Hermite插值教学课件

§2.6

Hermite插值不少实际问题不但要求插值函数在节点上与原来的函数相等（满足插值条件），而且还要求在节点上的各阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式，称为Hermite插值多项式记为H(x)，本节主要讨论已知节点的函数值和一阶导数的情形。设已知函数y=f(x)在n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…n)和导数值y

i=f

(xi)(i=0,1,2,…n)，要求一个不超过2n+1次的多项式H(x)，使其满足：这样的H(x)称为Hermite插值多项式。

与Lagrange分析完全类似Hermite插值Hermite插值Hermite插值误差估计：与Lagrange分析完全类似为确定

(x)，作辅助函数：∵当t=x时，使

(x)=0

∴t=x,x0,x2为

(t)的一重零点，t=x1为二重零点。因此

(t)共五重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在

x，使

(4)(

x)=0，即：由于H(t)是t的三次多项式，∴H(4)(

x)=0注意到x1是

的二次零点，x0,x2为其一次零点，所以：Hermite插值对hi(x)：x=xj(j

i)为其二重零点，故应含有因式(x

xj)2(j

i)，因此可以设为这样来确定a,b较麻烦，引入li(x)),,2,1,0(,10)(ˆ,0)(ˆnjjijixhxhjijiL=îíì=¹=¢=2(),,2,1,0(0)(,10)()njxhjijixhjijiL==¢îíì=¹=Hermite插值对

:由于x=xj(j

i)为其二重零点，xi为一重零点，故可设:Hermite插值特别地，当n=1时，有:和引例类似，可导出Hermite插值的误差估计。定理设x0,x1,…,xn为区间[a,b]上的互异节点，为f(x)的过这组节点的2n+1次Hermite插值多项式。若f(x)在[a,b]上2n+2连续可导，则对

x

[a,b]插值余项为：特别地，n=1的三次Hermite插值余项为：Hermite插值于是上式

0这表明Hermite插值多项式是唯一的。

证明（反证法）假设另有一个H(x)是满足相同插值要求的2n+1次Hermite多项式推论1：不超过2n+1次的多项式在任意n+1个互异节点上的Hermite插值多项式就是其自身。对于推论2，事实上，可令f(x)=1，f

(xi)=0，(i=0,1,…,n)，显然满足这组插值条件，即得结论。设x0,x1,…,xn为区间[a,b]上互异节点，f(x)在(a,b)上2n+2阶导数存在，则上述Hermite插值多项式是唯一的。定理5.3Hermite插值Quiz:

给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.

下面哪个是h2(x)的图像？

x0--10.5123456yxy0---10.5123456斜率=1

求Hermite多项式的基本步骤：

写出相应于条件的hi(x)、hi(x)的组合形式；

对每一个hi(x)、hi(x)找出尽可能多的条件给出的根；

根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；

根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；

最后完整写出H(x)。Hermite插值例按下表求Hermite插值多项式：解法一：这里有5个条件，所以插值多项式不超过4次，用构造插值基函数hi(x)(i=0,1,2)和(i=0,1)的方法，它们分别应满足：Hermite插值解法2:∵x=0为二阶零点，故可设插值多项式为代入条件：所求四次Hermite插值多项式为：解法3:还可直接设五次方程求解Hermite插值例Hermite插值