数列收敛与数项级数的收敛

数列收敛与数项级数的收敛摘要:在大学《数学分析》这门课程当中,数列收敛与数项级数的收敛这部分占有很大的比例,能否熟练的掌握这部分内容,对于能否学习好《数学分析》这门课具有决定性的作用。本论文将数列收敛和数项级数的收敛进行了归纳总结。这是自己在一年的考研复习后对该部分的熟练掌握下完成的。关键词:数列收敛数项级数的收敛1数列收敛1.1数列收敛的定义1.1.1数列为固定的数,若对任意的总存在为正整数,使当时有,则称数列,固定的数称为数列的极限并记为=或者.如果没有极限,那么称数列不收敛,或者称是发散数列.上述称为数列极限的定义.这里需注意1.可为任意值,定义1.1.1中是为了衡量与的接近程度,越小,表明它们越接近;而可无限小,表明与可以无限接近.而当给出的值,我们便由它求出的值,又当任意小且可知等也是任意小并且为正数,从而定义1.1.1中的的可由等来替换.2.的对应性通常情况下,当变小时变大,因此常写为()来指出的变化而变化.但是并不被唯一决定,由于当固定时,例如当且时成立,若3．在几何上当足即:当时有落在邻域（）内,中在(,之外的项不超过有限个.从而我们得出数列的极限的等价说法即:①对于任意的如果(之外至多有中有限个项,那么称是数列的极限.1.2数列收敛的性质性质1.2.1（唯一性）:如果为收敛数列,那么它的极限仅有一个.性质1.2.2（有界性）:如果是收敛数列,那么有界,即有,对于所有的,成立.性质1.2.3(保号性）:如果（或者,那么对于任意的（或者,存在,当时满足（或者性质1.2.4(保不等式性):数列和都收敛,如果有,当的时候那么.性质1.2.5（迫敛性）:为数列,的极限,对于数列有:存在当时,那么为收敛数列,并且.性质1.2.6（四则运算):若数列与收敛,则数列也都是收敛数列,并且满足=特别地若是固定数,则=,如果且,那么数列也收敛,并且性质1.2.7:1.3数列收敛的条件1.3.1数列收敛之任意非平凡子列均收敛.1.3.2单调的有界实数列一定收敛.1.3.3数列收敛对于任意的均有,当大于时成立.1.4关于数列收敛的解题方法1.4.1判断数列的敛散性1.4.1.1定义法例应用方法证明证:对于任意的,存在=,当时,便有所以1.4.1.2反证法例证明不存在证明:应用反证法,设=,因为所以所以但是两边均求极限得从而矛盾,所以不存在.1.4.1.3单调数列法例设,证明:收敛,并且求它的极限.证:应用数学归纳法可以证明(=1,2…)而假设,那么,令=那么,=,其中介于与之间,由于,再由==可知收敛,设,则,由于所以,舍去),故.1.4.1.4柯西准则例设…+证明收敛.证明:对任给的,设,那么…+…)==要使则令那么当时,有,由柯西收敛准则可知收敛.1.4.2求已知数列的极限1.4.2.1定义法用的方法证明:证明:令,那么,所以…,所以=,对任意的,取=,则当时,,故.1.4.2.2两边夹法例计算（）解:当时,有因为,所以=当时,令则,所以=.1.4.2.3先求和再求极限例求极限解:因为=…所以=.1.4.2.4先用放缩法,再求极限例求…解:=…+那么所以又,利用两边夹法则有=.1.4.2.5利用施笃兹公式例设.证:由施笃兹公式.例已知数列满足条件证明:证明:由施笃兹公式知所以.先用数学归纳法再求极限例设,,证明:收敛,并且求它的极限.证:应用数学归纳法可以证明(=1,2…)而假设,那么,令=那么,==其中介于与之间,由于,再由==可知收敛,设,则,由于所以,舍去),故例求极限解:用数学归纳法可以证明:再由两边夹法则知:=1.4.2.7级数法例证数列=有极限,并求出此极限.