尺规作图方法大全含练习试题

PAGEPAGE1尺规作图【知识回顾】1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。2、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；（1）题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a.求作：线段AB，使AB=a.作法：作射线AP；在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。（2）题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：（１）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。（3）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB，求作：射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。（4）题目四：作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB。求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB作法：（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；（5）连接O’N’并延长到B’。则∠A’O’B’就是所求作的角。（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。已知：如图，P是直线AB上一点。求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；（3）过D、Q作直线CD。则直线CD是求作的直线。（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线已知：如图，直线AB及外一点P。求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB。作法：（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；（2）分别以M、N圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；（3）过P、Q作直线CD。则直线CD就是所求作的直线。（5）题目七：已知三边作三角形。已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.作法：作线段AB=c；以A为圆心，以b为半径作弧，以B为圆心，以a为半径作弧与前弧相交于C；连接AC，BC。则△ABC就是所求作的三角形。题目八：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m，n,∠.求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.作法：作∠A=∠；在AB上截取AB=m,AC=n；连接BC。则△ABC就是所求作的三角形。题目九：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，∠，∠，线段m.求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.作法：作线段AB=m；在AB的同旁作∠A=∠，作∠B=∠，∠A与∠B的另一边相交于C。则△ABC就是所求作的图形（三角形）。2、三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？用尺规作图作出所有可能的加油站地址。3、过点C作一条线平行于AB。4、如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点。张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折，得到一个V字形图案。请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE；(用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹)。5、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请用利用格点和直尺(无刻度)作出∠AOB的平分线。6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案，图中AB为直径，O为圆心(要求用尺规作图,保留作图痕迹)。7、已知线段AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.8、如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B.9、如图，画一个等腰△ABC，使得底边BC=，它的高AD=10、如图，有A，B，C三个村庄，现要修建一所希望小学，使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（保留作图痕迹）．11、如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．.BA.12、如图，A为∠MON内一点，试在OM、ON边上分别作出一点B、C，使△ABC的周长最小．13、如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋MN＋NQ最短．18．如图所示，EFGH是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A、B两点位置上，试问：怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边EF反弹后再击中白球B？2019年各区二模尺规作图分类类型1：作已知直线的垂线平行线（2019朝阳二模）19．下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，=1\*GB3①在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；=2\*GB3②作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q； =3\*GB3③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BP，∵_____=_____=_____=AP， ∴点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上． ∴∠APQ=90°（_____）．（填写推理的依据） 即PQ⊥l．答案：19．（1）图略．（2）BP，BA，BQ，直径所对的圆周角是直角．（2019平谷二模）图119．