北京市丰台区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市丰台区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题本题共16分，每题2分。第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1.随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.答案：C2.如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（）A.50° B.100° C.130° D.150°答案：B3.对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（）A.开口向上 B.经过原点C.对称轴是y轴 D.顶点在x轴上答案：D4.若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（）A. B.0 C.1 D.−1或1答案：A5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为()A.π B.πC.π D.π答案：B6.某口袋放有编号1~6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的概率是（）A. B. C. D.答案：C7.如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）A.A，B，C都不在 B.只有BC.只有A，C D.A，B，C答案：D8.抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.③④ D.①④答案：B二、填空题本题共16分，每小题2分。9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是B，则线段AB的长为______．答案：10.将抛物线先向上平移一个单位长度，再向下平移一个单位，得到的抛物线的表达式为______．答案：11.用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．答案：112.点，在抛物线上，则，的大小关系为：__________（填“>”，“=”或“<”）．答案：<13.如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是________．答案：70°14.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.答案：1：2：315.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．答案：0.216.某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心顺时针方向转动，转一圈为分钟．从小刚由登舱点进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点_________处(填，，或)，此点距地面的高度为_______m．答案：①.C②.78三、解答题共68分，本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分。17.解方程：．答案：，，∴或，解得：或．18.已知：如图，A为上的一点．求作：过点A且与相切的一条直线．作法：①连接OA；②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；④作直线PA．直线PA即为所求．[1]使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；[2]完成下面的证明．证明：连接BA．由作法可知．∴点A在以OP为直径的圆上．∴（）（填推理的依据）．∵OA是的半径，∴直线PA与相切（）（填推理的依据）．答案：[1]补全图形如图所示，直线AP即为所求作；[2]证明：连接BA，由作法可知，∴点A在以OP为直径的圆上，∴（直径所对的圆周角是直角），∵OA是的半径，∴直线PA与相切（切线的判定定理），故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．19.已知关于的一元二次方程．[1]求证：方程总有两个实数根；[2]若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．答案：[1]证明：∵一元二次方程，∴==．∵，∴．∴该方程总有两个实数根．[2]解：∵一元二次方程，解方程，得，．∵，∴．∵该方程的两个实数根的差为3，∴．∴．20.在平面直角坐标系中，抛物线经过点．[1]求该抛物线的表达式；[2]将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．[3]当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．答案：[1]∵抛物线经过点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为．[2]由[1]知抛物线的表达式为∴抛物线的顶点坐标为，∵抛物线与轴只有一个公共点，∴只需向上平移个单位，顶点变为，此时满足题意，∴将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点，故答案为：1．[3]函数图象如下图所示：通过图象可知当时，；当时，；当时，；∴当时，21.一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．答案：活动1：红球1红球2白球红球1（红1，红2）（红1，白）红球2（红2，红1）（红2，白）白球（白，红1）（白，红2）∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况，

∴摸出的两个球都是红球的概率记为活动2：红球1红球2白球红球1（红1，红1）（红1，红2）（红1，白）红球2（红2，红1）（红2，红2）（红2，白）白球（白，红1）（白，红2）（白，白）∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，

∴摸出的两个球都是红球的概率记为∴22.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，每件衬衫的价格应降低多少元？答案：设每件衬衫应降价元，根据题意得，整理得解得：，．因为要扩大销售，故每件衬衫应降20元．23.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m）与行进的水平距离（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．[1]图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；[2]求篮球出手时距地面的高度．答案：[1]由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3），故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；[2]设抛物线的解析式为：，把点坐标（4.5，3.05），代入得，解得：，∴当x=0时，，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．24.如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．[1]求证：AB是⊙O的切线；[2]若BD＝4，CE＝6，求AC的长．答案：[1]证明：连接OD，如图：∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∵DE∥OA，∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，∴∠AOC=∠AOD.在△AOD和△AOC中，∴△AOD≌△AOC，∴∠ADO=∠ACO.∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ADO=∠ACO=90°，又∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；[2]解：∵CE=6，∴OE=OD=OC=3.在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，∴，∴BO=5，∴BC=BO+OC=8.∵⊙O与AB和AC都相切，∴AD=AC.在Rt△ACB中，，即：，解得：AC=6；25.阅读理解：某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：[1]自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：…………其中______；[2]在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；[3]根据函数图象，回答下列问题：①当时，则y的取值范围为______．②直线经过点，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是______．答案：[1]将代入函数得：．故答案为：[2]根据表格：…………描点法作出函数的图象如下图所示：[3]①根据函数图象可知：当时，y的取值范围是；故答案为：；②由函数图象知：∵关于x的方程有个互不相等的实数根，∴b的取值范围是．故答案为：；．26.在平面直角坐标系中，抛物线．[1]若抛物线过点，求抛物线的对称轴；[2]若，为抛物线上两个不同的点．①当时，，求a的值；②若对于，都有，求a的取值范围．答案：[1]函数图像经过点，，，，，抛物线的对称轴是；[2]①时，二次函数图像的对称轴为直线，，；②由题意可得，对于任意的，随的增大而减小，当时，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴左侧，在直线的右侧可满足题意，而在对称轴右侧则有都有，故不可能；当时，，在对称轴右侧，都有，当抛物线对称轴在直线左侧，即抛物线对称轴，，整理得：，．27.在正方形中，点E在射线上（不与点B、C重合），连接，，将绕点E逆时针旋转得到，连接．[1]如图1，点E在边上．①依题意补全图1；②若，，求的长；[2]如图2，点E在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．答案：[1]①如图所示，即为所求；②如图所示，过点F作，交的延长线于H，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴在中，．[2]结论：，理由如下：过点F作，交的延长线于H，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴和都是等腰直角三角形，∴，，∵，∴．28.如图1，对于的顶点P及其对边上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点Q为关于点P的内联点．在平面直角坐标系中：[1]如图2，已知点，点B在直线上．①若点，点，则在点O，C，A中，点______是关于点B的内联点；②若关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；[2]已知点，点，将点D绕原点O旋转得到点F，若关于点E的内联点存在，直接写出线段EF长度的取值范围．答案：[1]①如下图中，根据点Q为关于点P的内联点的定义，观察图象可知，点O，点C是关于点B的内联点故答案为：O，C；②