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文档简介
2024届山西省晋中市祁县中学高二上数学期末考试模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=12.某公司有1000名员工,其中:高层管理人员为50名,属于高收入者;中层管理人员为150名,属于中等收入者;一般员工为800名,属于低收入者.要对这个公司员工的收入情况进行调查,欲抽取100名员工,应当抽取的一般员工人数为()A.100 B.15C.80 D.503.定义焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知,是一对相关曲线的焦点,Р是这对相关曲线在第一象限的交点,则点Р与以为直径的圆的位置关系是()A.在圆外 B.在圆上C.在圆内 D.不确定4.已知点到直线的距离为1,则m的值为()A.或 B.或15C.5或 D.5或155.下图是一个“双曲狭缝”模型,直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面,双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=30cm,则|AD|=()A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm6.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知△的顶点,,且,则△的欧拉线的方程为()A. B.C. D.7.已知是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8.已知,,点为圆上任意一点,设,则的最大值为()A. B.C. D.9.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则一定是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形10.已知直四棱柱的棱长均为,则直线与侧面所成角的正切值为()A. B.C. D.11.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为()A B.C. D.12.一个动圆与定圆相外切,且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知、是椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且,,则椭圆离心率是___________14.某校有高一学生人,高二学生人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为的样本,已知从高一学生中抽取人,则________15.已知单位空间向量,,满足,.若空间向量满足,且对于任意实数,的最小值是2,则的最小值是___________.16.若,m,三个数成等差数列,则圆锥曲线的离心率为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知向量,(1)求;(2)求;(3)若(),求的值18.(12分)如图,在直三棱柱中,,分别是棱的中点,点在线段上.(1)当直线与平面所成角最大时,求线段的长度;(2)是否存在这样的点,使平面与平面所成的二面角的余弦值为,若存在,试确定点的位置,若不存在,说明理由.19.(12分)已知圆C:x2+y2+2ax﹣3=0,且圆C上存在两点关于直线3x﹣2y﹣3=0对称.(1)求圆C的半径r;(2)若直线l过点A(2,),且与圆C交于MN,两点,|MN|=2,求直线l的方程.20.(12分)已知函数.(1)若,求的极值;(2)若有两个零点,求实数a取值范围.21.(12分)已知圆经过坐标原点和点,且圆心在轴上.(1)求圆的方程;(2)已知直线与圆相交于A、B两点,求所得弦长的值.22.(10分)已知抛物线C:经过点(1,-1).(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标;(2)过抛物线C上一动点P作圆M:的一条切线,切点为A,求切线长|PA|的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设、,所以,运用点差法,所以直线的斜率为,设直线方程为,联立直线与椭圆的方程,所以;又因为,解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查学生的化归与转化能力.2、C【解析】按照比例关系,分层抽取.【详解】由题意可知,所以应当抽取的一般员工人数为.故选:C3、A【解析】设椭圆的长轴长为,椭圆的焦距为,双曲线的实轴长为,根据题意可得,设,根据椭圆与双曲线的定义将分别用表示,设,再根据两点的距离公式将点的坐标用表示,从而可判断出点与圆的位置关系.【详解】解:设椭圆的长轴长为,椭圆的焦距为,双曲线的实轴长为,设椭圆和双曲线的离心率分别为,则,所以,以为直径的圆的方程为,设,则有,所以,设,,所以①,②,则①②得,所以,所以,将代入②得,所以,,则点到圆心的距离为,所以点Р在以为直径的圆外.故选:A.4、D【解析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解:点到直线的距离为1,解得:m=15或5故选:D.5、B【解析】由离心率求出双曲线方程,由对称性设出点A,B,D坐标,求出坐标,求出答案.【详解】由题意得:,解得:,因为离心率,所以,,故双曲线方程为,设,则,,则,所以,则,解得:,故.