2023-2024学年黑龙江省大庆重点中学高二（上）第二次验收数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省大庆重点中学高二（上）第二次验收数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知z(1−i)=3+i(i是虚数单位)，z共轭复数为z−，则z−的虚部为(

)A.2 B.−2 C.1 D.−12.已知A(4,9)，B(6,3)两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是(

)A.(x+5)2+(y+6)2=10 B.(x+53.一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x+y=(

)A.33 B.34 C.35 D.364.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1DA.−12a+12b+c5.下列命题：

①对立事件一定是互斥事件；

②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)；

③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1；

④若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与B是对立事件．

其中正确命题的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.46.已知直线xa+yb=1经过第一、二、三象限且斜率小于A.|a|<|b| B.−a>b

C.7.已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中正确的是(

)A.若直线l的一个方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的一个方向向量为b=(−2,2,4)，则l/​/m

B.若直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则l/​/α

C.若平面α，β的法向量分别为n1=(0,1,3)，n2=(1,0,2)，则α/​/β

D.若平面α经过三个点A(1,0,−1)，B(0,−1,0)8.如图在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中E为BC的中点，点P在线段D1A.5

B.255

C.9.设a，b，c是空间一个基底，下列选项中正确的是(

)A.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c

B.则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面

C.对空间任一向量p，总存在有序实数组(x,y,z)，使p=xa+y10.下列结论错误的是(

)A.直线x−2y−2=0与直线2x−4y+1=0之间的距离为355

B.已知两点A(−3,4)，B(3,2)，直线l：ax+y−a=0，若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是[−1,1]

C.经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=tanθ(x−1)

D.a=−1是直线a11.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2=ca且3aA.B=60° B.(AB|AB|+CB|CB12.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为线段BCA.存在点E，使EF//BD

B.三棱锥B1−ACE的体积随动点E变化而变化

C.直线EF与AD1所成的角不可能等于60°

D.存在点E，使EF⊥平面A13.已知b，c∈{1,2,3}，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为______．14.已知向量a=(1,x,2)，b=(0,1,2)，c=(1,0,0)，若a，b，c共面，则x等于

15.过点(−2,3)作圆x2+y2=416.三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=6，点Q为平面ABC内的动点，且满足PQ=3，记直线PQ与直线AB的所成角为θ，则sinθ的取值范围为17.已知△ABC的顶点A(3,2)，边AB上的中线所在直线方程为x−3y+8=0，边AC上的高所在直线方程为2x−y−9=0．

(1)求顶点B，C的坐标；

(2)求△ABC的面积．18.已知圆C过点A(4,0)，B(0,4)，且圆心C在直线l：x+y−6=0上．

(1)求圆C的方程；

(2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=−x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程．19.如图，AE⊥平面ABCD，CF/​/AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．

(1)求证：BF/​/平面ADE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且csinB=bsinA+B2．

(1)求角C的大小；

(2)若b=8，cosB=217，D为边BC上一点，且AD=721.小明同学与甲，乙二位同学进行一场乒乓球比赛，每局两人比赛，没有平局，一局决出胜负．已知每局比赛小明胜甲的概率为14，小明胜乙的概率为25，甲胜乙的概率为23，比赛胜负间互不影响．规定先由其中2人进行第一局比赛，后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者，比赛结束．因为小明是三人中水平最弱的，所以让小明决定第一局的两个比赛者(小明可以选定自己比赛，也可以选定甲、乙比赛)．

(Ⅰ)若小明选定第一局由甲、乙比赛，求“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率；

(Ⅱ)22.如图①所示，长方形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连结PB，PC，得到图②的四棱锥P−ABCM．

(1)求四棱锥P−ABCM的体积的最大值；

(2)若棱PB的中点为N，求CN的长；

(3)设P−AM−D的大小为θ，若θ∈(0,π2]，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由z(1−i)=3+i，可得z=3+i1−i=(3+i)(1+i)2=2+4i2=1+2i，

