2024届衡水中学高二上数学期末教学质量检测试题含解析

2024届衡水中学高二上数学期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．是等差数列，，，的第（）项A.98 B.99C.100 D.1012．已知数列为等比数列，若，则的值为（）A.-4 B.4C.-2 D.23．对于两个平面、，“内有无数多个点到的距离相等”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B.C. D.5．已知命题，则为（）A. B.C. D.6．设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知双曲线渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.48．已知空间向量，，则（）A. B.19C.17 D.9．已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（）A B.C. D.10．从全体三位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（）A. B.C. D.以上全不对11．已知数列是递减的等比数列，的前项和为，若，，则=（）A.54 B.36C.27 D.1812．命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知几何体如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则___________.14．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲、乙两人下成和棋的概率为___________.15．动直线，恒过的定点是________16．有一组数据：，其平均数是，则其方差是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱锥P­ADM的体积18．（12分）已知正项数列的前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19．（12分）已知抛物线C：焦点F的横坐标等于椭圆的离心率.（1）求抛物线C的方程；（2）过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.20．（12分）已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程21．（12分）已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的余弦值22．（10分）已知.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项【详解】解：等差数列，，中，，令，得是这个数列的第100项故选：C2、B【解析】根据，利用等比数列的通项公式求解.【详解】因为，所以，则，解得，所以.故选：B3、B【解析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性：若内有无数多个点到的距离相等，则、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，则内每个点到的距离相等，故必要性成立，所以“内有无数多个点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.4、A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A5、C【解析】将全称命题否定为特称命题即可【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题，则，故选：C.6、C【解析】求出圆心到直线距离，再借助圆的性质求出d的最大值与最小值即可.【详解】圆的方程化为，圆心为，半径为1，则圆心到直线的距离，即直线和圆相离，因此，圆上的动点到直线的距离，有，，即，即的取值范围是：.故选：C7、A【解析】由双曲线的渐近线方程，可得，再由的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得即，可得由可得，故选：A.8、D【解析】先求出的坐标，再求出其模【详解】因为，，所以，故，故选：D.9、D【解析】根据双曲线的定义及，，应用勾股定理，可得关系，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，连接,,,如图：根据双曲线的对称性及可知，四边形为矩形.设因为，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化简可得，③把③代入①可得：，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，勾股定理，属于难题.10、B【解析】利用古典概型的概率求法求解.【详解】从全体三位正整数中任取一数共有900种取法，以2为底的对数也是正整数的三位数有，共3个，所以以此数以2为底的对数也是正整数的概率为，故选：B11、C【解析】根据等比数列的性质及通项公式计算求解即可.【详解】由，解得或（舍去），，，故选：C12、D【解析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案.【详解】因为命题，，所以，.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】把该几何体补成一个正方体，如图，利用正方体的性质证明面面垂直得出直线MB与平面BEF所成的角，然后计算可得【详解】把该几何体补成一个正方体，如图，，连接，由平面，平面，得，同理，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面内的直线在平面上的射影是，即是直线MB与平面BEF所成的角，，，，故答案为：14、##【解析】直接根据概率和为1计算得到答案.【详解】.故答案为：.15、【解析】将直线方程转化为，从而可得，即可得到结果.【详解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直线恒过定点（2，2）故答案为：16、2【解析】先按照平均数算出a，再按照方差的定义计算即可。【详解】∵，所以，方差，故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）过M作MN∥CD交PD于点N，证明四边形ABMN为平行四边形，即可证明BM∥平面PAD.（2）过B作AD的垂线，垂足为E，证明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱锥P-ADM的体积.【详解】解：（1）证明：如图，过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD∴AB∥MN∴四边形ABMN为平行四边形∴BM∥AN.又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD∴BM∥平面PAD.（2）如图，过B作AD的垂线，垂足为E.∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD∴PD⊥BE.又AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D∴BE⊥平面PAD.由（1）知，BM∥平面PAD∴点M到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即BE.连接BD，在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝则三棱锥P­ADM的体积VP-ADM＝VM-PAD＝×S△PAD×BE＝×3×＝.18、（1）（2）【解析】小问1：利用通项公式与的关系即可求出；小问2：根据(1)可得，结合错位相减法即可求出前n项和【小问1详解】当时，，.当时，，…①，，…②①②得：，即：.，是以为首项，以为公差的等差数列，；【小问2详解】由（1）可知，则，…①两边同乘得：，…②①②得：，.19、（1）；（2）原点在以线段AB为直径的圆上，详见解析.【解析】（1）利用椭圆方程可得其离心率，进而可求抛物线的焦点，即求；（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理法可得，即得.【小问1详解】由椭圆，可得，故，∴抛物线C的方程为.【小问2详解】由题可设直线l的方程为，由，得，设，则，又，故，∴，∴，即，故原点在以线段AB为直径的圆上.20、（1）（2）或【解析】（1）抛物线的方程为，利用抛物线的定义求出点N，代入抛物线方程即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及焦半径公式可得或，即求.【小问1详解】抛物线的方程为，设，依题意，由抛物线定义，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）得，设直线的方程为，，，由，得.因为，故所以.由题设知，解得或，因此直线方程为或.21、（1）60°；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；【小问1详解】以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，所以，，设与EF所成角的大小为，则，因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°【小问2详解】设平面的法向量为，与平面所成角为，因为，，所以，，所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，所以，所以22、(1)时,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减