安徽省亳州市蒙城县第六中学2024届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

安徽省亳州市蒙城县第六中学2024届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列满足，则（）A.168 B.210C.672 D.10502．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是（）A2 B.C.3 D.3．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.4．下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.5．数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.6．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（）A. B.C. D.7．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则的坐标是（）A. B.C. D.8．设等差数列前n项和是，若，则的通项公式可以是（）A. B.C. D.9．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（）A. B.C.或 D.或10．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()A. B.C. D.11．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为（）A.1 B.2C.3 D.412．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与直线平行，且原点到直线的距离为，则直线的方程为____________.14．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________15．已知函数有三个零点，则正实数a的取值范围为_________16．设为等差数列的前n项和，若，，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线与双曲线相交于、两点.（1）当时，求；（2）是否存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18．（12分）已知函数（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若不等式在区间上恒成立，求k的取值范围19．（12分）若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.20．（12分）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值21．（12分）已知抛物线过点，O为坐标原点（1）求焦点的坐标及其准线方程；（2）抛物线C在点A处的切线记为l，过点A作与切线l垂直的直线，与抛物线C的另一个交点记为B，求的面积22．（10分）已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据等比数列的性质求得，再根据，即可求得结果.【详解】等比数列满足,设等比数列的公比为q,所以,解得，故，故选：C2、D【解析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，根据切线的性质可得四边形PACB面积等于，，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，由于四边形PACB面积等于2×××=，而，故当最小时，四边形PACB面积最小，又的最小值等于圆心C到直线l：的距离d，而，故四边形PACB面积的最小值为，故选：D3、D【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.【详解】由题知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故选：D.4、B【解析】根据基本初等函数的导数和求导法则判断.【详解】，，，，只有B正确.故选：B.【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式，考查导数的运算法则，属于基础题.5、A【解析】根据规律，总结通项公式，即可得答案.【详解】根据规律可知数列的前三项为，所以该数列一个通项公式为故选：A6、C【解析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长为..当，即时，取得最大值.故选：C.7、C【解析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是故选：C8、D【解析】根据题意可得公差的范围，再逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，所以，故AB错误；若，则，与题意矛盾，故C错误；若，则，符合题意.故选：D.9、C【解析】分情况讨论焦点所在位置及椭圆方程.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，当椭圆焦点在轴上时，，，椭圆方程为，故选：C.10、A【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为，半径，∴圆方程为﹒故选：A﹒11、B【解析】先求出抛物线方程，焦点坐标，再用两点间距离公式进行求解.【详解】将代入抛物线中得：，解得：，所以抛物线方程为，焦点坐标为，所以点到抛物线焦点的距离为故选：B12、D【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】可设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求得，即可得解.【详解】可设直线的方程为，即，则原点到直线的距离为，解得，所以直线的方程为.故答案为：.14、m≥6【解析】分别求出p，q成立的等价条件，利用p是q的充分条件，转为当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，求出最值即可确定m的取值范围【详解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因为，要使p是q的充分条件，则当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，令，则在上单调递增，故当时取到最大值6，所以m≥6故答案为：m≥6【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,考查函数的最值，考查转化的思想，属于基础题15、【解析】求导易得函数有两个极值点和，根据题意，由求解.【详解】由，可得函数有两个极值点和，，，若函数有三个零点，必有解得或故答案为：16、36【解析】利用等差数列前n项和的性质进行求解即可.【详解】因为为等差数列的前n项和，所以也成等差数列，即成等差数列，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）当时，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得；（2）假设存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点，设、，将直线与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出，即可得出结论.【小问1详解】解：设点、，当时，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，.【小问2详解】解：假设存在实数，使以为直径的圆经过坐标原点，设、，联立得，由题意可得，解得且，由韦达定理可知，因为以为直径的圆经过坐标原点，则，所以，，整理可得，该方程无实解，故不存在.18、（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为﹣1，无极小值（2）【解析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.【小问1详解】当时，，定义域为，当时，，单调递增；当时，，单调递减∴当时，取得极大值﹣1所以在上单调递增，在上单调递减极大值为﹣1，无极小值【小问2详解】由，得，令，只需.求导得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得最大值，∴k的取值范围为19、（1）（2）【解析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.【小问1详解】令，则，则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，对称轴，开口向上，则，解得；【小问2详解】令，则，于是方程可变为，即，因为函数在单调递减，在单调递增，且，要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.20、（1）答案见解析；（2）.【解析】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，（1）设，由平面，可得，从而数量积为零，可求出的值，进而可求得的值；（2）利用空间向量求二面角的余弦值【详解】解：（1）如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则点，，，则，因为平面，所以，所以，解得或当时，，，；当时，，，（2）因为，由（1）知，平面的一个法向量为设平面的法向量为，因为，，所以令，则所以，由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为21、（1）焦点，准线方程；（2）12.【解析】(1)将点A坐标代入求出，写出抛物线方程即可作答.(2)由(1)的结论求出切线l的斜率，进而求得直线AB方程，联立直线AB与抛物线C的方程，求出弦AB长及点O到直线AB距离计算作答.【小问1详解】依题意，，解得，则抛物线的方程为：，所以抛物线的焦点，准线方程为.【小问2详解】显然切线l的斜率存在，设切线l的方程为：，由消去x并整理得：，依题意得，解得，因直线，则直线AB的斜率为-1，方程为：，即，由消去x并整理得：，解得，因此有，而，则，而点到直线AB：的距离，则，所以的面积是12.22、（1）（2）是，【解析】（1）根据离心率以及