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文档简介
湖北省沙洋县后港中学2023年高三年级期末调研考试(数学试题)试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()A.56383 B.57171 C.59189 D.612422.已知等差数列{an},则“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数,若所有点,所构成的平面区域面积为,则()A. B. C.1 D.4.已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),则f(x)的最小值为()A. B. C. D.5.已知是定义是上的奇函数,满足,当时,,则函数在区间上的零点个数是()A.3 B.5 C.7 D.96.若非零实数、满足,则下列式子一定正确的是()A. B.C. D.7.已知双曲线:的左、右两个焦点分别为,,若存在点满足,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.58.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.09.已知,且,则在方向上的投影为()A. B. C. D.10.若集合,,则()A. B. C. D.11.已知复数,其中为虚数单位,则()A. B. C.2 D.12.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知随机变量服从正态分布,若,则_________.14.如图,在棱长为2的正方体中,点、分别是棱,的中点,是侧面正方形内一点(含边界),若平面,则线段长度的取值范围是______.15.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点,且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.16.设,若函数有大于零的极值点,则实数的取值范围是_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知;.(1)若为真命题,求实数的取值范围;(2)若为真命题且为假命题,求实数的取值范围.18.(12分)已知椭圆的焦距为2,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)设为的左焦点,点为直线上任意一点,过点作的垂线交于两点,(ⅰ)证明:平分线段(其中为坐标原点);(ⅱ)当取最小值时,求点的坐标.19.(12分)设数列的前n项和满足,,,(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔(2)设,求证:.20.(12分)设为实数,已知函数,.(1)当时,求函数的单调区间:(2)设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;(3)若函数(,)有两个相异的零点,求的取值范围.21.(12分)某单位准备购买三台设备,型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中,随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台,调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数,并得到统计表如下所示.每台设备一个月中使用的易耗品的件数678型号A30300频数型号B203010型号C04515将调查的每种型号的设备的频率视为概率,各台设备在易耗品的使用上相互独立.(1)求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率;(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据,该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品?22.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,,为等边三角形,平面平面ABCD,M,N分别是线段PD和BC的中点.(1)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)试判断直线MN与平面PAB的位置关系,并给出证明.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”,可得这些数构成等差数列,然后根据等差数列的前项和公式,可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为的等差数列,记数列则令,解得.故该数列各项之和为.故选:C.【点睛】本题考查等差数列的应用,属基础题。2、C【解析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:在等差数列{an}中,若a2>a1,则d>0,即数列{an}为单调递增数列,若数列{an}为单调递增数列,则a2>a1,成立,即“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件,故选C.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.3、D【解析】
依题意,可得,在上单调递增,于是可得在上的值域为,继而可得,解之即可.【详解】解:,因为,,所以,在上单调递增,则在上的值域为,因为所有点所构成的平面区域面积为,所以,解得,故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,理解题意,得到是关键,考查运算能力,属于中档题.4、A【解析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为,再求最值.【详解】已知函数f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因为,所以f(x)的最小值为.故选:A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.5、D【解析】
根据是定义是上的奇函数,满足,可得函数的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得,利用周期性可得函数在区间上的零点个数.【详解】∵是定义是上的奇函数,满足,,可得,
函数的周期为3,
∵当时,,
令,则,解得或1,
又∵函数是定义域为的奇函数,
∴在区间上,有.
由,取,得,得,
∴.
