反三角函数大全

反三角函数Inversetrigonometricfunctions第1节反三角函数·概述原创/O客把反正弦函数y=arcsinx，反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx，反余切函数y=arccotx统称为反三角函数。它们都是三角函数的反函数。严格地说，精确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。以反正弦函数为例，其它反三角函数同理可推。●反正弦的值域先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。由于它在定义域R上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一种函数值y，对应着无数个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，因此不存在反函数。但是，当我们取正弦函数y=sinx的一种单调区间，如[-π/2,π/2]。这时，每一种函数值y，对应着唯一的一种自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y构成函数关系，因此存在反函数。记为y=arcsinx。把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arcsinx的定义域。并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arcsinx的值域。●请参考我的三角函数salon./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsalon第2节反三角函数·理解与转化原创/O客以反正弦函数为例，其它反三角函数同理可推。●符号理解初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所困惑，很不习惯。首先，arcsinx这七个字母是一种整体，缺一不可。另首先，符号arcsinx能够用下面的三句话来理解：①它是一种角。即一种实数。arcsinx∈R.②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。-π/2≤arcsinx≤π/2。③这个角的正弦值等于x。sin(arcsinx)=x.●互化反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，由于后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。有互化公式（充要条件）如图。αα=arcsinxx=sinα|x|≤1-EQ\F(π,2)≤α≤EQ\F(π,2)●请参考我的三角函数salon./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsalon第3节反正弦函数的图象和性质原创/O客函数名称 反正弦函数解析式 y=arcsinx图象 反正弦曲线（图3）1.定义域 [-1,1]2.值域 [-π/2,π/2]3.有界性 |y|≤π/24.最值 x=1时，ymax=π/2x=-1时，ymin=-π/25.单调性 增函数6.奇偶性 奇函数.7.周期性 无8.对称性 有关原点对称9.反函数 y=arcsinx，x∈[-π/2,π/2]10.与反余弦的关系arcsinx+arccosx=π/2●请参考我的三角函数salon./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsalon第4节反余弦函数的图象和性质原创/O客函数名称 反余弦函数解析式 y=arccosx图象 反余弦曲线（如图）1.定义域 [-1,1]2.值域 [0,π]3.有界性 0≤y≤π4.最值 x=-1时，ymax=πx=1时，ymin=05.单调性 减函数6.奇偶性 非奇非偶函数7.周期性 无8.对称性 对称中心(0,π/2)9.反函数 y=cosx,x∈[0,π]10.与反正弦的关系 arcsinx+arccosx=π/2●请参考我的三角函数salon./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsalon11O函数y=arccosx的图象yxy=arccosx-1πEQ\F(π,2)第5节反正切函数的图象和性质原创/O客函数名称 反正切函数解析式 y=arctanx图象 反正切曲线（如图）1.定义域 R2.值域 (-π/2,π/2)3.有界性 |y|<π/24.最值 无5.单调性 增函数6.奇偶性 奇函数7.周期性 无8.对称性 有关原点对称9.渐近线y=±π/210.反函数 y=tanx,x∈(-π/2,π/2)11.与反余切的关系 arctanx+arccotx=π/2●请参考我的三角函数salon./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsalonOO函数y=arctanx的图象yxy=arctanxEQ\F(π,2)-EQ\F(π,2)第6节反余切函数的图象和性质原创/O客函数名称 反余切函数解析式 y=arccotx图象 反余切曲线（如图）1.定义域 R2.值域 (0,π)3.有界性 0<y<π4.最值 无5.单调性 减函数6.奇偶性 奇函数7.周期性 无8.对称性 对称中心(0,π/2)9.渐近线y=0，y=π10.反函数 y=cotx,x∈(0,,π)11.与反正切的关系 arctanx+arccotx=π/2●请参考我的三角函数salon./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsalonOO函数y=arccotx的图象yxy=arccotxEQ\F(π,2)π第7节用反三角函数表达角原创/O客已知某一种角的三角函数值，如何表达这个角？以反正弦函数为例，其它反三角函数同理可推。●一种锐角最少有等价的四种体现式不妨，以直角三角形的锐角为例。直角三角形ABC中，a=3,b=4,c=5,则A=arcsin(3/5),A=arccos(4/5)A=arctan(3/4),A=arccot(4/3)●已知三角函数值表达角，要特别注意角的围例如，已知sinα=1/3,由正弦函数线（见salon(6)）或者正弦曲线（见salon(20)）,可得若α是锐角，则α=arcsin(1/3).若α∈[0,π]，则α=arcsin(1/3)或α=π-arcsin(1/3).若α∈[0,2π），则α=arcsin(1/3)或α=π-arcsin(1/3)。若α是第1象限角，则α=2kπ+arcsin(1/3),k∈Z.若α∈R，则α=2kπ+arcsin(1/3),或α=2kπ+π-arcsin(1/3),k∈Z，能够合并为α=2kπ+(-1)^k*arcsin(1/3),k∈Z●请参考我的三角函数salon./ok%B0%C9/blog/category/%C8%FD%BD%C7%BA%AF%CA%FDsalon第8节三角方程原创/O客三角函数的自变量中含有未知数，含有这样的三角函数的方程叫三角方程。●普通地，一种较复杂三角方程的解集往往都是几个最简三角方程的解集的并集。三角方程都要转化为最简三角方程来解。最简三角方程的解法是三角方程解法的基础。●最简三角方程的解集1.sinx=a(|a|≤1)的解集是｛x|x=kπ+(-1)^karcsina,k∈Z｝2.cosx=a(|a|≤1)的解集是｛x|x=2kπ±arccosa,k∈Z｝3.tanx=a的解集是｛x|x=kπ+arctana,k∈Z｝4.cotx=a的解集是｛x|x=kπ+arccota,k∈Z｝●以三角方程sinx=a(|a|≤1)为例，说一说记忆和应用。▲最简三角方程的解集不要死记硬背，要借助函数线和图象记忆，如图。▲灵活应用。形如sin(ωx+φ)=a(|a|≤1),则ωx+φ=kπ+(-1)^karcsina,k∈Z，解出x即可。●请参考我的三角函