2024届日喀则市高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

2024届日喀则市高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.162．已知数列为递增等比数列，，则数列的前2019项和（）A. B.C. D.3．直线在轴上的截距为（）A.3 B.C. D.4．已知点P是圆上一点，则点P到直线的距离的最大值为（）A.2 B.C. D.5．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（）A.2 B.C. D.7．已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（）A. B.C. D.8．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（）A.10 B.13C.17 D.269．若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知椭圆方程为：，则其离心率为（）A. B.C. D.11．设，则的一个必要不充分条件为（）A. B.C. D.12．已知数列{}满足，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______14．等差数列的公差，是其前n项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；给定n，对于一些，都有；存在使和同号；.其中正确命题的序号为___________.15．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为（1）求圆的方程；（2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程18．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和19．（12分）设函数，（1）求的最大值；（2）求证：对于任意x∈(1,7),e1-x+20．（12分）2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100（1）能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？（2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X，求X的分布列和数学期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点.（1）求抛物线的方程；（2）求直线的方程.22．（10分）已知数列的前n项和为满足（1）求证：是等比数列，并求数列通项公式；（2）若，数列的前项和为．求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A2、C【解析】根据数列为递增的等比数列，，利用“”法求得，再代入等比数列的前n项和公式求解.【详解】因为数列为递增等比数列，所以，解得：，所以.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3、A【解析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.【详解】由，可得，则直线在轴上的截距为3.故选：A4、C【解析】求出圆心到直线的距离，由这个距离加上半径即得【详解】由圆，可得圆心坐标，半径，则圆心C到直线的距离为，所以点P到直线l的距离的最大值为.故选：C5、A【解析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件故选A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系6、B【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，所以则，当最小时，则值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，由题意可得，设切线PA的方程为：，，整理可得，，可得，将代入，可得，所以，即P的横坐标为1，即P的坐标，所以，，所以的最大值为：，故选：B【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化7、D【解析】根据三视图还原几何体，将几何体补成长方体，计算出几何体的外接球直径，结合球体体积公式即可得解.【详解】根据三视图还原原几何体，如下图所示：由图可知，该几何体三棱锥，且平面，将三棱锥补成长方体，所以，三棱锥的外接球直径为，故，因此，该几何体的外接球的体积为.故选：D【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解8、B【解析】计算出抽样比可得答案.【详解】该校高中学生共有名，所以高二年级抽取的人数名.故选：B.9、A【解析】分析可知直线与曲线在上的图象有两个交点，令可得出，令，问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】当时，，，此时两个函数的图象无交点；当时，由得，可得，令，其中，则直线与曲线有两个交点，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，且当时，，作出直线与曲线如下图所示：由图可知，当时，即当时，指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点.故选：A.10、B【解析】根据椭圆的标准方程，确定，计算离心率即可.【详解】由知，，，，即，故选：B11、C【解析】利用必要条件和充分条件的定义判断.【详解】A选项：，，，所以是的充分不必要条件，A错误；B选项：，，所以是的非充分非必要条件，B错误；C选项：，，，所以是必要不充分条件，C正确；D选项：，，，所以是的非充分非必要条件，D错误.故选：C.12、B【解析】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.【详解】因为，.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4##【解析】根据正态分布曲线的对称性求解【详解】因为ξ服从正态分布（），即正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在与取值的概率相同，所以ξ在内取值的概率为0.4.故答案为：0.414、【解析】对，根据数列的单调性和可判断；对和，利用等差数列的通项公式可直接推导；对，利用等差数列的前项和可直接推导.【详解】不妨设等差数列的首项为对，，可得：，解得：，即又，则是递减的，则中的前5项均为正数，所以和都是中的最大项，故正确；对，，故有：，故正确；对，，又，则，说明不存在使和同号，故错误；对，有：故并不是恒成立的，故错误故答案为：15、【解析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.【详解】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圆的方程为，且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范围为(，4).故答案为：【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.16、【解析】设，，因为点是线段中点，所以有，代入坐标求出点的轨迹为圆，因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.【详解】解：设，，因为点是线段的中点，所以有，即有，因为点在圆上，所以满足：，代入可得：，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示：因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离为，因为，所以，即，且，所以，此时，，当时，渐近线与圆有公共点，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）或【解析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出圆的标准方程；（2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，因为圆心到直线的距离为，解得，所以圆心的坐标为或，半径为，因此，圆的标准方程为或.【小问2详解】解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.因为，所以圆心到直线的距离.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意；所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，由题意可得，解得，所以，直线的方程为或，即或.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.【小问1详解】因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，故可得：，，解得，又，故.【小问2详解】由（1）知，，又，故.即.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）求出，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值.（2）先证明任意的，总有，再利用放缩法和换元法将不等式成立问题转化为任意恒成立，后者可利用导数证明.【小问1详解】，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故.【小问2详解】因为，故当时，，即，而在为减函数，故在上有，故任意的，总有.要证任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，由（1）可得，任意，有即，故即证：任意恒成立，设，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，即证：任意恒成立，设，则，而在为增函数，，故存在，使得，且时，，时，，故在为减函数，在为增函数，故任意，总有，故任意恒成立，所以任意恒成立.【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（导数、放缩法等）进行处理.20、（1）有（2）分布列见解析，【解析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”，记“天文爱好者”的人数为X，则X的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：由题意，所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关.【小问2详解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群