又∵函数是周期为3的周期函数,
∴方程=0在区间上的解有共9个,
故选D.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题.6、C【解析】
令,则,,将指数式化成对数式得、后,然后取绝对值作差比较可得.【详解】令,则,,,,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小,同时也考查了指数式与对数式的转化,考查推理能力,属于中等题.7、B【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,离心率求解时,一般是把已知条件,转化为a,b,c的关系式.8、C【解析】
集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.9、C【解析】
由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定义计算.【详解】由可得,因为,所以.故在方向上的投影为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.10、B【解析】
根据正弦函数的性质可得集合A,由集合性质表示形式即可求得,进而可知满足.【详解】依题意,;而,故,则.故选:B.【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用,集合的包含关系与补集关系的应用,属于中档题.11、D【解析】
把已知等式变形,然后利用数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式计算得答案.【详解】解:,则.故选:D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.12、C【解析】
先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C.【点睛】本题考查集合补集的运算,求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义,属于简单题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、0.4【解析】
因为随机变量ζ服从正态分布,利用正态曲线的对称性,即得解.【详解】因为随机变量ζ服从正态分布所以正态曲线关于对称,所.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.14、【解析】
取中点,连结,,推导出平面平面,从而点在线段上运动,作于,由,能求出线段长度的取值范围.【详解】取中点,连结,,在棱长为2的正方体中,点、分别是棱、的中点,,,,,平面平面,是侧面正方形内一点(含边界),平面,点在线段上运动,在等腰△中,,,作于,由等面积法解得:,,线段长度的取值范围是,.故答案为:,.【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.15、2【解析】
根据为焦点,得;又求得,从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上,则又本题正确结果:【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题,属于基础题.16、【解析】
先求导数,求解导数为零的根,结合根的分布求解.【详解】因为,所以,令得,因为函数有大于0的极值点,所以,即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题,极值点为导数的变号零点,侧重考查转化化归思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)或【解析】
(1)根据为真命题列出不等式,进而求得实数的取值范围;(2)应用复合命题真假判定的口诀:真“非”假,假“非”真,一真“或”为真,两真“且”才真.【详解】(1),且,解得所以当为真命题时,实数的取值范围是.(2)由,可得,又∵当时,,.∵当为真命题,且为假命题时,∴与的真假性相同,当假假时,有,解得;当真真时,有,解得;故当为真命题且为假命题时,可得或.【点睛】本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题,存在性问题,考查复合命题的真假判断,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18、(1)(2)(ⅰ)见解析(ⅱ)点的坐标为.【解析】
(1)由题意得,再由的关系求出,即可得椭圆的标准方程;(2)(i)设,的中点为,,设直线的方程为,代入椭圆方程中,运用根与系数的关系和中点坐标公式,结合三点共线的方法:斜率相等,即可得证;(ii)利用两点间的距离公式及弦长公式将表示出来,由换元法的对勾函数的单调性,可得取最小值时的条件获得等量关系,从而确定点的坐标.【详解】解:(1)由题意得,,所以,所以椭圆方程为(2)设,的中点为,(ⅰ)证明:由,可设直线的方程为,代入椭圆方程,得,所以,所以,则直线的斜率为,因为,所以,所以三点共线,所以平分线段;(ii)由两点间的距离公式得由弦长公式得所以,令,则,由在上递增,可得,即时,取得最小值4,所以当取最小值时,点的坐标为【点睛】此题考那可是椭圆方程和性质,主要考查椭圆方程的运用,运用根与系数的关系和中点坐标公式,同时考查弦长公式,属于较难题.19、(1)证明见解析,;(2)证明见解析【解析】
(1)由,作差得到,进一步得到,再作差即可得到,从而使问题得到解决;(2),求和即可.【详解】(1),,两式相减:①用换,得②②—①,得,即,所以数列是等差数列,又,∴,,公差,所以.(II).【点睛】本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和,考查学生的计算能力,是一道容易题.20、(1)函数单调减区间为;单调增区间为.(2)(3)【解析】
(1)据导数和函数单调性的关系即可求出;(2)分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;(3)先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围【详解】解:(1)当时,因为,当时,;当时,.所以函数单调减区间为;单调增区间为.(2)由,得,由于,所以对任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以对任意的恒成立,设,,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以.(3)由,得,其中.①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意;②若时,令,得.由第(2)小题,知:当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为.所以,存在,使得,即,①且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减.因为函数有两个零点,,所以.②设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,.所以,②式中的,又由①式,得.由第(1)小题可知,当时,函数在上单调递减,所以,即.当时,(ⅰ)由于,所以得,又因为,且函数在上单调递减,函数的图象在上不间断,所以函数在上恰有一个零点;(ⅱ)由于,令,设,,由于时,,,所以设,即.由①式,得,当时,,且,同理可得函数在上也恰有一个零点.综上,.【点睛】本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.21、(1)(2)应该购买21件易耗品【解析】
(1)由统计表中数据可得型号分别为在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可;(2)由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.【详解】(1)由题中的表格可知A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为;B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为;C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为;设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则,,,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则而,,故,即该单位一个月中三台设备使用的
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