证明:当时,可证,所以当时为单调递减,并且有下界大于零,所以存在,再考虑正项级数,从而得出原数列的极限.1.4.2.8积分法求解:=令,由定积分定义可知1.4.2.9利用函数极限法,再用归结原则例求①②当㏑㏑,所以综上1.4.2.10利用对数求极限证明:证:因为,所以证明:证:因为,所以1.4.2.11利用中值定理证明:其解同1.4.2.6的解.1.4.2.12利用导数定义1.4.2.13利用单调数列1.4.3已知数列的递推关系,求极限1.4.3.1先判断极限存在,再求极限例证明:证明:由数学归纳法可证,因为即单调递增.因,故令又对两边分别取极限得到,由于,因此,所以=1.4.3.2变量变换1.4.3.3压缩映像法例设=,数列由下列递推公式得出:求证:证:,所以,从而为压缩数列,所以故则或者（舍去）,从而1.4.4证明数列极限1.4.4.1定义法例设,运用语言证明:证明:因为,所以当时下证对任意的则存在,当时,,所以即所以②对任意的1.4.4.2用施笃兹公式,证明:由施笃兹公式可知:1.4.4.3利用两边夹公式2数项级数的收敛2.1数项级数的收敛的定义定义2.1.1对于数列把它的每一项依顺序用“”号连接在一起的式子叫做数项级数或者无穷级数（常常简称为级数）,级数前项的和,记作称作级数之第个部分和（常简称为部分和）.定义2.1.2如果数项级数之部分和数列收敛于,那么此级数收敛,我们称是此级数的和记为=或=若是发散数列,那么称数项级数发散.定义2.1.3如果级数的每一项的符号都一样,那么它是同号级数.若它的每一项均大于零,那么称之为正项级数.定义2.1.4如果级数的每一项符号都正负相间,即为那么此级数是交错级数.定义2.1.5如果级数每一项的绝对值构成的级数收敛的话,那么我们称原级数是绝对收敛的.2.2数项级数的收敛的性质2.2.1如果级数收敛,那么2.2.2如果级数和均收敛,那么对于任意的常数,级数也收敛,并且=2.2.3增加、减少或者改变收敛级数的有限个项,所得到的级数仍收敛.2.2.4在收敛的级数的项中任意添加括号,所得到的级数仍收敛,并且和不变.2.2.5如果某级数绝对收敛,并且它的和为,那么经过任意重排后得到的新级数是绝对收敛的,并且它们有相同的和数.2.3正项级数的收敛的条件2.3.1正项级数收敛它的部分和数列是有界的,即为存在数对任意的整数,都成立2.3.2是两个正项级数,如果存在,对所有都有则若收敛,那么也收敛.2.3.3为两个正项级数,如果,那么（ⅰ）若,那么有相同的敛散性.（ⅱ）若以及收敛,那么也是收敛的.2.3.4（比式判别法）:为正项级数,并且有某正整数以及常数,如果对所有满足那么收敛.2.3.5（比式判别法的极限形式）:如果是正项级数,并且,那么是收敛的.2.3.6（根式判别法）:为正项级数,并且有以及常数,如果对所有满足,那么收敛.2.3.7（根式判别法的极限形式):是正项级数,若,则是收敛的.2.3.8（积分判别法）:是且,则具有相同的敛散性.2.4一般项级数的收敛的条件2.4.1(莱布尼茨判别法):如果交错级数满足下列两个条件:（ⅰ）数列是单调且递减的；（ⅱ）那么交错级数是收敛的.2.4.2如果交错级数符合莱布尼茨法的条件,那么它的余项估计式满足2.4.3如果某级数绝对收敛,那么它一定收敛.2.4.4（阿贝尔判别法）:如果是单调且有界的数列,并且级数是收敛的,那么级数收敛.2.4.5（狄利克雷判别法）:如果数列是单调且递减的,并且,以及级数的部分和数列是有界的,那么收敛.2.5数项级数的解题方法2.5.1判断级数是否收敛设收敛,证明:(证:因为由积分判