则z−=1−2i，

故z−的虚部为2.【答案】D

【解析】解：由A(4,9)，B(6,3)，知AB的中点坐标为(5,6)，

且|AB|=(4−6)2+(9−3)2=210，

则以线段AB为直径的圆的圆心坐标为(5,6)，半径r=10，

所以圆的标准方程为(x−5)3.【答案】D

【解析】解：由题意可知中位数为x=16，

因为75%×9=6.75，则75%百分位数为y=20，

所以x+y=16+20=36．

故选：D．

利用中位数，百分位数的定义即可求出x，y的值，由此即可求解．

本题考查了中位数，百分位数的求解，属于基础题．4.【答案】A

【解析】【分析】

利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM．

本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．

【解答】

解：∵BM=BB1+B1M

=c5.【答案】A

【解析】解：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故①正确；

②A、B为两个互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，故②不正确；

③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)≤1，故③不正确；

④若事件A、B是独立事件，且满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件，故④不正确．

故选：A．

对四个命题分别进行判断得出正确选项即可．

本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的灵活运用．6.【答案】BD

【解析】解：根据题意，直线xa+yb=1经过第一、二、三象限，则直线在x轴上的截距a<0，在y轴上的截距b>0，

由直线的斜率小于1，可知0<−ba<1，

又由a<0，则有a<0<b<−a；

依次分析选项：

对于A，由绝对值的性质可知|a|>|b|，故选项A错误；

对于B，由幂函数的单调性可知−a>b，故选项B正确；

对于C，由不等式的性质，可得b−a>0，b+a<0，则(b−a)(b+a)<0.故选项C错误；

对于D，1a7.【答案】D

【解析】解：对于A，直线l的一个方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的一个方向向量为b=(−2,2,4)，

则a与b不共线，

所以直线l与直线m不平行，故A错误；

对于B，直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，

则a⋅n=0−1+1=0，

所以a⊥n，

所以l/​/α或l⊂α，故B错误；

对于C，平面α，β的法向量分别为n1=(0,1,3)，n2=(1,0,2)，

则n1与n2不共线，

所以α与β不平行，故C错误；

对于D，平面α经过三个点A(1,0,−1)，B(0,−1,0)，C(−1,2,0)，

则AB=(−1,−1,1)，AC=(−2,2,1)，

因为向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量，

所以n⋅AB=−1−u+t=0n⋅AC=−2+2u+t=0，解得u=13t=43，

所以u+t=53，故D正确．

故选：8.【答案】B

【解析】【分析】取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的性质即可得到C1C//平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．本题考查点到直线的距离的最小值的求法，熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．

【解答】

解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，

∵C1F//CE，C1F=CE，CC1⊥底面ABCD，∴四边形EFC1C是矩形．

∴CC1/​/EF，

又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，∴CC1/​/平面D1EF．

∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．

过点C1作C1M⊥D1F交D1F于M，

9.【答案】BC

【解析】解：对于A：若a⊥b，b⊥c，则b垂直a,c确定的平面，a,c只要不共线即可，不一定垂直，A错误；

对于B：由于a，b，c是空间一个基底，则a，b，c不可能共面，任意两个向量都共面，B正确；

对于C：由空间向量基本定理知，空间中任意向量可由基底唯一线性表示，C正确；

对于D：由于a−c=(a+b)−(b+c)，则a+b，b+c，a−c共面，故a+b，b10.【答案】ABC

【解析】解：直线x−2y−2=0与直线2x−4y+1=0，即x−2y+12=0之间的距离d=12+21+4=|12+2|1+4，A错误；

过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，直线PA的斜率为4−0−3−1=−1，直线PB的斜率为2−03−1=1，则直线l斜率的取值范围[1,+∞)∪(−∞,−1]，B错误；

