北京首都师范大学第二附属中学2023-2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

北京首都师范大学第二附属中学2023-2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增B.函数的递减区间为C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值2．设等差数列，的前n项和分别是，若，则（）A. B.C. D.3．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）A. B.C. D.4．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A B.C. D.5．函数的导函数为（）A. B.C. D.6．已知双曲线E的渐近线为，则其离心率为（）A. B.C. D.或7．“”是“方程为双曲线方程”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（）A. B.C. D.9．若，，则下列各式中正确的是（）A. B.C. D.10．某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间.该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时.这里的总体是（）A.杨高的全校学生；B.杨高的全校学生的平均每天自习时间；C.所调查的60名学生；D.所调查的60名学生的平均每天自习时间.11．数列，，，，…，的通项公式可能是（）A. B.C. D.12．下列求导不正确的是（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为，则______，现有1个半径为的圆，2个半径为的圆，……，个半径为的圆，n个半径为的圆，则所有这些圆的面积之和为______14．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则_______15．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断进行构造，又可以得到新的数列．现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到数列1，，，，…，，2；记则______，设数列的前n项和为，则______16．由曲线围成的图形的面积为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，椭圆上的点到左焦点最近的距离为.（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点的直线与椭圆C交于M，N两点，当的面积取得最大值时，求直线的方程.18．（12分）已知数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若数列，，求前项和.19．（12分）已知向量，，且.（1）求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程；（2）设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0,1)，当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围.20．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程21．（12分）已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）证明：数列是等比数列；（2）设bn＝－，求数列{bn}的前n项和Sn.22．（10分）已知数列的首项，前n项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据函数单调性与导数之间的关系及极值的定义结合图像即可得出答案.【详解】解：根据函数的导函数的图象可得，当时，，故函数在和上递减，当时，，故函数在和上递增，所以函数在和处取得极小值，在处取得极大值，故ABD错误，C正确.故选：C.2、C【解析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.【详解】依题意等差数列，的前n项和分别是，由于，故可设，，当时，，，所以，所以.故选：C3、B【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.故选：B.4、A【解析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解.【详解】由题意得有两个零点令,则且所以，在上为增函数，可得，当，在上单调递减，可得，即要有两个零点有两个零点，实数的取值范围是.故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解5、B【解析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】，故选：B.6、D【解析】根据双曲线标准方程与渐近线的关系即可求解.【详解】当双曲线焦点在x轴上时，渐近线为，故离心率为；当双曲线焦点在y轴上时，渐近线为，故离心率为；故选：D.7、C【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，然后根据“小推大”的原则进行判断即可.【详解】因方程为双曲线方程，所以，所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选：C.8、D【解析】根据求解即可.【详解】因为等比数列，，所以.故选：D9、D【解析】根据题意，结合，，利用不等式的性质可判断，从而判断，再利用不等式性质得出正确答案.【详解】，，，又，，两边同乘以负数，可知故选：D10、B【解析】由总体的概念可得答案.【详解】某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间，该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时，这里的总体是全校学生平均每天的自习时间.故选：B.11、D【解析】利用数列前几项排除A、B、C，即可得解；【详解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，故选：D12、C【解析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断【详解】A：；B：；C：；D：故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①；②..【解析】设第n个三角形的边长为，进而根据题意求出，然后根据等面积法求出，再求出；设n个半径为的圆的面积为并求出，进而运用错位相减法求得答案.【详解】如示意图1，设第n个三角形的边长为，易得，则是以6为首项，为公比的等比数列，所以.如示意图2，易得：，，所以，所以.设n个半径为的圆的面积为，则，记所有圆的面积之和为，则，所以，两式相减得：，即.故答案为：；.14、【解析】代入，展开整理得，①化为，与①式相加得，转化为关于的方程，求解即可得出结论.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，则，整理得，解得.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.15、①.81②.【解析】根据数列的构造写出前面几次得到的新数列，寻找规律，构造等比数列，求出通项公式，再进行求和.【详解】第1次得到数列1，3，2，此时；第2次得到数列1，4，3，5，2，此时；第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时；第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时，故81，且故，又，所以数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，故，所以故答案为：81，16、【解析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，在第一象限为弓形，其面积为，故.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据题意得，，进而解方程即可得答案；（2）根据题意设直线的方程，，，进而，再联立方程，结合韦达定理求解即可.【小问1详解】解：因为椭圆C：的离心率为，所以，因为椭圆上的点到左焦点最近的距离为，所以所以，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】解：根据题意，设直线的方程，，设，联立方程得，所以，解得或.，所以的面积为令，则,当且仅当，即时，等号成立.所以当的面积取得最大值时，直线的方程为.18、（1）（2）（3）【解析】（1）由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得；（3）利用奇偶分组法，结合等差数列和等比数列的求和公式可求得.【小问1详解】解：当时，，可得，当时，由可得，上述两个等式作差得，可得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.【小问2详解】解：，所以，，所以，，上述两个等式作差得，因此，.【小问3详解】解：由题意可得，，所以，.19、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）应用向量垂直的坐标表示得x2+3y2=3，即可写出M的轨迹C的方程；（2）由直线与曲线C交于不同的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设直线y=kx+m(k≠0)，联立方程整理所得方程有，且由根与系数关系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N为PQ的中点结合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量关系，结合即可求m的范围.【详解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，线段PQ的中点N(x0,y0)，则.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，设kAN表示直线AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.将②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范围为.【点睛】思路点睛：1、由向量垂直，结合其坐标表示得到关于x，y的方程，写出曲线C的标准方程即可.2、由直线与曲线C相交，联立方程有，由|AP|=|AQ|得直线的垂直关系，即斜率之积为-1，进而可求参数的范围.20、（1）（2）【解析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.【小问1详解】.直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.【小问2详解】设圆的标准方程为，则，所以圆的标准方程为.21、（1）证明见解析.（2）2－.【解析】（1）根据递推公式，得到，推出，即可证明数列是等比数列；（2）先由（1）求出，即bn＝，再错位相减法，即可求出数列的和.【小问1详解】（1）证明：因为an＋1＝，所