2023届安徽省铜陵一中、阜阳一中高三最后适应性模拟考试试卷数学试题试卷

2023届安徽省铜陵一中、阜阳一中高三最后适应性模拟考试试卷数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．36种3．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是()A． B．C． D．5．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）A． B． C． D．6．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（）A．4 B．6 C．3 D．87．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为()A． B． C． D．8．如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）A．， B．，C．， D．，9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（）A． B． C． D．11．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是()A． B．C． D．12．若，，，则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数据的标准差为_____．14．已知多项式满足，则_________，__________．15．设Sn为数列{an}的前n项和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，则S10=_____.16．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.18．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：.（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.附：多项式因式分解公式：19．（12分）已知，，为正数，且，证明：（1）；（2）.20．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.（1）求证：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.21．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.22．（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．【详解】作出函数的图象如图，由图可知，，函数有2个零点，即有两个不同的根，也就是与在上有2个交点，则的最小值为；设过原点的直线与的切点为，斜率为，则切线方程为，把代入，可得，即，∴切线斜率为，∴k的取值范围是，∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．2、B【解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县，则方法数有种.如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.故总的方法数有种.故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.3、D【解析】

将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【详解】由图知与有个公共点即可，即，当设切点，则，.故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.4、A【解析】

由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，所以的周期为，则，所以，由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.5、D【解析】

由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，得，当时，.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.6、A【解析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值.【详解】函数的定义域为，且，则；任取，且，则，故，令，，则，即，故函数在上单调递增，故，令，，故，故函数在上的最大值为4.故选：A.【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.7、B【解析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为，由于，所以，故可得.故选：B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.8、B【解析】

试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，．考点：程序框图、茎叶图．9、D【解析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.10、A【解析】

由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.11、B【解析】

求出的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出的范围即可．【详解】解：令，则，则，故，如图示：由，得，函数恒过，，由，，可得，，，若方程有唯一解，则或，即或；当即图象相切时，根据，，解得舍去），则的范围是，故选：．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．12、C【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数，则，即；指数函数为上的增函数，则；指数函数为上的减函数，则.综上所述，.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先计算平均数再求解方差与标准差即可.【详解】解：样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为：【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.14、【解析】∵多项式满足∴令，得，则∴∴该多项式的一次项系数为∴∴∴令，得故答案为5，7215、55【解析】

由求出.由，可得，两式相减，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即求.【详解】由题意，当n=1时，，当时，由，可得，两式相减，可得，整理得，，即，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，.故答案为：55.【点睛】本题考查求数列的前项和，属于基础题.16、0或6【解析】

计算得到圆心，半径，根据得到，利用圆心到直线的距离公式解得答案.【详解】，即，圆心，半径.，故圆心到直线的距离为，即，故或.故答案为：或.【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解析】

（1）根据点到直线的距离公式可求出a的值，即可得椭圆方程；（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根据，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根据向量的运算可得，即可证明．【详解】（1）左顶点A的坐标为（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴•＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；（2），分，两种情况讨论即可.【详解】（1）证明：点的坐标为.联立方程，消去后整理为有，可得，，.可得点的坐标为.当时，可求得点的坐标为，，.有,故有.（2）若点在轴上方，因为，所以有，由（1）知①因为时.由（1）知，由函数单调递增，可得此时.②当时，由（1）知令由，故当时，，此时函数单调递增：当时，，此时函数单调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时，可求得.由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）利用均值不等式即可求证；（2）利用，结合，即可证明.【详解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.20、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）取中点为，连接，，，，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取中点为，连接，，，如下图所示：因为，，，所以，故为等边三角形，则.连接，因为，，所以为等边三角形，则.又，所以平面.因为平面，所以.（2）由（1）知，因为平面平面，平面，所以平面，以为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，易求，则，，，，则，，.设平面的法向量，则即令，则，，故.设平面的法向量，则则令，则，，故