关于klen四元群的性质及抽象构造

关于klen四元群的性质及抽象构造

众所周知，克里斯特鲁姆是一个克里斯特鲁姆群。有一个更大的克里斯特群吗？克里斯群有什么性质，以及它的抽象结构？本文讨论这些问题。Klein群(K,·)具有以下性质:∀a,b∈K,有a2=e,b2=e,且a·b,b·a∈K.又因为(a·b)·(b·a)=a·b2·a=a·e·a=a·a=e,(a·b)·(a·b)=e.所以(a·b)·(b·a)=(a·b)·(a·b),a·b=b·a(消去律).所以Klein群是Abel群且任一元的逆为其本身.引理1集合G={‚[abb-a]‚[-a-b-ba]‚[-100-1]}构成Klein四元群.其中(a,b)是单位圆上的点,乘法为普通矩阵乘法.为了方便,令=E‚[abba]=A1‚[-a-b-ba]=-A1‚[-100-1]=-A12.证明(1)由表1知,封闭性及交换律显然成立.(2)结合律显然成立.(3)单位元为E.(4)任一元的逆为其本身.所以G是一个Klein四元群.且G可看做是由{A1,-A1}生成的群.依此类推n阶矩阵(按二阶矩阵分块,n是奇数时±1算一个分块).当n为偶数时有形式:[AB⋮C];当n为奇数时有形式:[AB⋮C±1](其中A,B,C∈G).引理2满足上述条件的所有n阶矩阵做成的集合Gr对于矩阵的乘法来说是2n阶Klein群.证明当n为偶数时,由分块矩阵乘法(1)[AB⋮C][A′B′⋮C′]=[AA′BB′⋮CC′].因为A,B,…,C,A′,B′,…,C′∈上面的Klein四元群G,所以AA′,BB′,…,CC′∈上面的Klein四元群G,即满足封闭性.(2)结合律显然成立.(3)单位元为[E⋮E].(4)[AB⋮C]的逆元为[A-1B-1⋮C-1]=[AB⋮C].(5)由G是Klein四元群显然有Gr中元素也满足交换律.所以当n为偶数时Gr为Klein群.同理可证,当n为奇数时Gr为Klein群.所以满足上述条件的所有n阶矩阵构成的集合Gr为Klein群.下面证明Gr的阶是2n.当a,b固定后,二阶矩阵构成的群G中有4个元素.当矩阵的阶大于2时按2阶矩阵进行分块(奇数阶时±1算一个分块),则对角线上的二阶矩阵A,B,…,C的取法都是C14,即在G中的4个元素中取一个.所以,当矩阵的阶n为偶数时(设n=2k),Gr的阶为(C14)k=22k=2n;当矩阵的阶n为奇数时(设n=2k+1),因为±1取法有2种,所以Gr的阶为2·(C14)k=22k+1=2n.所以当矩阵的阶为n时,矩阵构成的群Gr为2n阶.上面的群Gr可以看成是由集合{[AB⋮C]‚⋯‚[A′B′⋮C′]},或{[AB⋮C±1]‚⋯‚[A′B′⋮C′±1]}生成的群.其中A,A′∈{A1,-A1},B,…,C,B′…,C′∈上面的Klein四元群G.即2n阶群可由2n-1阶群所生成.定理有限Klein群的阶只能是2n(n∈N)的形式.证明首先给出有限Klein群K的抽象构造.(1)由Klein群K的性质,∀ai,aj∈K(i,j∈N),有ai·ai=e,ai·aj=aj·ai(交换律).若ai·aj=am·an,则把ai·aj和am·an排在一列,从而做成一个2n-1行2n-1-1列的乘法关系表.(2)①四阶群为{e,a1,a2,a1·a2},由{a1,a2}生成.②八阶群为{e,a1,a2,a3,a4,a1·a2,a1·a3,a1·a4},由{a1,a2,a3,a4}生成.其中a1·a2=a3·a4,a1·a3=a2·a4,a1·a4=a2·a3,其乘法关系表见表2(用i,j代表ai·aj).③2n(n≥4)阶群的构造.由{a1,a2,…,a2n-1}生成2n阶群,K={e,a1,a2,…,a2n-1,a1a2,a1a3,…,a1a2n-1},其中用ai?aj表示ai·aj.根据Klein群K的性质,我们只考虑ai及ai以后的元相乘即可,即ai·aj(i<j),其乘法关系表列有如下构造:ai·aj:当j≤2n-2时按2n-1阶群的乘法关系表排列;当i≥2n-2且j>2n-2时,ai·aj=ai-2n-2·aj-2n-2.把ai·aj放入乘法关系表中,从而可把此表分为4部分:第1部分记为A1,由前2n-2行2n-2-1列构成;第2部分记为A2,由后2n-2行前2n-2-1列构成;第3部分记为A3,由前2n-2行后2n-2列构成;第4部分记为A4,由后2n-2行后2n-2列构成.则A1中乘积项的排列与2n-1阶群的乘法关系表中乘积项的排列相同.A2中乘积项的排列是由A1中各项乘积下标分别加2n-2且位置不变得到的.A4中无乘积项排列.A3中乘积项的排列符合如下构造规律(A3中的乘积项ai·aj,i≤2n-2,j>2n-2):第1步.