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文档简介
福建省平和一中、南靖一中等五校2024届高二数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知、、、是直线,、是平面,、、是点(、不重合),下列叙述错误的是()A.若,,,,则B.若,,,则C.若,,则D.若,,则2.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是()A. B.C. D.3.设,若直线与直线平行,则的值为()A. B.C.或 D.4.已知直线过点,且与直线垂直,则直线的方程为()A. B.C. D.5.已知椭圆的中心为,一个焦点为,在上,若是正三角形,则的离心率为()A. B.C. D.6.在区间内随机取一个数则该数满足的概率为()A. B.C. D.7.若双曲线离心率为,过点,则该双曲线的方程为()A. B.C. D.8.已知双曲线C:的右焦点为,一条渐近线被圆截得的弦长为2b,则双曲线C的离心率为()A. B.C.2 D.9.设是双曲线的一个焦点,,是的两个顶点,上存在一点,使得与以为直径的圆相切于,且是线段的中点,则的渐近线方程为A. B.C. D.10.设函数是定义在上的奇函数,且,当时,有恒成立.则不等式的解集为()A. B.C. D.11.过抛物线的焦点引斜率为1的直线,交抛物线于,两点,则()A.4 B.6C.8 D.1012.已知直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,则实数a的值为()A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.关于曲线C:1,有如下结论:①曲线C关于原点对称;②曲线C关于直线x±y=0对称;③曲线C是封闭图形,且封闭图形的面积大于2π;④曲线C不是封闭图形,且它与圆x2+y2=2无公共点;⑤曲线C与曲线D:|x|+|y|=2有4个公共点,这4点构成正方形其中正确结论的个数是_____14.已知双曲线的左、右焦点分别为,,O为坐标原点,点M是双曲线左支上的一点,若,,则双曲线的离心率是____________15.椭圆C:的左、右焦点分别为,,点A在椭圆上,,直线交椭圆于点B,,则椭圆的离心率为______16.数列满足,,则___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知各项为正数的等比数列中,,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和.18.(12分)已知双曲线与有相同的渐近线,且经过点.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线与双曲线交于不同的两点,且线段的中点在圆上,求实数的值.19.(12分)已知抛物线的准线方程是.(Ⅰ)求抛物线方程;(Ⅱ)设直线与抛物线相交于,两点,为坐标原点,证明:.20.(12分)已知等差数列满足(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前n项和21.(12分)在平面直角坐标系中,已知点,,过点的动直线与过点的动直线的交点为P,,的斜率均存在且乘积为,设动点Р的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若点M在曲线C上,过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N,点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T,求的最大值.22.(10分)已知函数(1)当时,讨论的单调性;(2)当时,证明
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由公理2可判断A选项;由公理3可判断B选项;利用平行线的传递性可判断C选项;直接判断线线位置关系,可判断D选项.【详解】对于A选项,由公理2可知,若,,,,则,A对;对于B选项,由公理3可知,若,,,则,B对;对于C选项,由空间中平行线的传递性可知,若,,则,C对;对于D选项,若,,则与平行、相交或异面,D错.故选:D.2、A【解析】方程即,表示抛物线,方程表示椭圆或双曲线,当和同号时,抛物线开口向左,方程表示焦点在轴的椭圆,无符合条件的选项;当和异号时,抛物线开口向右,方程表示双曲线,本题选择A选项.3、C【解析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】时,容易验证两直线不平行,当时,根据两直线平行的条件可知:,解得或.故选:C.4、A【解析】求出直线斜率,利用点斜式可得出直线的方程.【详解】直线的斜率为,则直线的斜率为,故直线的方程为,即.故选:A.5、D【解析】根据是正三角形可得的坐标,代入方程后可求离心率.【详解】不失一般性,可设椭圆的方程为:,为半焦距,为右焦点,因为且,故,故,,整理得到,故,故选:D.6、C【解析】求解不等式,利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.【详解】求解不等式可得:,由几何概型的概率计算公式可得:在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.故选:.7、B【解析】分析可得,再将点代入双曲线的方程,求出的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】,则,,则双曲线的方程为,将点的坐标代入双曲线的方程可得,解得,故,因此,双曲线的方程为.故选:B8、A【解析】求出圆心到渐近线的距离,根据弦长建立关系即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为,即,则点到渐近线的距离为,因为弦长为,圆半径为,所以,即,因为,所以,则双曲线的离心率为.