故选:B6、D【解析】由题设条件求出垂直平分线的方程,且△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上,结合欧拉线的定义,即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设,可得,且中点为,∴垂直平分线的斜率,故垂直平分线方程为,∵,则△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上,∴△的欧拉线的方程为.故选:D7、D【解析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限【详解】复数在复平面内对应的点为则复数在复平面内对应的点位于第四象限故选:D8、C【解析】根据题意可设,再根据,求出,再利用三角函数的性质即可得出答案.【详解】解:由点为圆上任意一点,可设,则,由,得,所以,则,则,其中,所以当时,取得最大值为22.故选:C.9、B【解析】利用余弦定理化角为边,从而可得出答案.【详解】解:因为,所以,则,所以,所以是等腰三角形.故选:B.10、D【解析】根据题意把直线与侧面所成角的正切值转化为在直角三角形中的正切值,即可求出答案.【详解】由题意可知直四棱柱如下图所示:取的中点设为点,连接,在直四棱柱中,面,面,,在四边形中,,,故且.面,面,面,.故直线与侧面所成角的正切值为.故选:D.11、D【解析】设双曲线的方程为,再代点解方程即得解.【详解】解:由得,所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为,因为双曲线过点,所以.所以双曲线的方程为.故选:D12、D【解析】根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可.【详解】定圆的圆心,半径为2,设动圆圆心P点坐标为(x,y),动圆的半径为r,d为动圆圆心到直线的距离,即r,则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得,所以,化简得:∴动圆圆心轨迹方程为故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】先由,根据椭圆的定义,求出,,再由余弦定理,根据,即可列式求出离心率.【详解】因为点在椭圆上,所以,又,所以,因,在中,由,根据余弦定理可得,解得(负值舍去)故答案为:.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率,属于常考题型.14、【解析】根据分层抽样的等比例性质列方程,即可样本容量n.【详解】由分层抽样的性质知:,可得.故答案为:15、【解析】以,方向为轴,垂直于,方向为轴建立空间直角坐标系,根据条件求得坐标,由二次函数求最值即可求得最小值.【详解】以,方向为轴,垂直于,方向为轴建立空间直角坐标系,则,由可设,由是单位空间向量可得,由可设,,当,的最小值是2,所以,取,,,当时,最小值为.故答案为:.16、【解析】由等差中项的性质求参数m,即可得曲线标准方程,进而求其离心率.【详解】由题意,,可得,所以圆锥曲线为,则,,故.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)(3)【解析】(1)根据向量数量积的坐标表示即可得解;(2)求出,再根据空间向量的模的坐标表示即可得解;(3)由,可得,再根据数量积的运算律即可得解.【小问1详解】解:;【小问2详解】解:;【小问3详解】解:因为,所以,即,解得.18、(1)(2)存在,A1P=【解析】(1)作出线面角,因为对边为定值,所以邻边最小时线面角最大;(2)建立空间直角坐标系,由向量法求二面角列方程可得.【小问1详解】直线PN与平面A1B1C1所成的角即为直线PN与平面ABC所成角,过P作,即PN与面ABC所成的角,因为PH为定值,所以当NH最小时线面角最大,因为当P为中点时,,此时NH最小,即PN与平面ABC所成角最大,此时.【小问2详解】以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间坐标系,则:A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)设=,,,设平面PMN的法向量为,则,即,解得,平面AC1C的法向量为,.所以P点为A1B1的四等分点,且A1P=.19、(1)r=2(2)x﹣2=0或x+﹣3=0【解析】(1)由已知根据对称性可知直线m过圆心C.代入后可求a,进而可求半径;(2)先求出圆心到直线l的距离,然后结合直线与圆相交的弦长公式可求.【小问1详解】解:圆C的标准方程为,圆心为.因为圆C关于直线m对称,所以直线m过圆心C.将代入,解得.此时圆C的标准方程为,半径r=2.【小问2详解】解:设圆心到直线距离为d,则d===1,①当直线l斜率不存在时,直线方程l为x=2,符合条件.②当直线l斜率存在时,设直线l方程为y﹣=k(x﹣2),即x﹣y﹣2k+=0,所以圆心C到直线l的距离d==1,解得,k=﹣,直线l的方程为x+﹣3=0,综上所述,直线l的方程为x﹣2=0或x+﹣3=0.20、(1)极小值为,无极大值(2)【解析】(1)利用导数求出,分别令、,进而得到函数的单调区间,即可求出极值;(2)利用导数讨论、0时函数的单调性,进而得出函数的最小值小于0,解不等式即可.【小问1详解】函数的定义域为,时,.令,解得,∵在上,,在上,,∴在上单调递减,在上单调递增,∴的极小值为,无极大值.【小问2详解】,当时,,∴在上单调递增,此时不可能有2个零点.当0时.令,得,∵在上,,在上,),∴在上单调递减,在上单调递增,∴的最小值为.∵有两个零点,∴,即,∴.经验证,若,则,且,又,∴有两个零点.综上,a的取值范围是.21、(1);(2).【解析】(1)根据条件可以确定圆心坐标和半径,写出圆的方程;(2)先求圆心到直线的距离,结合勾股定理可求弦长.【详解】(1)由题意可得,圆心为(2,0),半径为2.则圆的方程为;(2)圆心(2,0)到l的距离为d,=1,.【点睛】圆的方程求解方法:(1)直接法:确定圆心,
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