初三升高一数学直播腾飞班（课改）讲义第8讲 指数函数

指数函数指数函数学习目标学习目标第8讲指数函数 学习目标理解指数函数的定义、图象与性质．掌握指数函数的定义域、值域的求法．能利用指数函数的性质解决相关问题．能利用单调性比较指数幂的大小．直击课堂直击课堂指数函数-直击课堂知识引航第8讲指数函数 知识引航一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍．杰米说：“真的？！你说话算数？一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍．杰米说：“真的？！你说话算数？”合同开始生效了，杰米欣喜若狂．第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元……到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点．杰米想：要是合同定两个月，三个月多好！可从第21天起，情况发生了变化．第21天，杰米支出1万多，收入10万元．到第28天，杰米支出134万多，收入10万元．结果杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时，共付给韦伯2147483647分，也就是2000多万元！杰米破产了．米碰到了“指数爆炸”．一种事物如果成倍成倍地增大(如222)，则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人．在科学领域，常常需要研究这一类问题．接下来我们用理论知识来研究一下这些问题吧！素材 knowledgecombing第第8讲指数函数 模块一 指数函数的概念【知识点睛】一般地，函数y=ax(a>0且a=1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．1例题1))1下列函数一定是指数函数的是(y=2x+1y=x3y=3⋅2xy=3−x2下列函数中指数函数的个数是( )①y2x；②yx2；③y3x+3；④yxx；⑤y3)x(a>1，且a2)74%2 30123考法：【达标检测】式变式是是( )1234x1，y1)，yx，yax，y2x222x131y=x，y=()，y=42例题211函数f=−3a+3)ax是指数函数，则的值为 ．71%考法：【达标检测】变式 ))1若函数f2a2ax是指数函数,则的值是(−133或−12模块2：指数函数的图象与性质素材 knowledgecombing第第8讲指数函数 模块二 指数函数的图象与性质【思考探究1】画出函数f(x)=2x与g(x)=3x的图象，你发现了什么？【思考探究2】以上两个函数都满足a1，若0a1，则图象又会是什么样？x请以函数h(x)=( )为例画出图象，并与函数f(x)=2画在同一坐标系中进行对比．1x2【知识点睛】1．指数函数的图象与性质(1)指数函数y=ax(a>0,a 1)的图象：(2)指数函数y=ax(a>0,a 1)的性质：(3)底数对指数函数图象的影响3例题3))1函数fax+10且a的图象恒过的定点构成的集合A.{(−1,−1)}B.{(0,1)}C.{(−1,0)}D.∅考法：【达标检测】式变式)2)21D.(,1)4B.1)C.1)A.(,1)1函数yax−1(a0且a的图象必经过1)2当a0且a1时，函数fax−13的图象一定经A.1)B.4)C.3)D.(−1,3)4例题41函数y=−a>0,a=的图象可能是( )54%A.B.C.D.式变式1函数y=ax−

1>0,a=的图象可能是( )a50%ABCD5例题51函数y=ax(a>0且a=1)与函数y=−1)x2−2x−1在同一个坐标系内的图象可能是( )59%ABCD式变式1若a>1，则函数y=ax与y=−x2的图象可能是下列四个选项中的( A.B.C.D.6例题631图中的曲线C1C2C3C4是指数函数yax的图象，而a{23

1,3,

5,π，则图象C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是 ， ， ， ．考法：达标检测式变式1 x

−x x1已知y1

=(3)，y2=

，y3

=10 ，y4=

，则在同一坐标系内，它们的图象为( )69%A.B.C.D.7例题7时，函数的定义域．91)∈(,+∞③当g(x；；x3①当x∈[−2,1)时，函数的值域为②当x1]时，函数的值域为1)=()，1已知函数g考法：达标检测式变式1 x1函数y=(2A.R

⩾的值域是( )56%B.

1]]256]]C.

1256D.

1256

,+∞)模块3：指数幂的大小比较素材 knowledgecombing第第8讲指数函数 模块三 指数幂的大小比较【知识点睛】幂的大小比较有三类题型：同底的幂比大小；同指数的幂比大小；既不同底也不同指数但容易找到中间值的幂比大小．8例题8,,050.7−0.1,7−0.7；⑥0.5π550.30.3−1.2 −1.2−0.61−0.51−0.5 −0.61比较下列各题中两个值的大小:①3 ,3 ；②() ,() ；③3 ,4 ；④0.7 ,0.8 ；⑤考法：【达标检测2】式变式1设x=0.20.3，y=0.30.2，z=0.30.3，则x,y,z的大小关系为( )59%x<z<yy<x<zy<z<xz<y<x))2已知a1.60.3，b1.60.8，c0.70.8，则(c<a<ba<b<cb>c>aa>b>c模块4：课堂总结素材 knowledgecombing指数函数指数函数-课堂总结模块5：秋季你会遇见’考法：【变式4】例题9 xx21+()+1(x⩾1)的值域．−x+11函数f4素材 knowledgecombing指数函数指数函数-秋季你会遇见【点石成金】暑秋两题都考察了指数函数求值域问题。对比发现，暑期题目比较简单，直接画出指数函数图象即可求值域。但是秋季中题目明显相对比较复杂，需要我们对原函数进行变形，然后构造二次函数进行求解。模块6：理科大视野这个n的值是：48584506361897134235820959624942020445814005879832445494这个n的值是：485845063618971342358209596249420204458140058798324454948309308506193470470880992845064476986552436484999724702491511911041160573917740785691975432657185544205721044573588368182982375413963433822519945219165128434833290513119319995350241375876523926487461339490687013056229581321948111368533953556529085002387509285689269455597428154638,2⌋172−17⌊x⌋−mod(⌊y⌋,17)y⌊mod(⌊ ⌋)21<其中，⌊x⌋表示向下取整，即不超过x的最大整数；mod(x,y)则表示x除以y的余数．神奇的是，如果对于某个特殊的数n，图像在0⩽x⩽106、n⩽y⩽n+17的范围内将会是图1所示这个模样．,2⌋17−17⌊x⌋−mod(⌊y⌋,17)y⌊mod(⌊ ⌋)221<理科大视野你相信吗？一个不等式的图像里面竟然写着这个不等式本身？2001年，在介绍一种全新的方程图像绘制算法时，塔珀（JeffTupper）构造了这样一个有趣的不等式：6510730049106723058933586052544096664351265349363643957125565695936815184334857605266940161251266951421550539554519153785457525756590740540157929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300∗觉得这个神奇吧？你也许会想，天哪，这个是怎么构造出来的啊！其实这一点都不神奇．塔珀自我指涉公式仿佛是数学里的魔术，当看穿了里面的把戏之后，你便能轻易构造出无数个这样的式子来，塔珀自我指涉公式也就没什么意思了．继续读下面的内容之前，大家不妨先思考一下．你能看出其中的奥秘吗？在这个式子里，变量x和y出现的每个地方都加上了取整符号，因此整个图像都是一格一格的．于是，我们只需要考虑12

⌊mod

y⌋)2−17⌊x⌋−mod(⌊y⌋,17),2⌋的整数解，把这些解描绘在平面直角坐标系上，再扩展成17一幅像素画即可．另外，一个数乘以2的负k次方相当于对应的二进制小数点左移k位（正如一个数乘以10的负k次方相当于这个十进制数的小数点左移k位），那么⌊mod(N2−k2)⌋实质上就是N的二进制数右起第k位上的数字（正如⌊mod(N2−k10)⌋可以提取出十