下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的图1已知：如图1，直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2，（1）在直线l上任取一点A；（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；（3）连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；图2（4）作直线PH，交直线l于点H图2所以直线PH就是所求作的垂线．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：∵PH平分∠APB，∴∠APH=．∵PA=，∴PH⊥直线l于H．()(填推理的依据)答案：19．（1）如图； 2（2）证明：∵PH平分∠APB，∴∠APH=∠BPH． 3∵PA=PB， 4∴PH⊥直线l于H．(等腰三角形三线合一) 5（2019顺义二模）19.下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.已知：△ABC．求作：BC边上的高线．作法：如图，①分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，E；②作直线DE，与AB交于点F，以点F为圆心，FA长为半径画圆，交CB的延长线于点G；③连接AG．所以线段AG就是所求作的BC边上的高线．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）完成下面证明.证明：连接DA，DB，EA，EB，∵DA=DB，∴点D在线段AB的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∵=，∴点E在线段AB的垂直平分线上．∴DE是线段AB的垂直平分线．∴FA=FB．∴AB是⊙F的直径．∴∠AGB=90°（）（填推理的依据）．∴AG⊥BC即AG就是BC边上的高线．答案：19.解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上EA=EB直径所对的圆周角是直角（2019昌平二模）19．在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”． 小明的作法如下： =1\*GB3①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B； =2\*GB3②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；=3\*GB3③作直线PQ． 所以直线PQ就是所求作的直线． 根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∵AB=AP=_________=__________.∴四边形ABQP是菱形（______________________________）（填推理的依据）.∴PQ∥l.答案：（2）BQ，PQ四条边相等的四边形是菱形类型2：作特殊的四边形（2019东城二模）17.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.已知：四边形ABCD是平行四边形.求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）.作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF.所以四边形ABEF为所求作的菱形.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∵AF=AB，BE=AB，∴________=________.在□ABCD中，AD∥BC.即AF∥BE.∴四边形ABEF为平行四边形.∵AF=AB，∴四边形ABEF为菱形（_________________________）（填推理的依据）.答案：17.AF,BE；一组邻边相等的平行四边形是菱形类型3：作特殊的三角形（2019丰台二模）17．下面是小明设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l． 求作：△ABC，使得∠ACB=90°，∠ABC=30°．作法：如图， ①在直线l上任取两点O，A；②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，AB为直径，∴∠ACB=90°（①）．（填推理的依据）连接OC，∵OA=OC=AC，∴∠CAB=60°．∴∠ABC=30°（②）．（填推理的依据）答案：17.（1）略；（2）①直径所对的圆周角是直角；②直角三角形两个锐角互余.（2019门头沟二模）20．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程．已知：如图1，线段a和线段b．求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的高为b．作法：如图2，图1①作射线BM，并在射线BM上截取BC=a；图1②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；③以D为圆心，b为半径作圆，交PQ于A；④连接AB和AC．则△ABC就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；图2（2）完成下面的证明：图2证明：由作图可知BC=a，AD=b．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB=AC（）（填依据）．又∵AD在线段BC的垂直平分线PQ上，∴AD⊥BC．∴AD为BC边上的高，且AD=b．答案：（1）尺规作图正确；（2）填空正确．（2019怀柔二模）16.下面是一位同学的一道尺规作图题的过程.已知：线段a，b，c.求作：线段，使得a：b=c：x.x.。他的作法如下：①以点O为端点画射线OM，ON；②在OM上依次截取OA=a，AB=b；③在ON上截取OC=c；④联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．这位同学作图的依据是.答案：16.平行于三角形一边的直线截其它两（或两边的延，所得对应线段成比例. 类型4：作已知角的角的等角倍角半角（2019石景山二模）17．下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：∠APC，使得∠APC=2∠AOB．作法：如图，=1\*GB3①在射线OB上任取一点C；②作线段OC的垂直平分线，交OA于点P，交OB于点D；=3\*GB3③连接PC；所以∠APC即为所求作的角．根据小华设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）．证明：∵DP是线段OC的垂直平分线，∴OP=（）．∴∠O=∠PCO．∵∠APC=∠O+∠PCO（）．∴∠APC=2∠AOB．答案：17．解：（1）补全的图形如图所示：………………2分………………2分…………4分（2）PC；…………4分………………5分………………5分其他：（2019西城二模）19．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，ED．