2024届一轮复习人教A版 第九章平面解析几何第五节椭圆 课件（51张）

第五节椭圆第九章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.了解椭圆的简单应用.1.椭圆定义的应用2.椭圆的标准方程3.椭圆的简单几何性质数学抽象直观想象逻辑推理数学运算强基础增分策略知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的

,两焦点间的距离叫做椭圆的

,焦距的一半称为

.

数学表达式:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}焦点

焦距

半焦距

微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点M的轨迹是什么?提示

当2a=|F1F2|时,动点M的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和简单几何性质

焦点跟着分母大的跑

简单几何性质范围

_____________

______________对称性对称轴为

,对称中心为

顶点A1

,A2

,B1

,B2

A1

,A2

,B1

,B2

轴长轴A1A2的长为

,短轴B1B2的长为

焦距|F1F2|=

离心率e=

∈(0,1)越接近于1,椭圆越扁平;

越接近于0,椭圆越接近于圆

-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a坐标轴

原点

(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)

(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a2b

2c微点拨1.椭圆的焦点F1,F2必在它的长轴上.2.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个方程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1).微思考焦点弦(过焦点的弦)的弦长最短是多少?提示

垂直于长轴的焦点弦最短,弦长为

常用结论1.若点P在椭圆上,点F为椭圆的一个焦点,则(1)b≤|OP|≤a;(2)a-c≤|PF|≤a+c.2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆

=1(a>b>0)中,(1)当r1=r2,即点P为短轴端点时,θ最大;(2)S=b2tan=c|y0|,当|y0|=b,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.(

)(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(

)(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(

)×√×√答案

A解析

因为△ABF2的周长为12,根据椭圆的定义可得4a=12,解得a=3,则c2=a2-a-2=4,所以c=2,则椭圆E的离心率为3.已知椭圆

=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为

.

答案

9

解析

因为椭圆方程为

=1,所以a=6.因为P是椭圆上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点,所以|PF1|+|PF2|=2a=12.若|PF1|=3,则|PF2|=12-3=9,即点P到另一个焦点的距离为9.增素能精准突破考点一椭圆定义的应用(多考向探究)考向1.利用椭圆定义求轨迹方程典例突破例1.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(

)答案

D

解析

设动圆的圆心为M(x,y),半径为r.因为圆M在圆C1:(x-4)2+y2=169内部,且与圆C1内切,与C2:(x+4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r,所以|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8.由椭圆的定义,知点M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,所以a=8,c=4,所以b2=82-42=48,名师点析通过对题设条件分析、转化后,能明确动点轨迹满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程.答案

B因为D,E分别为AF2和BF2的中点,所以4a=|AB|+|AF2|+|BF2|=2(|DE|+|DF2|+|EF2|)=8,所以a=2.设B(x0,y0),F1(-c,0),A(0,b),考向2.利用椭圆定义解决焦点三角形问题典例突破答案

A

由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a=14.又3|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=8,|PF2|=6,所以|F1F2|=2c=10.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以名师点析解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理,其中将|PF1|+|PF2|=2a两边进行平方是常用技巧.对点训练2已知P是椭圆

=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为

.

在△F1PF2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

60°,即4c2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,可得28=64-3|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=12.由三角形面积公式可得△F1PF2的面积为考向3.利用椭圆定义求最值典例突破答案

D

名师点析已知|PF1|与|PF2|的和为定值,可利用基本不等式求|PF1||PF2|的最值;利用|PF1|+|PF2|=2a变形或转化,借助三角形性质求最值.对点训练3已知椭圆C:

=1的左焦点为F,点M在椭圆C上,点N在圆E:(x-2)2+y2=1上,则|MF|+|MN|的最小值为(

)A.4 B.5C.7 D.8答案

B

解析

由题可知圆心E为椭圆的右焦点,且a=3,b=,c=2,所以|MF|+|ME|=2a=6,所以|MF|=6-|ME|,所以|MF|+|MN|=6-|ME|+|MN|=6-(|ME|-|MN|).要求|MF|+|MN|的最小值,只需求|ME|-|MN|的最大值,显然M,N,E三点共线时|ME|-|MN|取最大值,且最大值为1,所以|MF|+|MN|的最小值为6-1=5.故选B.考点二椭圆的标准方程典例突破

(2)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若该方程表示椭圆方程,则实数k的取值范围是

.

名师点析求椭圆方程的方法与步骤

考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1.椭圆的长轴、短轴、焦距典例突破B.|AF1|+|BF1|为定值C.C的焦距是短轴长的2倍D.存在点A,使得AF1⊥AF2答案

ABD

名师点析求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系.对点训练5已知点A(3,0),椭圆C:

=1(a>0)的右焦点为F,若线段AF的中点恰好在椭圆C上,则椭圆C的长轴长为

.

答案

4考向2.求椭圆的离心率典例突破答案

(1)A

(2)C

解析

(1)设椭圆C的右顶点为B,由于P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP与AQ的斜率互为相反数.设直线AP的斜率为kAP,直线BP的斜率为