2023-2024学年甘肃省兰州重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年甘肃省兰州重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|x≤2}，B=[0,3]，则A⋂B=(

)A.{3} B.{0} C.[0,2] D.{0,3}2.命题“∃x∈R，使x2+x−1=0”的否定是(

)A.∀x∈R，使x2+x−1≠0 B.不存在x∈R，使x2+x−1≠0

C.∀x∉R，使x23.下列命题是真命题的是(

)A.{⌀}是空集 B.{x∈N||x−1|<3}是无限集

C.π是有理数 D.x24.已知集合A={x∈N|x2−x−2≤0}，则满足条件A∩B=B的集合B的个数为A.3 B.4 C.7 D.85.设p：a>1>b，q：ab+1<a+b，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知等式mx=my，则下列变形正确的是(

)A.my=mx B.mx+2=my+2

C.7.关于x的不等式ax<1的解集，下列说法不正确的是(

)A.可能为⌀ B.可能为R C.可能为(1a,+∞) 8.已知集合M={x|x=k4+12,k∈Z}A.M=N B.M⫋N C.N⫋M D.M∩N=⌀二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.如图中阴影部分所表示的集合是(

)

A.N∩(∁UM) B.M∩(∁UN)10.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确结论的序号是A.a>0

B.不等式bx+c<0的解集为{x|x<−4}

C.不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−1411.在下列命题中，真命题有(

)A.∃x∈R，x2+x+3=0 B.∀x∈Q,13x2+12x+1是有理数

C.12.下列说法中正确的是(

)A.若a>b，c>0，则ac>bc

B.若−2<a<4，1<b<3，则−5<a−b<3

C.若a>b>0，m<0，则ma<mb

D.若a>b三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合{1,a,2b}={2,b2,a2}14.已知集合A={2,3,4,5,6}，B={(x,y)|x∈A，y∈A，x−y∈A}，则集合B中元素的个数为______．15.当m>12时，关于x的一元二次不等式x−m+1x+m<0的解区间为16.若−π2<α<β<π2，则角α−β四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1<x<6}，C={x|x>a}，U=R．

(1)求A∪B，(∁UA)∩B；

(2)若A∩C≠⌀，求a18.(本小题12.0分)

某单位在对一个长800m、宽600m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少？当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小？19.(本小题12.0分)已知集合A=x2−a≤x≤2+a，B=x|(1)当a=3时，求A∩B；(2)“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数20.(本小题12.0分)

已知命题p：∀x∈{x|0<x<1}，x+m−1<0，命题q：∀x∈R，mx2+4x−1≠0.若p为真命题、q为假命题，求实数21.(本小题12.0分)

已知关于x的不等式ax2+3x+2>0(a∈R)．

(1)若ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1}，求实数a，b的值；

(2)求关于22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=mx2−mx−1．

(1)若不等式f(x)<0对于∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围；

(2)若不等式f(x)<−m+5在x∈[1,3]上有解，求实数m答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因为集合A={x|x≤2}，B=[0,3]={x|0≤x≤3}，

所以A∩B={x|0≤x≤2}=[0,2]．

故选：C．

按照交集的运算法则直接计算即可．

本题考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：根据全称量词命题与存在量词命题的否定的定义可知，