把4行4列共16个元作为一个分块(不够则以两行两列为一个分块),每个分块以第一行第一列的元素a4f+g·a2n-2+4g-3为代表元记为Xfg(f,g∈Z+),分块中ai·a2n-2+4g-3按i的升序在对角线上自上而下排列,分块中元素以ai·a2n-2+4g-3为行排列的标准,ai·aj按j的升序且i为奇数时右循环排列,i为偶数时左循环排列.第2步.若阶2n-2≥4,则2n-2一定是4的2n-4倍.我们把乘法关系表再以四行四列的Xfg共16个元作为一个分块(不够则以两行两列为一个分块),每个分块以第一行第一列的元素为代表元记为Ypq,其中p=[f/4]+1,q=[g/4]+1(符号[f/4]表示f/4的整数部分),Ypq中下标g符合g=4q-3的分块中Xfg按f的升序在对角线上自上而下排列,分块中元素以这个Xfg为行排列的标准,按g的升序且f为奇数时右循环排列,f为偶数时左循环排列.第3步.若阶2n-2≥16,则2n-2一定是16的2n-6倍.我们把乘法关系表再以四行四列的Ypq共16个元作为一个分块进行排列(不够则以两行两列为一个分块),依此进行下去直到不能在分为止.这样就得到了A3中乘积项,即ai·aj(i≤2n-2,j>2n-2)的排列.下面证明上面构造的K是Klein群.首先,阶n=2,3时,易证上面构造的K是Klein群.其次,通过证明K与矩阵群Gr同构来证明n>3时上面构造的K也是Klein群.为此采用符号bi表示Gr中元素,ai表示K中元素.①阶n=4时,Gr与K的元的一一对应关系.n=4时为16阶群,所以有8个生成元,且每个生成元对角线上由两个二阶分块矩阵构成,见表3.易证Gr≌K.②阶n≥5时,Gr的生成元与K的生成元之间的一一对应关系.当矩阵的阶n为奇数时,矩阵群的前2n-2个生成元矩阵可以看做是其对角线上前(n-1)/2个矩阵按2n-1阶群中的生成元排列顺序排列,并把1放在最后一行最后一列的组合而得到的;若把前2n-2个生成元矩阵的最后一行最后一列的1用-1代替,而其他矩阵排列顺序不变,则得到后2n-2个生成元矩阵.例如由n=4变为n=5(见表4):当矩阵的阶n为偶数时,矩阵群的前2n-2个生成元矩阵可以看做是2n-1阶群中的生成元矩阵分别把最后一行最后一列的1,-1去掉分别换成A1,-A1并放在第一个分块矩阵位置上,其他分块顺次下移而得到的;后2n-2个生成元矩阵是把前2n-2个生成元矩阵的第二个分块由A1换为E,由-A1换为-A12而得到的.例如由n=5变为n=6(见表5):令这些生成元矩阵依次为b1,b2,…,b2n-2,并依次对应a1,a2,…,a2n-2.这样就建立了一个Gr的生成元到K的生成元的一一对应.因为1·1=(-1)·(-1)=1,A1·A1=(-A1)·(-A1)=E,所以由上面生成元的排列知:(Ⅰ)Gr的前2n-2个生成元之间的乘法符合2n-1阶群的乘法,即符合A1;(Ⅱ)Gr的后2n-2个生成元之间的乘法满足bi·bj=bi-2n-2·bj-2n-2,即符合A2;(Ⅲ)因为只考虑bi及bi以后的元素相乘,所以只有前2n-2个生成元之间的乘法,后2n-2个生成元之间的乘法,以及前2n-2个生成元与后2n-2个生成元之间的乘法这3种情况.因此,中A4无元素这一点也符合.(Ⅳ)下面看A3,即看前2n-2个生成元与后2n-2个生成元之间的乘法.n为奇数时(如n=5),前4个生成元与后2n-2个生成元中的前4个元相乘,显然有A3中第1步中分块mfg(表示与xfg相同位置的Gr的乘法关系表的分块)所具有的循环结构.事实上,由于生成元矩阵中倒数第2个分块矩阵中元素以E,A1,-A1,-A12顺序排列,而这4个元素又构成Klein四元群,所以自身封闭而其上的分块矩阵在交换元素相乘时却保持不变,因此有上述结论.若n≥7,则倒数第3个分块矩阵中元素也以E,A1,-A1,-A12顺序排列,而这4个元素又构成Klein四元群,所以自身封闭而其上的分块矩阵在交换元素相乘时却保持不变,则有类似于第2步中矩阵分块的循环排列.若n≥9,则倒数第4个分块矩阵中元素也以E,A1,-A1,-A12顺序排列这样下去直到按正数第一个分块矩阵排完为止.所以有bi·bj?→?ai·aj,1≤i≤2n-2,2n-1≥j>2n-2(ai,aj∈K,bi·bj∈Gr).当n为偶数时,Gr的元只是把n+1阶做成的矩阵群的前2n-1个生成元的最后一行最后一列的1或-1去掉得到的,因此也满足A3.以上证明了K的生成元的乘法与Gr的生成元的乘法相同,因此有K≌Gr.又因为Gr是Klein群,所以K是Klein群,从而K满足结合律.所以∀ai·aj,ah·ag,若ai·aj=a1·am,ah·ag=a1·an,则有(ai·aj)·(ah·ag)=(a1·am)·(a1·an)=(am·an).所以存在x使得(ai·aj)·(ah·ag)=(am·an)=a1·ax,即A1,A2中的乘积项相乘还在A1中,A3中乘积项相乘在A2中,A1与A2之间乘积项相乘还在A