2024届江苏省无锡市育才中学高二上数学期末复习检测模拟试题含解析

2024届江苏省无锡市育才中学高二上数学期末复习检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是区间上的可导函数，且导函数为，则“对任意的，”是“在上为增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.平均数C.中位数 D.都不相同3．在中，，则边的长等于（）A. B.C. D.24．已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A、B两点，直线与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为2，则的最小值为（）A.24 B.20C.16 D.125．已知命题：，命题：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．下列命题中正确的是（）A.若为真命题，则为真命题B.在中“”是“”的充分必要条件C.命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”D.命题，使得，则，使得7．已知公差为的等差数列满足，则（）A B.C. D.8．设函数是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集为（）A. B.C. D.9．设,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．展开式的第项为（）A. B.C. D.11．“”是直线与直线平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若双曲线的左、右焦点为，，直线与双曲线交于两点，且，为坐标原点，又，则该双曲线的离心率为__________.14．已知直线l1：（1）x+y﹣2=0与l2：（1）x+ay﹣4=0平行，则a=_____.15．点为椭圆上的一动点，则点到直线的距离的最小值为___________.16．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为数列的前n项和，，且，，其中为常数.（1）求证：数列为等差数列；（2）是否存在，使得是等差数列？并说明理由.18．（12分）已知数列的前n项和（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，分别为，的中点（1）证明：平面；（2）证明：平面20．（12分）已知抛物线，直线与交于两点且（为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）设，若直线的倾斜角互补，求的值21．（12分）在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.（2）若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.①写出X的分布列，并求数学期望；②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.22．（10分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据充分条件与必要条件的概念，由导函数的正负与函数单调性之间关系，即可得出结果.【详解】因为函数是区间上的可导函数，且导函数为，若“对任意的，”，则在上为增函数；若在上为增函数，则对任意的恒成立，即由“对任意的，”能推出“在上为增函数”；由“在上为增函数”不能推出“对任意的，”，因此“对任意的，”是“在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A2、B【解析】由平均数、极差及中位数的定义依次求解即可比较【详解】，，故甲、乙的平均数相同，甲、乙的极差分别为，，故不同，甲、乙的中位数分别为，，故不同，故选：3、A【解析】由余弦定理求解【详解】由余弦定理，得，即，解得（负值舍去）故选：A4、C【解析】设两条直线方程，与抛物线联立，求出弦长的表达式，根据基本不等式求出最小值【详解】抛物线的焦点坐标为，设直线：，直线：，联立得：，所以，所以焦点弦，同理得：，所以，因为，所以，故选：C5、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为命题：或，命题：，所以是的必要不充分条件，故选：B6、B【解析】A选项，当一真一假时也满足条件，但不满足为真命题；B选项，可以使用正弦定理和大边对大角，大角对大边进行证明；C选项，利用逆否命题的定义进行判断，D选项，特称命题的否定，把存在改为任意，把结论否定，故可判断D选项.【详解】若为真命题，则可能均为真，或一真一假，则可能为真命题，也可能为假命题，故A错误；在中，由正弦定理得：，若，则，从而，同理，若，则由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要条件，B正确；命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，故C错误；命题，使得，则，使得，故D错误.故选：B7、C【解析】根据等差数列前n项和，即可得到答案.【详解】∵数列是公差为的等差数列，∴，∴.故选：C8、B【解析】根据当时，可知在上单调递减，结合可确定在上的解集；根据奇偶性可确定在上的解集；由此可确定结果.【详解】，当时，，在上单调递减，，，在上的解集为，即在上的解集为；又为上的奇函数，，为上的偶函数，在上的解集为，即在上的解集为；当时，，不合题意；综上所述：的解集为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.9、B【解析】,，所以是必要不充分条件，故选B.考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.10、B【解析】由展开式的通项公式求解即可【详解】因为，所以展开式的第项为，故选：B11、C【解析】先根据直线平行的充要条件求出a，然后可得.【详解】若，则，，显然平行；若直线，则且，即.故“”是直线与直线平行的充要条件.故选：C12、B【解析】根据题意，椭圆的标准方程为，其中则，则有|F1F2|=2，若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6-|PF1|=2，则cos∠F1PF2==.故选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】由直线与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，在三角形中，，所以，是以为直径的圆与双曲线的交点，不妨设在第一象限，，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，，所以，由所以，又因为，联立可得，，因为为圆的直径，所以，即，，所以离心率.故答案为：【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键.14、2【解析】根据两直线平行的充要条件求解【详解】因为已知两直线平行，所以，解得故答案为：【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线平行的充要条件是，或，在均不为0时，用表示容易理解与记忆15、【解析】设与平行的直线与相切，求解出此时的方程，则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.【详解】设与平行的直线，当与椭圆相切时有：，所以，所以，所以，由题意取时，到直线的距离较小此时与（即）的距离为，所以点到直线距离的最小值为，故答案为：.16、【解析】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，用向量法求出侧面与底面夹角.【详解】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则，，以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系则，，设平面的法向量为，则，令，则，显然平面的法向量为所以，所以侧面与底面的夹角为故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）存在时是等差数列，详见解析.【解析】（1）利用与的关系可得，再结合条件即证；（2）由题可得，，若是等差数列，可得，进而可求数列的通项公式，即证.【小问1详解】∵，∴，∴，又，∴，∴，∴数列为等差数列；【小问2详解】∵，，∴，又，∴，若是等差数列，则，即，解得，当时，由，∴数列的奇数项构成的数列为首项为1，公差为2的等差数列，∴，即，为奇数，∴数列的偶数项构成的数列为首项为2，公差为2的等差数列，∴，即，为偶数，综上可得，当时，，，故存在时，使数列是等差数列.18、（1）证明见解析，（2）【解析】（1）利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因，当时，，所以，当时，，又，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故【小问2详解】因为，所以，，，，所以，所以19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取中点，结合三角形中位线性质可证得四边形为平行四边形，由此得到，由线面平行判定定理可证得结论；（2）利用菱形特点和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定定理可证得结论.【详解】（1）取中点，连接，分别为中点，，四边形为菱形，为中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）连接，四边形为菱形，，为等边三角形，又为中点，，平面，平面，，又平面，，平面.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用韦达定理法即求；（2）由题可求，，再结合条件即得.【小问1详解】设，，由，得，故，由，可得，即，∴，故抛物线的方程为：；【小问2详解】设的倾斜角为，则的倾斜角为，∴由，得，∴，∴，同理，由，得，∴，即，故.21、（1）65分（2）①分布列答案见解析，数学期望：；②172.5元【解析】（1）由图可知中位数在第二组，则设中位数为，从而得，解方程可得答案，（2）①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人，“非常满意”的用户应抽取3人，则X的可能取值分别为0，1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得其分布列和期望，②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则，然后由①结合期望的性质可求得答案【小问1详解】这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为.由频率分布直方图可得，得分的中位数为，则，解得，所以中位数为65分.【小问2详解】①若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，则“不满意”与“基本满意”的用户应抽取人，“非常满意”的用户应抽取人，X的可能取值分别为0，1，2，3，，，，，则X的分布列为X0123P故.②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则（元），所以元，故这3人将获得的话费补贴总额的期望为172.5元.22、（1）见解析；（2）【解析】（1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面、平面的法向量分别为，，和，1，