《平方差公式》教学设计(部级优课)-七年级数学教案

教学基本信息课题6.4.2平方差公式学科数学学段：第三学段年级七年级相关领域数与代数教材书名：《义务教育教科书·数学》（七年级下册）出版社：北京出版社出版日期：2013年12月是否已实施2017年4月11日已实施教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者李娜北京市第一六一中学实施者李娜北京市第一六一中学指导者数学组北京市第一六一中学课件制作者李娜北京市第一六一中学指导思想与理论依据（1）布鲁纳动机教学原则：学习取决于学生对学习的准备状态和心理倾向。儿童对学习都具有天然的好奇心和学习的愿望，问题在于教师如何利用儿童的这种自然倾向，激发学生参与探究活动，从而促进儿童智慧的发展。复习引入提出问题：今天我们研究的平方差公式究竟是怎样简洁特征的特殊的多乘多呢？激发学生好奇心和学习的愿望。（2）程序教学法：斯金纳认为，对有机体与其环境相互作用的一种适当的陈述，必须始终具体说明三件事：反应发生的场合；反应本身；强化结果。这三者之间的相互关系便是“强化相倚关系（ContigenciesofReinforcement）”。根据强化相倚关系，斯金纳设计了两种促使有机体行为变化所采用的技术：塑造和渐退。塑造是指通过安排特定的强化相倚关系使有机体做出他（它）们行为库中原先不曾有过的复杂动作。渐退是指通过有差别的强化，缓慢地减少两种（或两种以上）刺激的特征，从而使有机体最终能对两种只有很小差异的刺激做出有辨别的反应。本设计中练习和例题的设置就是按照这样的方式设计的，先认识a，b；再判断是否符合平方差公式特征，进而套用公式计算，再识别是否符合公式连续使用公式，到最后构造公式。教学背景分析教学内容：本章内容属于数与代数部分，研究的主要内容是整式的加减乘除运算，这些知识是以后学习分式和根式的运算、函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。本课在本章中属于《整式的乘除》的内容，在学习本课之前我们已经学习了多项式乘多项式，以及两种特殊的多项式乘多项式，本节内容的教学影响着学生对两种公式的识别是否到位，是否会对已学知识产生负迁移，直接关系着后续利用公式法进行因式分解的学习。学生情况：授课班级学生基础较好，层次差异较大，已经有一定的观察、分析能力，但思维严谨性、抽象性仍相对薄弱，喜欢稍有挑战的学习内容。教学方法：教师采用发现、探究、讲授、练习、提问等教法组织教学。教学手段：PPT课件，学案，纸板模型，结合板书。技术准备：PPT课件；教学目标知识与技能目标：能用自己的语言叙述公式，能理解公式中字母的广泛含义，并能运用公式进行简单的运算。过程与方法目标：在本课的学习过程中，体会从“一般-特殊-一般”的认识事物的规律。情感态度价值观目标：在用文字、符号、图形三种语言表述平方差公式的过程中，认识数学具有抽象、严谨的特征，体会数学的价值。教学重点和难点教学重点：平方差公式教学难点：几何语言验证公式和识别是否符合平方差公式。

教学过程示意过程流程作用一．复习引入复习旧知将新知纳入知识体系二．学习新知平方差公式的学习三．巩固新知对平方差公式的结构进行学习四.例题讲解利用公式简算五.