倾斜角为θ的直线斜率不一定为tanθ，还有不存在的情况，C错误．11.【答案】ABD

【解析】解：选项A，由正弦定理及3asinA=bcosB知，3sinAcosB=sinAsinB，

因为sinA>0，所以tanB=sinBcosB=3，

又B∈(0°,180°)，所以B=60°，即选项A正确；

选项C与D，由余弦定理知，b2=a2+c2−2accosB，

因为b2=ca，所以ac=a2+c2−2accos60°，整理得(a−c)2=0，即a=c，

所以△ABC为等边三角形，即选项C错误，选项D正确；

选项B，由平面向量的加法运算法则知，AB|AB|+CB|CB|与∠ABC的角平分线共线，

因为12.【答案】D

【解析】解：对于A，因为BD/​/B1D1，E在线段A1C1上运动，当E为A1C1的中点时，EF与B1D1相交，其余情况下，EF与B1D1为异面直线，不可能平行，故A错误；

对于B，VB1−ACE=VE−AB1C，而点E所在的线段A1C1与平面AB1C平行，故点E到平面AB1C的距离保持不变，故三棱锥B1−ACE的体积为定值，故B错误；

对于C，当点E为A1C1中点时，△C1EF为等边三角形，此时∠EFC13.【答案】13【解析】解：当Δ=b2−4c≥0时，方程有实数根，因为b，c∈{1,2,3}，所以一共有3×3=9种情况，

当b=1时，1−4c≥0，此时c≤14，所以不存在满足要求的c值；

当b=2时，4−4c≥0，此时c≤1，所以c只能取1；

当b=3时，9−4c≥0，此时c≤94，所以c可以取1，2；

综上，方程有根的b，c的取值情况为：b=2，c=1；b=2，c=1；b=2，c=2，共3种情况，

所以方程x2+bx+c=0有实根的概率为314.【答案】1

【解析】【分析】本题考查共面向量定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．

设a=mb+nc，则【解答】

解：∵向量a=(1,x,2)，b=(0,1,2)，c=(1,0,0)，a，b，c共面，

∴设a=mb+nc，则(1,x,2)=(n,m,2m)，

∴15.【答案】5x+12y−26=0或x=−2

【解析】解：圆x2+y2=4的圆心为原点，半径为2．

(1)当过点(−2,3)的直线垂直于x轴时，

此时直线斜率不存在，方程是x=−2，

因为圆心O(0,0)到直线的距离为d=2=r，所以直线x=−2符合题意；

(2)当过点(−2,3)的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y−3=k(x+2)，即kx−y+2k+3=0．

∵直线kx−y+2k+3=0是圆x2+y2=4的切线，

∴点O(0,0)到直线的距离为d=|2 k+3|1+k2=2，解之得k=−512．

此时直线方程为y−3=−512(x+2)，即5x+12y−26=0．

∴切线方程为5x+12y−26=0或x=−2．

故答案为：5x+12y−26=0或x=−2．

首先，圆x16.【答案】[【解析】解：如图所示：

以BC中点O为原点，以直线AO、BC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，∵三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，

PA=PB=PC=6，∴AB=BC=CA=23，点P在平面ABC上射影为等边△ABC的中心．

则A(−3,0,0)，B(0,−3,0)，C(0,3,0)，P(−1,0,2)，设Q(x,y,0)，

∵PQ=3∴(x+1)2+y2+2=3，即(x+1)2+y2=1，∴可设Q(sinβ−1,cosβ,0)，β∈[0,2π]，∴PQ=(sinβ,cosβ,−2)，AB=(3,−3,0)，

∴cosθ=|PQ⋅AB|PQ|⋅|AB17.【答案】解：(1)设B(a,b)，因为边AB上的中线所在直线方程为x−3y+8=0，

边AC上的高所在直线方程为2x−y−9=0，

所以2a−b−9=0a+32−3×b+22+8=0，解得a=8b=7，即B的坐标为(8,7)．

设C(m,n)，因为边AB上的中线所在直线方程为x−3y+8=0，

边AC上的高所在直线方程为2x−y−9=0，

所以m−3n+8=0n−2m−3=−12，解得m=1n=3，即C的坐标为(1,3)．

(2)因为A(3,2)，B(8,7)，所以|AB|=(3−8)2+(2−7)2=52．

因为边AB所在直线的方程为【解析】(1)设B(a,b)，C(m,n)，由题意列方程求解即可得出答案．

(2)先求出|AB|和直线AB所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB上的高，即可求出△ABC的面积．

