常数项级数的审敛法教案

时间---------月---------日星期-----------------课题§12-2常数项级数的审敛法教学目的掌握数项级数收敛性的鉴别办法.教学重点正项级数收敛性的比较鉴别法和比值鉴别法，级数的莱布尼兹鉴别法，绝对收敛与条件收敛的概念.教学难点任意项级数收敛性的鉴别办法.课型专业基础课教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点普通状况下，运用定义或级数的性质来鉴别级数的敛散性是很困难的，可否有更简朴易行的鉴别办法呢？由于级数的敛散性可较好地归结为正项级数的敛散性问题，因而正项级数的敛散性鉴定就显得十分地重要。一、正项级数及其审敛法定义1若级数中的每一项都是非负的(即)，则称级数为正项级数.对于正项级数，由于QUOTE，因而QUOTE，因此正项级数QUOTE的部分和数列QUOTE必为单调增加数列，即如果部分和数列QUOTE有界，则由数列极限存在准则懂得，单调有界数列必有极限，因此QUOTE存在，此时正项级数收敛；反之，若正项级数收敛，即QUOTE，则数列QUOTE必有界，由此得到以下定理：定理1正项级数收敛的充足必要条件是：它的前项部分和数列有界.此表2学时填写一份，“教学过程”局限性时可续页借助于正项级数收敛的充足必要条件，我们可建立一系列含有较强实用性的正项级数审敛法.1、（比较审敛法）设和都是正项级数，且则：1)如收敛，则亦收敛；2)如发散，则亦发散.证(1)设收敛于，且，则的部分和满足即单调增加的部分和数列有上界.由定理1可得收敛.(2)设发散，则它的前项部分和因，则级数的前项部分和因此当时，即发散.由于级数的每一项同乘以一种非零常数，以及去掉级数的有限项不变化级数的敛散性，因而比较审敛法又可表述以下：推论1设为正数，为正整数，和都是正项级数，且，则：如收敛，则亦收敛；2)如发散，则亦发散.例１鉴定调和级数QUOTE的敛散性．解=QUOTEQUOTEQUOTE+QUOTE+QUOTE=而级数是发散的，故有比较鉴别法知，调和级数发散。例2讨论级数的敛散性，其中.解（1）若，则，可得；又因调和级数发散，由定理2知发散.（2）若，有==即有上界，又对任意n有，因此，故有界，级数（）是收敛的。综上讨论，当时，级数是发散的；当时，级数是收敛的.级数是一种很重要的级数，在解题中往往会充当比较审敛法的比较对象，其它的比较对象重要有几何级数、调和级数等.例3鉴定级数的敛散性。解：由于,故收敛。例4讨论级数的敛散性.解（1）当时，级数的通项，而是一种公比为的等比级数，且<1，则收敛，故级数收敛；（2）当时，级数的通项，且发散，故级数发散.（3）当时，级数的通项，而发散，故级数发散.例5设，且级数及都收敛，证明级数收敛.证因，，可得；而级数及都收敛，由级数收敛的性质知收敛，再由比较审敛法得收敛.而故可得级数收敛.例6鉴定级数的敛散性。（）推论2*（比较审敛法的极限形式）设、为两个正项级数，如果两级数的通项满足，则当时，同时收敛或同时发散；当时，如果收敛，则也收敛；当时，如果发散，则也发散。证由极限的定义，取，存在着自然数，当时，有不等式成立，可得，即；再由推论1即得结论.练习：鉴别级数（1）（2）的敛散性.解（1）因，且发散，故级数发散；（2）因，且收敛，故级数收敛.2、极限审敛法设为正项级数，则（1）或。则级数发散；（2）若存在使存在，则级数收敛。例7鉴别级数的敛散性。（）。鉴别级数的敛散性。由于，因此级数收敛。3、比值审敛法（达朗贝尔鉴别法）若正项级数满足，则：（1）当时，级数收敛；（2）当(或)时，级数发散；（3）当时，级数的敛散性用此法无法鉴定.证（1）当时，则可取一足够小的正数，使得；又因，据极限的定义，对正数，存在自然数，当时，使得成立，即则有，可得即有…则相加有因，得级数收敛，再由级数得性质得收敛.（2）当时，存在充足小的正数，使得，同上由极限定义，当时，有即，因此当时，级数的普通项是逐步增大的，故它不趋向于零，由级数收敛的必要条件知发散.（3）当时，级数可能收敛，也可能发散.如对于级数，不管取何值，总有但是，该级数却在时收敛，时发散.例9鉴定下列级数的敛散性（1）（2）（3）（4）解：（1）因，故由比值审敛法知该级数是收敛的.（2）因，故由比值审敛法知级数是发散的.（3）因，故由比值审敛法知该级数是收敛的。（4）因，故因此当，即时，级数收敛；当，即时，级数发散；当，比值审敛法失效。练习：解：因，故用比值法无法拟定该级数的敛散性；注意到，可得，即；而级数收敛，由比较鉴别法知级数收敛.4、根值审敛法或柯西审敛法若正项级数满足，则：（1）当时，级数收敛；（2）当(或)时，级数发散；（3）当时，级数的敛散性用此法无法鉴定.证（1）当时，可取一足够小的正数，使得；据极限的定义，存在自然数，当时有即；而等比级数()是收敛的，由比较鉴别法知收敛；再由级数的性质得级数收敛.