04南航戴华《矩阵论》第四章l矩阵的因子分解剖析

第4章矩阵的因子分解4.1初等矩阵4.2满秩分解4.3三角分解4.4QR分解4.5Schur定理与正法规阵4.6奇异值分解4.1初等矩阵4.1.1初等矩阵4.1.2初等下三角矩阵4.1.3Householder矩阵4.1.1初等矩阵设，σ为一复数，如下形式的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵E(u,v,σ)具有如下性质：4.1.2初等下三角矩阵称为初等下三角矩阵,即对初等下三角矩阵，当i<j时，有用初等下三角矩阵Li左乘一个矩阵A，等于从A的第k行减去第i行乘以。对于，假设，取4.1.3Householder矩阵取u=v=w,σ=2，并且w是单位向量，即||w||=1，初等矩阵称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。并且假设上述条件成立，则使H(w)a=b成立的单位向量w可取为其中θ为任一实数。Householder矩阵H(w)具有如下性质：4.2满秩分解定理4.2.1〔满秩分解定理〕设m×n矩阵A的秩为r>0,则存在m×r矩阵B和r×n矩阵C使得并且rank(B)=rank(C)=r.什么是矩阵的满秩分解？矩阵的满秩分解是否存在？假设存在，满秩分解是否唯一？如何计算矩阵的满秩分解？满秩分解有什么应用？满秩分解的应用：有关结论的证明。计算广义逆矩阵。4.3三角分解设A=(aij)是n阶矩阵，假设A的对角线下(上)方的元素全为零，即对i>j,aij=0〔对i<j,aij=0〕，则称矩阵A为上〔下〕三角矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。对角元全为1的上〔下〕三角矩阵称为单位上〔下〕三角矩阵。什么是矩阵的LU分解？矩阵的LU分解是否存在？假设存在，LU分解是否唯一？如何计算矩阵的LU分解？LU分解有什么应用？上〔下〕三角矩阵的性质〔LU分解定理〕设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使得的充分必要条件是A的全部挨次主子式均非零,即〔LDU分解定理〕设A是n阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn)和单位上三角矩阵U使得的充分必要条件是A的全部挨次主子式均非零，即，并且分解式称为矩阵A的LDU分解。一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵，A未必能作LU分解和LDU分解。定义设ei是n阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)，以为列作成的矩阵称为n阶排列矩阵，其中是1,2,…n的一个排列。定理设A是n阶非奇异矩阵，则存在排列矩阵P使得其中L是单位下三角矩阵,是上三角矩阵，U是单位上三角矩阵，D是对角矩阵。LU分解的应用：

求解线性方程组。4.4QR分解定理设A是n阶非奇异实〔复〕矩阵，则存在正交〔酉〕矩阵Q和非奇异实〔复〕上三角矩阵R使得什么是矩阵的QR分解？矩阵的QR分解是否存在？假设存在，QR分解是否唯一？如何计算矩阵的QR分解？QR分解有什么应用？设A是矩阵，且，则存在m阶正交〔酉〕矩阵Q和行满秩矩阵R使得或A有分解设A是实〔复〕矩阵，且其n个列向量线性无关，则存在m阶正交〔酉〕矩阵Q和n阶非奇异实〔复〕上三角矩阵R使得QR分解的应用：

求解线性方程组。

求解矩阵特征值问题。

求解线性最小二乘问题。4.5Schur定理与正法规阵则称A正交〔酉〕相像于B。定理4.5.1(Schur定理)任何一个n阶复矩阵A都酉相似于一个上三角矩阵，即存在一个n阶酉矩阵U和一个n阶上三角矩阵R使得其中R的对角元是A的特征值，它们可以按要求的次序排列。则称A为正法规阵。n阶矩阵A酉相像于一个对角矩阵的充分必要条件为A是正法规阵。假设A是n阶Hermite矩阵，则A必酉相像于实对角矩阵，即存在n阶酉矩阵U使得(4.5.6)式称为Hermite矩阵A的谱分解式。设A，B均为n阶正法规阵，并且AB=BA，则存在n阶酉矩阵U使得与同时为对角矩阵。定理4.5.4任何n阶实矩阵A都正交相像于一个拟上三角矩阵，即存在一个n阶正交矩阵Q和一个n阶拟上三角矩阵R使得其中R是块上三角矩阵〔或称拟上三角矩阵〕,其对角块为1阶块或2阶块,每个1阶块是A的实特征值,而每个2阶块的两个特征值是A的一对共轭复特征值,且R的对角块可以按要求的次序排列。假设A是n阶实对称矩阵，则A正交相像于实对角矩阵，即存在n阶正交矩阵Q使得4.6奇异值分解则称σ为A的奇异值，u和v分别称为A对应于奇异值σ的右奇异向量和左奇异向量。由(4.6.2)可得假设A是正法规