本题主要考查求直线的交点坐标，两直线垂直的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．18.【答案】解：(1)由A(4,0)，B(0,4)，得直线AB的斜率为kAB=0−44−0=−1，线段中点D(2,2)

所以kCD=1，直线CD的方程为y−2=x−2，即y=x，

联立x+y−6=0y=x，解得x=3y=3，即C(3,3)，

所以半径r=|AC|=(4−3)2+(0−3)2=10，

所以圆C的方程为(x−3)2+(y−3)2=10；

(2)由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C(3,3)，

设点M关于直线y=−x的对称点N(x,y)，

则直线MN与直线y=−x垂直，且线段MN的中点(x+42,【解析】(1)先求AB的垂直平分线方程，联立直线l的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；

(2)根据点关于直线对称的特征列方程可得N，利用直线的两点式方程即可得出结果．

本题考查圆的方程与直线方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．19.【答案】证明：(1)因为AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，

所以AE⊥AB，AE⊥AD，

因为AD⊥AB，

所以AB，AD，AE两两垂直，

所以以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设CF=ℎ(ℎ>0)，因为CF⊥平面ABCD，AB=AD=1，AE=BC=2，

所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F(1,2,ℎ)，

因为AB，AD，AE两两垂直，所以AB=(1,0,0)为平面ADE的一个法向量，

因为BF=(0,2,ℎ)，

所以AB⋅BF=0，所以AB⊥BF，

因为BF⊄平面ADE，

所以BF/​/平面ADE；

解：(2)由(1)可得BD=(−1,1,0),BE=(−1,0,2),CE=(−1,−2,2)，

设平面BDE的法向量为m=(x,y,z)，则

m⋅BD=−x+y=0m⋅BE【解析】(1)由题意以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CF=ℎ，求出平面ADE的法向量，BF，若两向量的数量积为零，则可得结论，

(2)求出平面BDE的法向量，利用空间向量求解即可．

本题考查线面平行及空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为csinB=bsinA+B2，

又在△ABC中，A+B=π−C，

所以csinB=bsinπ−C2=bcosC2，

在△ABC中，由正弦定理得：sinCsinB=sinBcosC2，

又0<B<π，sinB≠0，

所以sinC=cosC2，

即2sinC2cosC2=cosC2，

又0<C<π，所以0<C2<π2，所以cosC2≠0，

所以sinC2=12，

因为0<C2<π2，

所以C2=π6，即C=π3．

(2)因为cosB=217，

所以sinB=1−cos2B=277【解析】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

(1)根据已知，结合A+B=π−C，利用正弦定理得到sinCsinB=sinBcosC2，再利用二倍角公式即可求解；

(2)根据已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinA，然后由正弦定理求得21.【答案】解：(Ⅰ)第一局由甲、乙比赛，“只进行三局，小明就成为获胜者”的事件A.

第一局甲胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件A1．

第一局乙胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件A2，事件A1与A2互斥，A=A1+A2．

P(A1)=23×14×25=115，P(A2)=13×25×14=130，则有P(A)=P(A1)+P(A2)=110．

所以“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率是110．【解析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．

(Ⅰ)把“只进行三局，小明就成为获胜者”的事件分拆成两个互斥事件的和，再求出每个事件的概率即可计算作答．

(Ⅱ)按第一局比赛双方分成3种情况，分别计算出小明最终成为获胜者的概率，再比较大小作答．22.【答案】解：(1)取AM的中点G，连接PG，

因为