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD．∵AE=__________，∴四边形EACD是平行四边形（__________）（填推理的依据）．∴AM=MD（__________）（填推理的依据）．∴点M为所求作的边AD的中点．答案：19．解：（1）补全的图形如图所示；………………2分（2）CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．……5分（2019海淀二模）19．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．已知：在△ABC中，∠C=90°．求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．作法：如图，①分别以A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E．所以线段DE就是所求作的中位线．根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，∵PA=PC，QA=_________，∴PQ是AC的垂直平分线（________）（填推理的依据）．∴E为AC中点，AD=DC．∴∠DAC=∠DCA，又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°．∴∠ABC=∠DCB（________）（填推理的依据）．∴DB=DC．∴AD=BD=DC．∴D为AB中点．∴DE是△ABC的中位线．答案：（1）补全的图形如图所示：（作等弧交于两点P,Q点1分，直线PQ1分）（2）QC到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上等角的余角相等（2019房山二模）17.阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，∠MON，点A在射线OM上，点B在∠MON内部，用直尺和圆规作点，使点同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法)：a.点P到，两点的距离相等；b.点P到∠MON的两边的距离相等.小明的作法是：连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；作∠MON的平分线交EF于点P.所以点P即为所求.根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：∵EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上,∴PA=.∵OP平分∠MON,∴点P到∠MON的两边的距离相等（）（填推理的依据）.所以点P即为所求.答案：（1）（2）PB角平分线上的点到角两边的距离相等尺规作图全搞定的尺规作图的方法，还要灵活运用几何图形的性质.“七嘴八舌说”考情陕西：我们的考查题型均为解答题，题目不会明确说明作图方式，需要将题目个相似三角形；④在正方形中作已知三角形的相似三角形.考查内容有：①过一平分线.河北：8图顺序;②根据尺规作图,判断所给结论正确的是;③根据尺规作图痕迹补全已知和求证;④求符合要求的作图痕迹;⑤根据尺规作图判断两个人的作法正确的是;有:①作角的平分线;②作线段的垂直平分线;③作平行四边形、矩形、正方形;④作平行线.山西：84考查其相关证明与计算.安徽：181作法.河南：我们在选择题和填空题中考查，题目会给出作图的过程，通过判断做的线；②作线段的垂直平分线.云南：18k值.说来说去还得练类型一作一条线段等于已知线段图示作法步骤图示作法步骤 OPOP；OP即为所求线段a，bmABCBC=2a，AB=b，BC边上的中线AD=m．（尺规作图，保留痕迹）1解：如解图所示，△ABC即为所求；第1题解图【作法提示】BMBMBD=DC=aB为顶DAAB、AC即可.类型二 作一个角等于已知角图示作法步骤性质1.在∠α上以O为圆心，任意长为半αPQ；2.作射线O¢A；3.以O′为圆心，OP长为半α径作弧，交OA于点M；OP=OQ=O¢M=O¢N4.M交步骤3所作的弧于点N；5.作射线AOB即为所求角“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：此作图的依据中不含有（ ）三边分别相等的两个三角形全等全等三角形的对应角相等两直线平行同位角相等两点确定一条直线CF=OD,CG=OE,FG=DE得到△CFG≌△ODE（SSS），从而得到∠GCF=∠AOB,而确定射线CG是运用两点确定一条直线为依据，故不含有的依据是C.类型三 作一个角的平分线图示作法步骤性质O为圆心，适当长为半径作弧，OA，OBN、M;MN1MN2长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；OP，OP即为所求角平分线连接MP、NP、MNOM=ON∠MOP=∠NOP△MON为等腰三角形MNOP对称5.△MOP≌△NOP如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABCBDACD.作∠BACAFBDBCEO保留作图痕迹，不写作法）在（1）EG=FG=1，AE的长.3解：（1）AF即为所求；【作法提示】AAB、AC于两点；分MAM并延长交⊙OFAF即为所求.第3题解图（2）∵∠BEF是△ABE的外角，AG、BD分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=∠CAF+∠CBD=∠CBF+∠CBD=∠EBF∴BF=EF=EG+FG=2，又∵∠FBG=∠FAB，∠BFG=∠AFB，∴△BGF∽△ABF.BFGF

2=1,解得AF=4.AF BF AF 2∴AE=AF-EF=2.类型四 作一条线段的垂直平分线图示作法步骤性质1.分别以点A、B为圆心，以大于1AB长为半径，在AB两侧作弧，2分别交于点M、N；2.过点M、N作直线MN交AB于点O，MN即为所求线段的垂直平分线连接AM、BM、AN、BN1.四边形ANBM是菱形2.OA=OB3.MN⊥AB4.MN平分∠AMB、∠ANB如图，在△ABC中，∠C=90AB1AB长为半径2作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接若△ABC的周长为的周长为则线段AE的长等于 第4题图6【解析】根据题意可知MN是线段AB的垂直平分线∴AD=BD, 1 ,AE=2AB∵△ADC的周长为12，∴AC+AD+CD=12,∵△ABC的周长为24，∴AC+CD+BD+AB=24，∴AC+CD+AD+AB=24，∴AB=24-12=12，∴AE=6.如图，在△ABC中，AB=4cm，AC6cm.利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（作法）.①作BC边的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E；②连接BD；、BD、AD之间有怎样的数量关系，并说明理由.解：（1）作图如解图;

第5题图第5题解图【作法提示】分别以点B、C为圆心，以大于1BC长为半径，在BC两侧作弧2M、NMNAC、BCD、EDEBD.（2）AC=AD+BD.理