小结作业梳理知识布置作业教学过程问题与情境师生行为设计意图一.复习引入(1)(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(3)(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2那么我们今天要学习的平方差公式又是怎样的特殊的多乘多呢？教师板演，学生复习口答。通过复习多项式乘多项式的乘法法则，到有一个字母相同的特殊的多项式乘多项式，两个多项式完全相同的多项式相乘，让学生体会到“一般-特殊”的学习顺序,学生会对今天要学习的乘法公式充满期待和猜想。二.学习新知1、计算：①(y+1)(y-2)②(m+1)(m-1)③（3+a）（3-a）④(x+2y)(x-2y)观察结果与各因式关系，猜想(a+b)(a-b)的结果。实际上结果只有两项，非常简洁，为了方便计算，将其作为公式。2.平方差公式即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。3.用几何图形验证平方差公式学生计算结果①(y+1)(y-2)=y2-y-2②(m+1)(m-1)=m2-1③（3+a）（3-a）=9-a2④(x+2y)(x-2y)=x2-4y2教师引导学生观察，关注学生是否能关注到后三个等式就有共同特征，关注进而引导学生先观察等式左边，再观察等式右边，关注学生能否主动将不是平方项的化为平方项。要求学生用自己的语言将观察到的规律叙述出来，进而用符号语言表示出来。要求学生证明公式。让学生用几何语言解释平方差公式，这是一个难点，但不是本节课研究的重点。由于需要由一个长方形经过剪裁之后再拼接，对于学生的要求还是相当高的。为了突破这个难点，我设计了三个有梯度的问题进行引导：1、用几何语言解释平方差公式，实质是利用图形的什么进行验证的？2、（a+b）（a-b）你能想到的是什么样图形的面积呢？a2-b2又是什么样的一个图形呢？3、如何将两个图形进行转化呢？同时，我还准备了纸板模型贴在黑板上，让学生先分析出该如何剪裁，再让学生动手演示如何拼接。让学生通过探究活动经历一个由具体到抽象，由特殊到一般的认识过程。让学生用文字语言叙述公式，是在培养学生的数学表述能力，用符号语言表示公式，是在培养学生的抽象能力。让学生证明公式，是让学生完整的经历观察、猜想、证明这一认识事物的方法，正如恩格斯所说：“单凭观察所得的经验，是决不能充分证明必然性的。”平方差公式的几何意义加深了学生对公式的理解．由于不是本课研究的重点，所以我没有安排大面积的学生动手操作，而是采用引导加学生示范的形式进行的，既锻炼了学生的思维，又节省了时间不至于影响本课重点内容的讲授。三.巩固新知3、指出下列各式是哪两个数的和乘以哪两个数的差。（a+b）(a-b)ab（）2-（）2(x-y)(x+y)（）2-（）2(-x+y)(-x-y)（）2-（）2(-x+y)(x+y)（）2-（）2(-y-x)(x-y)（）2-（）2（a+b+c）(a+b-c)（）2-（）2（a+b-c）(a-b-c)（）2-（）2思考：字母a,b可以表示什么?可以表示一个数，也可以是单项式、多项式等，所以平方差公式可抽象为以下形式：﹙□+△﹚﹙□–△﹚=□²–△²4、判断下列计算是否正确,正确画”√”,否则画”╳”.（1）（2a－3b）（2a－3b）=4a2－9b2()（2）（x＋2）（x－2）=x2－2()（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4()（4）（m＋2）（m－3）=m2－6()(5)（7+a）(-7-a)=(-7)2-a2()教师提问，学生经过思考独立回答，在学生回答的过程中，教师关注学生能否回答准确，稍有困难时，教师提醒学生：a是两项中相同的项，b是互为相反的项去掉符号。（1）题符合差的完全平方公式，（2）（3）符合平方差公式，考察套用公式计算结果是否正确，（4）符合（x+a）（x+b）（5）最难判断，两项互为相反数，需要变形之后，符合完全平方公式。学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．加深对平方差公式的理解，进一步体会字母a、b既可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．另强调使用公式时写成（）2-（）2的形式，避免计算积的乘方时漏乘方的现象。在上一题的基础上，考察学生能否判断出等式左边是否符合平方差公式的特征，再套用平方差公式计算，与前面学习的几种乘法公式互相区分，减少负迁移。