,故函数在上单调递减.由为奇函数,所以.不等式等价于,即,结合函数的单调性可得,从而不等式的解集为,故答案为B.考点:利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用,构造函数的思想,阅读分析问题的能力,属于中档题.常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为,即得,当是形如时构造;当是时构造,在本题中令,(),从而求导,从而可判断单调递减,从而可得到不等式的解集3、C【解析】设等差数列的首项为,公差为,,则,又,则,说明数列为递减数列,前6项为正,第7项及后面的项为负,又,则,则在数列中绝对值最小的项为,选C.4、A【解析】分别取、、的中点、、,连接、、、、,由题意结合平面几何的知识可得、、或其补角即为异面直线PC与AB所成角,再由余弦定理即可得解.【详解】分别取、、的中点、、,连接、、、、,如图:由可得,所以,在,,可得由中位线的性质可得且,且,所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角,在中,,所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为.故选:A.【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下:(1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;(2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;(3)计算:求该角的值,常利用解三角形;(4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角5、B【解析】先根据等差数列的通项公式求出,然后根据等差数列的求和公式及等差数列的下标性质求得答案.【详解】设等差数列的公差为d,则,则.故选:B.6、B【解析】根据与的关系求出通项,然后可知答案.【详解】当时,,当时,,综上,的通项公式为,数列为等差数列同理,由等比数列定义可判断数列不是等比数列.故选:B7、C【解析】根据函数的定义域和特殊点,判断出正确选项.【详解】由,解得,也即函数的定义域为,由此排除A,B选项.当时,,由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选:C【点睛】本小题主要考查函数图像识别,属于基础题.8、C【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.【详解】按照分层抽样的定义有,粮食类:植物油类:动物性食品类:果蔬类=4:1:3:2,抽20个出来,则粮食类8个,植物油类2个,动物性食品类6个,果蔬类4个,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选:C.9、C【解析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为,又因为,,所以.故选:C10、D【解析】对曲线化简可知曲线表示以点为圆心,2为半径的圆的下半部分,对直线方程化简可得直线过定点,画出图形,由图可知,,然后求出直线的斜率即可【详解】由,得,因为,所以曲线表示以点为圆心,2为半径的圆的下半部分,由,得,所以,得,所以直线过定点,如图所示设曲线与轴的两个交点分别为,直线过定点,为曲线上一动点,根据图可知,若曲线与直线总有公共点,则,得,设直线为,则,解得,或,所以,所以,所以,故选:D11、A【解析】可由三视图还原原几何体,然后根据题意的边角关系,完成体积的求解.【详解】由三视图还原原几何体如图:其中平面,,则该四面体的体积为.故选:A.12、D【解析】根据特称命题否定的方法求解,改变量词,否定结论.【详解】由题意可知命题“存在,使得”的否定为“对任意,”.故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由抛物线的标准方程为x2=y,得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线,2p=1,∴其准线方程是y=,故答案为14、2【解析】方法一:通过对称性取特殊位置,设出P的坐标,利用向量的数量积转化求解最小值即可方法二:利用向量的数量积,转化为向量的和与差的平方,通过圆的特殊性,转化求解即可【详解】解:方法一:依据对称性,不妨设直径AB在x轴上,x,,,从而故答案为2方法二:,而,则答案2故答案为2【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质考查转化思想以及计算能力15、【解析】根据判断出四边形为平行四边形,由此求得圆的方程以及的长,进而判断出点在圆上,根据圆与圆的位置关系,求得的取值范围.【详解】四边形ONO1M为平行四边形,即ON=MO1=r=1,所以圆的方程为,且ON为△ABM的中位线AM=2ON=2AO1=3,故点A在以O1为圆心,3为半径的圆上,该圆的方程为:,故与x2+y2=1在第一象限有交点,即2<a<4,由,解得,故a的取值范围为(,4).故答案为:【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系,考查化归与转化的数学思想方法,考查数形结合的数学思想方法,属于难题.16、或【解析】根据平行线的性质进行求解即可.【详解】因为直线与平行,所以有:或,故答案为:或三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)取的中点E,连,证明四边形为平行四边形,从而可得为等边三角形,四边形为菱形,从而可证,,即可得平面,再根据线面垂直的性质即可得证;(2)取的中点M,连接,以B为空间坐标原点,向量分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法即可得出答案.【小问1详解】解:取的中点E,连,∵,∴,∵,∴四边形为平行四边形,∵,∴,∵,∴为等边三角形,四边形为菱形,∴,,∴∴,∵,,,平面,,∴平面,∵平面,∴;【小问2详解】解:取的中点M,连接,由(1)知,,∵平面平面,,∴平面,以B为空间坐标原点,向量分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,由,,有,取,可得,设平面的法向量为,由,,有,取,有,有,故平面与平面所成二面角的正弦值为18、(1);(2).【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.(2)求出,再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【小问1详解】函数定义域为,所以函数.【小问2详解】由(1)知,,而,于是得,即,所以函数的图象在点处的切线方程是.19、(1)(2)存在:【解析】(1)根据题意,列出关于a,b,c的关系,计算求值,即可得答案.(2)由(1)可得B、F点坐标,可得直线BF的斜率,根据F为垂心,可得,可得直线l的斜率,设出直线l的方程,与椭圆联立,根据韦达定理,结合垂心的性质,列式求解,即可得答案.【小问1详解】因为焦距为4,所以,即,又过点,所以,又,联立求得,所以椭圆C的方程为【小问2详解】由(1)可得,所以,因为F为垂心,直线BF与直线l垂直,所以,则,即直线l的斜率为1,设直线l的方程为,,与椭圆联立得,,所以,因为F为垂心,所以直线BN与直线MF垂直,所以,即,又,所以,即,所以,解得或,由,解得,又时,直线l过点B,不符合题意,所以,所以存在直线l:,满足题意.20、(1)(2)证明见解析【解析】(1)作出图象,易知|EB|+|EA|为定值,根据椭圆定义即可判断点E的轨迹,从而写出其轨迹方程;(2)设,当直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为:,联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系,根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点;最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.【小问1详解】由圆A:可得(,∴圆心A(-,0),圆的半径r=8,,,可得,,,由椭圆的定义可得:点E的轨迹是以A(,0)、B(,0)为焦点,2a=8的椭圆,即a=4,c=,∴=16-7=9,∴动点E的轨迹方程为;【小问2详解】由(1)知,P(0,3),设,当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为:,由,可得,∴,,∵,∴,即,整理可得:,∴k=m+3或m=3,当m=3时,直线MN的方程为:,此时过点P(0,3)不符合题意,∴k=m+3,∴直线MN的方程为:此时直线MN过点(-1,-3),当直线MN的斜率不存在时,,,解得,此时直线MN的方程为:,过点(-1,-3),综上所述:直线MN过定点(-1,-3).21、(1)(2)【解析】(1)若选①,则根据等差数列的前n项和公式,结合,求得公差,可得答案;若选②,则根据,,成等比数列,列出方程,结合,求得公差,可得答案;若选③,则根
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