命题“∃x∈R，使x2+x−1=0”的否定是“∀x∈R，使x2+x−1≠0”．

故选：A．3.【答案】D

【解析】解：集合{⌀}里边含有⌀一个元素，故{⌀}不是空集，A错误；

{x∈N||x−1|<3}={0,1,2,3}，不是无限集，B错误；

π是无理数，C错误；

D中，x2−5x=0的根为x1=0，x2=5，均为自然数，故D正确．

故选：D．

利用集合的概念与一元二次方程的根对A，B，4.【答案】D

【解析】解：A={x∈N|x2−x−2≤0}={x∈N|(x−2)(x+1)≤0}={0,1,2}，元素个数为3个，

A∩B=B，

则B⊆A，

故满足条件A∩B=B的集合B的个数为23=8．

故选：D．

5.【答案】A

【解析】解：若a>1>b，则a−1>0，b−1<0，所以(a−1)(b−1)<0，

所以ab+1<a+b，所以p是q的充分条件；

若ab+1<a+b，不妨取a=12,b=5，不满足a>1>b，

所以p不是q的必要条件，故p是q的充分不必要条件．

故选：A．

6.【答案】B

【解析】解：对于A，当x=y=0时，满足mx=my，但my=mx无意义，故A错误；

对于B，mx=my两边同时加上2，该等式仍然成立，故B正确；

对于C，当m=0，x=1，y=2时，满足mx=my，但得不到x=y，故C错误；

对于D，当mx=my<0时，无法得到mx=my，故D错误．7.【答案】A

【解析】解：若a=0，不等式ax<1的左边=0，此时x∈R，B正确；

若a>0，则x<1a，D正确；

若a<0，则x>1a，C正确；

故选：A．

对8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查集合的关系判断，属基础题．

将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．

【解答】

解：M={x|x=k4+12,k∈Z}={x|x=k+24,k∈Z}，

N={x|x=k2+14,k∈Z}={x|x=2k+14,k∈Z}，9.【答案】AD

【解析】解：由图可知，阴影部分的元素属于集合N，但不属于集合M，

所以阴影部分所表示的集合为N∩(∁UM)，或[∁U(M∩N)]∩N．

故选：AD．10.【答案】AD

【解析】解：不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，

所以a>0，且3和4是方程ax2+bx+c=0的两根，选项A正确；

由根与系数的关系知，3+4=−ba3×4=ca，所以b=−7a，c=12a，

所以不等式bx+c<0可化为−7x+12<0，解集为{x|x>127}，选项B错误；

不等式cx2−bx+a<0可化为12x2+7x+1<0，解集为{x|x<−13或x>−14}，选项C错误；

因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，所以x=1满足不等式，即11.【答案】BC

【解析】解：由于x2+x+3=(x+12)2+114>0，故A错误；

由于x为有理数，所以13x2+12x+1也为有理数，故B正确；

当x=70，y=100时，3x−2y=10，故选项C正确；

当x=1时，x3−12.【答案】AB

【解析】解：对于A，因为a>b，c>0，所以ac>bc，故A正确；

对于B，因为1<b<3，所以−3<−b<−1，

又−2<a<4，所以−5<a−b<3，故B正确；

对于C，因为a>b>0，所以0<1a<1b，

又m<0，所以ma>mb，故C错误；

对于D，当a=2，b=1，c=−2，d=−3时，满足a>b，c>d，

但ac=−4，bd=−3，此时ac<bd，故D13.【答案】2或4或1

【解析】解：∵{1,a,2b}={2,b2,a2}，∴2∈{1,a,2b}，若a=2或2b=2，则a=2或b=1．

当a=2时，{1,2,2b}={2,b2,1}，即b2=2b，解得b=0或b=2(舍去)，此时a+b=2+0=2或a+b=2+2=4，

当b=1时，{1,a,2}={2,1,a2}，即a=a2，解得a=0，a+b=0+1=1，

所以a+b=2或4或1，

故答案为：14.【答案】6

【解析】解：因为x∈A，y∈A，x−y∈A，

所以x=4时，y=2；x=5时，y=2或y=3；x=6时，y=2或3或4，

所以B={(4,2)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，

所以集合B中元素的个数为6．

故答案为：6．

由已知，根据条件给的集合A，按照集合B给的定义列举即可完成求解．

本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．15.【答案】(−m,m−1)

【解析】解：不等式x−m+1x+m<0等价于(x−m+1)(x+m)<0，

因为m>12，所以m−1>−12，−m<−12，即−m<m−1，

所以不等式的解集为(−m,m−1)．

故答案为：(−m,m−1)．

原不等式等价于(x−m+1)(x+m)<0，再通过16.【答案】(−π,0)

【解析】解：∵α<β，∴α−β<0①，

∵−π2<α<π2，−π2<β<π2，

∴−π2<−β<π2，

∴−π<α−β<π②，

由①②17.【答案】解：(1)∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1<x<6}，U=R，

∴A∪B={x|1<x≤8}，∁UA={x|x<2或x>8}，

则(∁UA)∩B={x|1<x<2}，

(2)∵A={x|2≤x≤8}，C={x|x>a}，且A∩C≠⌀，

∴a<8，

即【解析】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．

(1)由A与B，求出两集合的并集，求出A的补集，找出A的补集与B的交集即可；

(2)根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可．18.【答案】解：设花坛宽度为xm，则草坪的长为(800−2x)m，宽为(600−2x)m，(0<x<300)，

根据题意得(600−2x)(800−2x)≥12×800×600，

整理得x2−700x+60000≥0，

解不等式得x>600(舍去)或x<100，

因比0<x≤100，

故当花坛的宽度在0<x≤100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，

绿草坪的面积S=(800−2x)(600−2x)=4x2−2800x+480000，

对称轴为x=350，开口向上，在(0,100]上单调递减，

所以当x=100【解析】设花坛宽度为xm，则草坪的长为(800−2x)m，宽为(600−2x)m，(0<x<300)，结合实际问题抽象出不等式，解不等式可求x的范围，再由二次函数的性质可求面积的最小值．

本题主要考查了二次不等式在实际问题中的应用，还考查了二次函数的性质的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)当a=3时，A={x|−1≤x≤5}，

所以A∩B={x|−1≤x≤1

或4≤x≤5}，

(2)由题可知，CRB={x|1<x<4}，

因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，

所以A⊊C【解析】可利用集合间的关系进行求解．

本题考查了集合间的关系，充要条件的判断，属于基础题．20.【答案】解：根据题意，由命题p是真命题，则x+m−1<0，对任意的0<x<1恒成立，

即m−1<−x对0<x<1恒成立．

由于0<x<1，则−1<−x<0，所以m−1≤−1，变形可得m≤0；

由命题q是假命题，则¬q：∃x∈R，使得mx2+4x−1=0为真命题，即关于x的方程mx2+4x−1=0有实数根：

①当m=0时，4x−1=0有实数根；

②当m≠0时；依题意得Δ=16+4m≥0，即m≥−4且m≠0，

综上①②，可得m≥−4．

因为p为真命题、q【解析】根据命题的真假，原问题可以转化为问题恒成立或有解问题，列出对应不等式组，可得答案．

本题考查命题真假的判断，涉及不等式的恒成立问题，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1}，

所以x=b，x=1是方程ax2+3x+2=0的根，

故1+b=−3a，1×b=2a

解得a=−5；b=−25；

(2)由ax2−3x+2>ax−1得ax2−(3+a)x+3>0，

即(ax−3)(x−1)>0，

当a=3时，解集为{x|x≠1}；

当a>3时，解集为【解析】(1)由已知结合二次方程与二次不等式的关系及方程的根与系数关系可求；

(2)先对已知方程进行变形，然后对两根大小的情况对a进行分类讨论可求．

本题主要考查了二次方程与二次不等式关系的应用，还考查了含参数二次不等式的求法，体现了分类讨论思想的应用，属于中