故选:A.9、C【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.【详解】设另一焦点为,连接,由于是圆的切线,则,且,又是的中点,则是的中位线,则,且,由双曲线定义可知,由勾股定理知,,,即,渐近线方程为,所以渐近线方程为故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质,属于中档题.10、B【解析】根据当时,可知在上单调递减,结合可确定在上的解集;根据奇偶性可确定在上的解集;由此可确定结果.【详解】,当时,,在上单调递减,,,在上的解集为,即在上的解集为;又为上的奇函数,,为上的偶函数,在上的解集为,即在上的解集为;当时,,不合题意;综上所述:的解集为.故选:.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题,关键是能够通过构造函数的方式,确定所构造函数的单调性和奇偶性,进而根据零点确定不等式的解集.11、C【解析】由题意可得,的方程为,设、,联立直线与抛物线方程可求,利用抛物线的定义计算即可求解.【详解】由上可得:焦点,直线的方程为,设,,由,可得,则有,由抛物线的定义可得:,故选:C.12、B【解析】由题意,利用两直线垂直的性质,两直线垂直时,一次项对应系数之积的和等于0,计算求得a的值【详解】∵直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,∴a×2+2×(2a+2)=0,求得a=﹣,故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】直接利用曲线的性质,对称性的应用可判断①②;求出可判断③;联立方程,解方程组可判断④⑤的结论【详解】对于①,将方程中的x换为﹣x,y换为﹣y,方程不变,曲线C关于原点对称,故①正确;对于②,将方程中的x换为﹣y,把y换成﹣x,方程不变,曲线C关于直线x±y=0对称,故②正确;对于③,由方程得,故曲线C不是封闭图形,故③错误;对于④,曲线C:,不是封闭图形,联立整理可得:,方程无解,故④正确;对于⑤,曲线C与曲线D:由于,解得,根据对称性,可得公共点为,故曲线C与曲线D有四个交点,这4点构成正方形,故⑤正确故答案为:414、5【解析】根据得出,设,从而利用双曲线的定义可求出,的关系,从而可求出答案.【详解】设双曲线的焦距为,则,因为,所以,因为,不妨设,,由双曲线的定义可得,所以,,由勾股定理可得,,所以,所以双曲线的离心率故答案为:.15、(也可以)【解析】可以利用条件三角形为等腰直角三角形,设出边长,找到边长与之间等量关系,然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中,即可求解离心率.【详解】由题意知三角形为等腰直角三角形,设,则,解得,,在三角形中,由勾股定理得,所以,故答案为:(也可以)16、【解析】根据题中所给的递推式得到数列具有周期性,进而得到结果.【详解】根据题中递推式知,可知数列具有周期性,周期为3,因为故故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】(1)根据条件求出即可;(2),然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】(1)且,,(2)18、(1)(2)【解析】(1)根据所求双曲线与有共同的渐近线可设出所求双曲线方程为,在根据点在双曲线上,代入双曲线方程中即可求解.(2)联立直线与双曲线的方程,得关于的一元二次方程,利用韦达定理得出的关系,再根据中点坐标公式求出线段的中点的坐标,代入圆方程即可求解.【小问1详解】由题意,设双曲线的方程为,则又因为双曲线过点,,所以双曲线的方程为:【小问2详解】由,消去整理,得,设,则因为直线与双曲线交于不同的两点,所以,解得.,所以则中点坐标为,代入圆得,解得.实数的值为19、(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析【解析】(Ⅰ)利用排趋性的准线方程求出p,即可求解抛物线的方程;(Ⅱ)直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线联立,通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析:(Ⅰ)解:因为抛物线的准线方程为,所以,解得,所以抛物线的方程为.(Ⅱ)证明:设,.将代入,消去整理得.所以.由,,两式相乘,得,注意到,异号,所以.所以直线与直线的斜率之积为,即.考点:直线与抛物线的位置关系;抛物线的标准方程20、(1)(2)【解析】(1)设等差数列的公差为d,由题意得列出方程组,可求得的值,代入公式,即可得答案.(2)由(1)可得,利用等比数列的定义,可证数列为等比数列,结合前n项和公式,即可得答案.【小问1详解】设等差数列的公差为d,由题意得,解得,所以通项公式【小问2详解】由(1)可得,,又,所以数列是以4为首项,4为公比的等比数列,所以21、(1)(2)【解析】(1)设点坐标为,根据两直线的斜率之积为得到方程,整理即可;(2)设,,,根据设、在椭圆上,则,再由,则,即可表示出直线、的方程,联立两直线方程,即可得到点的纵坐标,再根据弦长公式得到,令,则,最后利用基本不等式计算可得;【小问1详解】解:设点坐标为,定点,,直线与直线的斜率之积为,,【小问2详解】解:设,,,则,,所以又,所以,又即,则直线:,直线:,由,解得,即,所以令,则,所以因为,当且仅当即时取等号,所以的最大值为;22、(1)单调递减,在单调递增;(2)见解析.【解析】(1)求f(x)导数,讨论导数的正负即可求其单调性;(2)由于,则
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