高一数学课改目标班课后总结 第1讲（含解析）

PAGEPAGE1平面向量的运算与坐标表示课后总结一、向量的概念概念向量的概念：既有方向又有大小的量叫做向量。向量的相等、相反、共线、平行。1叫做已知向量的单位向量。运算法则=,收尾相接刚好构成三角形。+,ACDC为邻边的平行四边形。加法的多边形法则：对于已知的首尾相连的向量，以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量叫这些向量的和向量。向量加法的交换律、结合律。量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量为这两个向量的差向量。向量共线的条件：如果λ，则∥；反之如果∥，且，则一定存在一个实数λ使得λ。二、分解系数中点的向量表达式CB，都有=（+）2三点共线的条件CλC三点共线。𝑥+𝑦C上，则有x+y=1；反之如果x+y=1，则点C在直线AB上。三、数量积向量的数量积运算：·=||||cos<,>=||cos<,>||=||cos<,>||||cos<,>表示的是向量在向量||cos<>表示的向量在向量方向上的投影。很多时候我们需要灵活运用这个式子。（）≠·）·平面向量数量积的性质，都是非零向量，向量与向量的夹角为θ，则：1）⊥即·=02）=||||=-|||||𝟐（用于计算向量的模）3）coθ=(用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状)||4）|·|≤||||向量积的运算1）∙=|||𝑜𝑠<,>2）投影法：投影法与定义法基本一样，讲定义法中的公式拆分开来∙=||||𝑜𝑠<,>)=||||𝑜𝑠<,>),其中||𝑜𝑠<,>和||𝑜𝑠<,>分别表示在上的投影和在上的投影。如果投影与（）的方向一致，则投影为正，如果方向相反，则投影为与如图是个为的边角有条边在同一线，上个同的，则 ．【答案】36解】解由可，，又 ，，；．答为．本题中，由于B3C3⊥AB2,故不管P1,P2的具体位置在哪，最终的答案都是固定的。3）、（），将、+，=+4)=(a1,a2)、=(b1,b2)=1b1+22坐标法实际上是基底分解法的特殊情形．四、坐标法直角坐标表示向量下的向量运算法则：若=（x𝟏，𝟏），=（x𝟐，𝟐）则：+=（x𝟏+x𝟐，𝟏+𝟐）-=（x𝟏−x𝟐，𝟏−𝟐）·=x𝟏x𝟐+𝟏𝟐λ𝑎=λ（x𝟏，y𝟏）=（λx𝟏，λy𝟏）|𝑎|=√x𝟏2+y𝟏2cos<,>=⃗||

= x𝟏x𝟐+y𝟏y𝟐 √x𝟏2+y𝟏2√x𝟐2+y𝟐2若=（x𝟏，𝟏），=（x𝟐，𝟐），则//等价于x𝟏𝟐-x𝟐𝟏=0.向量垂直的充要条件的坐标表示：若=（x𝟏，𝟏），=（x𝟐，𝟐），则⊥等价于x𝟏x𝟐+𝟏𝟐=0.PAGEPAGE10参考答案1【解， ，．【知识点】D087平面向量的线性混合运算B，，，，【解由 ，，，，，故选：B.【知识点】D098模长与夹角相关计算A【解析】 向量 ， 的夹角为，且 ，，， ．与 的夹为 ．故选A．【知识点】D098模长与夹角相关计算C【解】： ， ，， ，．选C．【知识点】D107平行与垂直条件的坐标表示、【题型】D109坐标运算的综合应用D【解】量 ， ，且 ，即 ，，那么向夹角余值，解得，且 ，故选：D．【知识点】D106数量积运算的坐标表示、D108模长与夹角的坐标表示C【解】 、 、 线，； 在段 上，；又 是 的中点， 是 中点，，，； ，，； ，， ，，代入，选C．【知识点】D087平面向量的线性混合运算、D090平面向量基本定理D【解】解: 是 ，，直， 存实数，，因 此 ，，根据面量本理且因此， ，故选:D．【知识点】【题型】向量的综合问题【解】法；， ， 三点线存实数使；同理， ；得；；，解；．故答为： ．方法点线为 向射线轴正构建面角标系设正方向边长为 ，则，，，直，直线 ，得；，即 ，即，解得， ．【知识点】【题型】D093求向量的分解系数解】解由及量加法减可，共线可同理；又 ，得．故答．【知识点】【题型】D093求向量的分解系数【解】设 ， ，由，，且 ，解得 ， ．案：．【知识点】【题型】D093求向量的分解系数，．，，，，解得 ．故答为．【知识点】【题型】D093求向量的分解系数【解析】解:设则又故答案为【知识点】【题型】D099几何图形中数量积的计算B【解】：，中，，因此同可，．故选B.【知识点】【题型】D099几何图形中数量积的计算【解】，点，所在线为 轴，轴建直坐系，则 ，．本题可不系直为向进计．【知识点】D098模长与夹角相关计算C【解】，，，，，故答为．【知识点】【题型】D099几何图形中数量积的计算D【解】：据意正三中，，上动，，时有 ，且 ， ，，又，，则 ，分析得当 时， 取得小故选：D．【知识点】【题型】D102数量积的最值问题【解】图示建平面角标，，．设，因为即设，因为即，所以．的取值范围是．【知识点】【题型】D102数量积的最值问题B【解为标点所在线为 轴所直为轴设的径为，，，，，，，则点 ，，，，，，，即，整理得，，设：，，，，由正弦