（2）当时，同理存在充足小的正数，使得，据极限定义，当时有，即，因此级数的普通项不趋向于零,由级数收敛的必要条件知发散.（3）当时，级数可能收敛，也可能发散.如级数是收敛，而级数是发散的，但。例10鉴定下列级数的敛散性（1）（2），其中且解：（1）因，则故原级数收敛.（2）因，则，因此当，即时，原级数收敛；当，即时，原级数发散；当，即时，由于，从而原级数发散。练习：鉴别级数的敛散性.解因，则故原级数收敛.注：对于运用比值审敛法与根值审敛法失效的情形(即时)，其级数的敛散性应另寻它法加以鉴定，普通可用构造更精细的比较级数来鉴别.二.交错级数及其审敛法定义2称 =u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1un+… (un＞0)或 =-u1+u2-u3+u4-…+(-1)nun+… (un＞0)为交错级数.2．定理2.(莱布尼茨(Leibniz)定理)如果交错级数满足条件:1) un≥un+1(n=1,2,…); 2) =0则级数收敛,且其和s≤u1,其它项的绝对值满足:|rn|≤un+1.证明:设级数的部分和为Sn,则S2n=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2n－1-u2n) （1）S2n=u1-(u2-u3)-…-(u2n－2-u2n－1)-u2n （2）由条件1）可知:（1）、（2）两式中括号内两数的差都是非负的,于是 由（1）知: {S2n}单调上升,且S2n≥0;由（2）知: S2n≤u1;根据单调有界数列必有极限可知数列{S2n}存在极限,记为s.且显然s≤u1.又由于S2n+1=S2n+u2n+1, 而u2n+10,(n∞)因此:S2n+1=S2n+u2n+1s,(n∞).由于:S2n+1s,S2ns,(n∞),因此:Sns (n∞).即交错级数收敛,且其和s≤u1.又由于此时余项: rn=±(un+1-un+2+un+3-un+4+…)因此: |rn|=un+1-un+2+un+3-un+4+…也是一种交错级数,且满足交错级数的条件,从并且和应不大于级数的第一项,即有: |rn|≤un+1.例11判断级数的敛散性.解:由于un=1/n＞1/(n+1)=un+1,且un0,(n∞),因此级数收敛.且知其和s＜1,以sn=1-+-…+替代s产生的误差rn满足|rn|≤1/(n+1).断级数的敛散性.解: 级数为交错级数,由于 ==0,因此 ==0;设 f(x)=, 则有 ,故当x≥3时,有≥0,从而当x≥3时,f(x)单调上升,于是当n≥3时,有 un=lnn/n＞ln(n+1)/(n+1)=un+1.因此该级数收敛.三．绝对收敛与条件收敛设有级数=QUOTE，其中QUOTE为任意实数，那么该级数叫做任意项级数．可见，交错级数是任意项级数的一种特殊形式．对任意项级数，我们给每项加上绝对值符号构造一种正项级数，任意项级数的敛散性鉴定涉及绝对收敛与条件收敛．定义3设有任意项级数QUOTE，如果级数QUOTE收敛，则称级数QUOTE绝对收敛，级数QUOTE发散，而级数QUOTE收敛，则称级数QUOTE条件收敛．例如:是绝对收敛;是条件收敛。由任意项级数各项的绝对值构成的级数是正项级数，因此，一切鉴别正项级数敛散性的办法，都能够用来鉴别任意项级数与否绝对收敛．2．定理3 若Σun绝对收敛,则Σun必然收敛.证明:设Σun绝对收敛,即Σ|un|收敛.记: Wn=(|un|+un), Vn=(|un|-un).显然: 0≤Wn,Vn≤|un|,由于Σ|un| 收敛,因此正项级数 ΣWn和ΣVn收敛.由于: un=Wn-Vn,由级数的性质可知:级数 Σun收敛.注: 1）上述定理的逆不成立;例如:收敛,但发散.2）对Σun敛散性的判断,能够转化为对正项级数Σ|un|的敛散性的判断;3）当Σ|un|发散时,不能断定Σun发散,但当用比值法或根值法得到正项级数Σ|un|发散时,则可断定级数Σun发散.(此时有|un|0,n∞),从而un0,(n∞)例13判断下列级数的敛散性,并指明是绝对收敛还是条件收敛。（1）（2）解：（1）由于，而调和级数（去掉第一项）发散，因此发散。而原级数为交错级数，且满足莱布尼兹定理，故收敛，因此条件收敛。（2）由于|un|===>>>1（因此,|un|0,从而,un0.即原级数发散.练习：1）2）3）4）解:（1）由于 ==e/2＞1,因此 |un|0,n∞,从而 un0,n∞,因此原级数发散.（2）∵ ==1/2＜1,∴ Σ|un|收敛,从而原级数绝对收敛.由于,而级数发散,因此 =发散.由于 =0,且 un=>=un+1,因此此交错级数满足收敛条件,从而原级数为条件收敛.4） 由于==|sinθ|因此 当|sinθ|＜1, 即θ≠2kπ±π/2时,级数绝对收敛;当sinθ=1, 即θ=2kπ+π/2时,级数发散;