新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.5正态分布分层作业新人教A版选择性必修第三册

第七章7.5正态分布(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A级必备知识基础练1.[探究点二]某厂生产的零件外径X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9cm,9.3cm,则可认为()A.上午生产情况正常,下午生产情况异常B.上午生产情况异常,下午生产情况正常C.上午、下午生产情况均正常D.上午、下午生产情况均异常2.[探究点一]如图所示是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是()A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ33.[探究点二]已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率约为()A.0.9545 B.0.0455C.0.9773 D.0.022754.[探究点二]已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m≤X≤104)≈0.1359,则m等于()A.100 B.101C.102 D.1035.[探究点二]已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.6827,则σ=,P(|X-2|≤4)≈.

6.[探究点二]某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为.

7.[探究点一、二]已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.(1)写出此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式;(2)估计此地外来务工人员年均收入在8000~8500元的人数所占的百分比.8.[探究点二]在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现在已知该班同学中成绩在80~85分的有17人,则该班成绩在90分以上的同学约有多少人?B级关键能力提升练9.若随机变量X的正态密度函数为f(x)=12πe-x22,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1A.p1>p2 B.p1<p2 C.p1=p2 D.不确定10.已知随机变量X服从正态分布N(100,102),则下列选项不正确的是()A.E(X)=100 B.D(X)=100C.P(X≥90)≈0.84135 D.P(X≤120)≈0.9987511.在某市高三质量检测考试中,学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9455人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第()A.1500名 B.1700名 C.4500名 D.8000名12.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其正态曲线在(-∞,80]上单调递增,在[80,+∞)内单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.6827,则()A.μ=80B.σ=4C.P(X>64)≈0.97725D.P(64<X<72)≈0.135913.(多选题)下列说法正确的是()A.设随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=3)=516B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.9,则P(0≤X≤2)=0.4C.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,则P(X>2)的值为1+D.已知X是一个离散型随机变量,则E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+314.已知随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=12πe-(x-1)22,x∈R,则函数f(15.[2023广东佛山二模]某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则E(Y)=.

16.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;(2)如果钢管的直径X在60.6mm~69.4mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(精确到0.01)C级学科素养创新练17.某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分),经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2),已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三位同学.(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一位同学的概率;(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).参考答案7.5正态分布1.A因测量值X为随机变量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,记I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3∉I.故选A.2.D当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=12πe-x22在x=0处取最大值1由正态曲线的性质,得当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,反之越“矮胖”.故选D.3.D由题知对应的正态曲线的对称轴为直线x=0,所以P(X<-2)=0.5-12P(-2≤X≤2)≈0.5-12×0.9545=0.4.C∵随机变量X服从正态分布N(100,4),∴P(98≤X≤102)≈0.6827,P(96≤X≤104)≈0.9545,∴P(102≤X≤104)≈12(0.9545-0.6827)=0.1359又P(m≤X≤104)≈0.1359,∴m=102.5.20.84∵X~N(4,σ2),∴μ=4.∵P(2≤X≤6)≈0.6827,∴μ∴σ=2.∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)=P(-2≤X≤2)+P(2≤X≤6)=12[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)=12P(-2≤X≤10)+12P(2≤X≤6)≈12×0.9973+12×0.68276.10由题意知,P(ξ>110)=1-2P(故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.7.解设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),结合题图可知,μ=8000,σ=500.(1)此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式为f(x)=15002πe-(2)∵P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000≤X≤8500)=12P(7500≤X≤8500)≈0.34135=34.135%故此地外来务工人员年均收入在8000~8500元的人数所占的百分比约为34.135%.8.解∵成绩服从正态分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85.∴成绩在[75,85]内的同学约占全班同学的68.27%,成绩在[80,85]内的同学约占全班同学的34.135%.设该班有x名同学,则34.135%x=17,解得x≈50.∵μ-2σ=70,μ+2σ=90,∴成绩在[70,90]内的同学约占全班同学的95.45%,成绩在90分以上的同学约占全班同学的2.275%.50×2.275%≈1,故估计该班成绩在90分以上的同学有1人.9.C由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.10.D∵随机变量X服从正态分布N(100,102),∴E(X)=μ=100,D(X)=σ2=102=100,故A,B正确;根据题意可得P(90≤X≤110)≈0.6827,P(80≤X≤120)≈0.9545,∴P(X≥90)≈0.5+12×0.6827=0.84135,故C正确P(X≤120)≈0.5+12×0.9545=0.97725,故D错误故选D.11.A因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X>108)=12[1-P(88≤X≤108)]=12[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈12×(1-0.6827)=0.15865.所以012.ACD因为正态曲线在(-∞,80]上单调递增,在[80,+∞)内单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80,故A正确;因为P(72≤X≤88)≈0.6827,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,可知σ=8,故B错误;因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,且P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(1-0.9545)=12×0.0455=0.02275,所以P(X>64)≈0.97725,故C因为P(X<72)=12(1-P(72≤X≤88))≈12×(1-0.6827)=0所以P(64<X<72)=P(X>64)-P(X>72)≈0.97725-(1-0.15865)=0.1359,故D正确.13.AB∵随机变量X服从二项分布B6,12,则P(X=3)=C63×123×1-123=516,故A正确∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴正态曲线的对称轴是直线x=2,∵P(X≤4)=0.9,∴P(2≤X≤4)=0.4,∴P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.4,故B正确;已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,则P(X>2)=12[1-P(|X|≤2)]=1-a2,已知X是一个离散型随机变量,则E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X),故D错误.14.x=10.1359由概率分布密度函数知μ=1,σ=1,所以正态密度曲线关于直线x=1对称,且在x=1处取得最大值.根据正态密度曲线的特点可知x=1为f(x)的极大值点.由X~N(1,1)知P(2<X≤3)=12[P(-1≤X≤3)-P(0≤X≤2)]=12[P(1-2×1≤X≤1+2×1)-P(1-1≤X≤1+1)]≈12×(0.9545-0.6827)=015.1由题意,X~N(800,σ2),所以正态曲线关于直线X=800对称,所以P(X<800)=0.5.因为P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.由题意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.16.解(1)由题得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,∴P(X>71.6)=1-P(58.4≤X≤71.6)2≈1-0.(2)因为μ=65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由题意可知钢管直径满足μ-2σ≤X≤μ+2σ为合格品,所以该批钢管为合格品的概率约为0.95,所以在60根钢管中,合格品约57根,次品约3根,任意挑选3根,则次品数Y的可能取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C3P(Y=1)=C3P(Y=2)=C3P(Y=3)=C3则次品数Y的分布列为Y0123P146311971711所以E(Y)=0×14631711+1×11978555+2×17134220+3×134220=17.解(