通过这两个题目的设置，突破难点，加深学生对于公式的理解和识别。四.例题讲解：例1利用平方差公式计算：（1）（2）5、练习：（1）（-0.25x－y）（-0.25x＋y）（2）（3y－2x）（－2x－3y）例2、计算：（1）（2）教师板演，学生学习。师生共同分析解题步骤：(1)分析，判断是否符合公式找a，b(2)用公式：（）２－（）２(3)算：乘积的乘方学生独立练习，安排两名同学板演。同学纠错，教师小结统计同学正确率。（1）题学生独立思考，发表见解。（1）题需要学生能够发现第1项和第3项结合使用符合公式，经过计算之后发现结果和第二项结合又符合平方差公式，连续使用两次公式进行计算。（2）题学生先回答思路，再师生共同研究，教师引导。（2）题难度特别大，需要学生构造平方差公式来进行简算。通过找、用、算三步，使公式的运用更加条理化，规范化，易于学生掌握。强调了先判断是否符合公式特征，再使用公式的最重要的一步，也是学生最容易忽略的一步，而到了下节课和完全平方公式同时出现的时候就会出现大面积的公式混用的现象。规范了学生在用公式的时候必须写成（）2-（）2的形式，与上面练习遥想呼应，减少学生积的乘方出现系数忘记乘方的情况。展示学生学习成果，对于学生运算中存在的问题进一步纠错。全班只有两名同学算错，都是（1）题，其中一名同学就是板演的同学，问题出在（-0.25）2没有算对，还有一名同学漏掉了x成了.（1）题考查学生对于平方差公式的掌握程度，能否主动发现并两次使用公式，（2）题有一定的难度，由于我班学生的学习特点，我特地安排了这道题，从发现符合公式特征使用公式到主动构造公式，是一个质的飞跃，为了帮助学生理解，我采用将2看作a，1看作b的形式，将整个式子转化成：(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)的形式，是平方差公式中和的那一部分，缺少的是差的那一部分，如果添上差的那一部分，（a-b）(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)就变成（1）同样类型的题目。五.小结作业：1.课堂小结教师提问：（1）你学到了那些知识？（2）你认为平方差公式的作用是什么？2.布置作业：必做题：书89页第2题92页第4，5题选做题：书93页拓展学生回答问题，教师总结认识事物的规律“一般-特殊-一般”。学生完成作业。引导学生梳理本节课所学知识的脉络，整理本节课收获的研究问题的方法。作业层次分明。必做作业，落实本节课所学知识，加深平方差公式的理解。选做作业，适合程度较好的学生，引发学生深层思考，获得成功的体验。学习效果评价设计评价方式：1、提问关注不同层次的学生：本课课堂提问人数超过80%，为不同层次的学生安排了适合的问题，比如识别a，b中较简单的题目适合程度较差的学生，而几何图形验证公式就适合程度较好的学生，不仅安排了提问的形式检测学生学习情况，而且安排了板演练习的方式检测学生。2、练习统计当堂学习情况：通过当堂统计，第（1）题全班有两人出错，一人也就是板演那位同学，错误原因在于系数（-0.25）2计算错误，还有一人把x丢掉了。（2）题全对，发现教学效果还是相当不错的。3、作业拓展提升在上述两个环节中体现的是学生基本计算能力的反馈，大多数学生在本课中都有很好的收获，而对于程度较好的学生而言是远远不够的，所以我通过选作作业，考察学生能否主动构造公式进行简算，从学生的作业反馈来看，效果是不错的。本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点1、关注学生学习的过程,而不仅仅关注得出的结论从特殊实例探索发现规律时，关注学生能否找到三个式子中具有的共同特征，进而引导学生先观察等式左边，再观察等式右边，关注学生能否主动将不是平方项的化为平方项。2、自制教具，形象解决难点问题本课中平方差公式的几何意义是学生理解起来较难的部分，所以我采取了自制教具的办法，采用两层长方形纸片粘在一起，并不直接给出学生我想要的具体信息，而是等学生思路发展到了具体的一步之后，才呈现长为a+b，宽为a-b的矩形，到转化为一个正方形剪去一个小正方形时，也是学生思路发展到切割长方形的一部分拼成正方形的，而采用纸板拼接的办法，操作性强，学生能够看到整个拼接的过程。3、注重思维训练的层次性（1）练习和例题的选择充分考虑到了学生认知的规律，首先安排了识别a，b这组练习，接着安排了判断题，最后才安排例1，体现“识别-判断-计