中考数学综合题专题训练

中考数学综合题专题训练一、【能力自评】1．如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是________________．第1题第2题第5题第6题2．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，你所确定的b的值是_________．3．已知点P（x，y）位于第二象限，且y≤2x＋6，x、y为整数，则满足条件的点P的个数是_________．4．已知2－2010·2012x－1＝0x2＋2010x－＝0－＝__________．(2011x)2-2012×2010x-1=0

(2011x)2-(20112-1)x-1=0

(2011x)2-20112x+x-1=0

20112x(x-1)+(x-1)=0

(x-1)(20112x+1)=0

x1=1,x2=-1/20112,

a=1x2+2010x-2011=0

(x-1)(x+2011)=0

x1=1,x2=-2011

b=-2011

a-b=1+2011=2012.5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是_______________．6．如图，已知P为△ABC外一点，P在边AC之外，∠B之内，若S△PAB:S△PBC:S△PAC＝3:4:2，且△ABC三边a，b，c上的高分别为ha＝3，hb＝5，hc＝6，则P点到三边的距离之和为___________．7．已知A（－3，0），B（0，－4），P为反比例函数y＝EQ\F(12,x)（x＞0）图象上的动点，PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形ABCD面积的最小值为___________．第7题第8题8．在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2），C（1，1），点P在x轴上，且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的2倍，则点P的坐标为________________．二、【讲练结合】例一．已知，点P是∠MON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．（1）求证：PA＝PB；（2）若点C是直线AB与直线OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求EQ\F(PB,PC)的值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．图1ABPMTNOEF解：（图1ABPMTNOEF作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F则∠EPF＋∠MON＝180°∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF∴∠EPA＝∠FPB∵OP平分∠MON，∴PE＝PF∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB图2ABPMTN图2ABPMTNOFE作PE⊥OM于E，作PF⊥ON于F则∠EPF＋∠MON＝180°∵∠APB＋∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB∵∠EPA＝∠EPF－∠APF，∠FPB＝∠APB－∠APF∴∠EPA＝∠FPB∵OP平分∠MON，∴PE＝PF∴△EPA≌△FPB，∴PA＝PB（2）解：∵S△POB＝3S△PCB，∴点A在射线OM上，如图3图3ABPMTNOC∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝EQ\F(1,2)图3ABPMTNOC∵∠APB＋∠MON＝180°，∠POB＝EQ\F(1,2)∠MON∴∠POB＝EQ\F(1,2)(180°－∠APB)，∴∠PBC＝∠POB又∠BPC＝∠OPB，∴△POB∽△PBC∴EQ\F(PB,PC)＝eq\r(,EQ\F(S△POB,S△PBC))＝eq\r(,3)（3）解：①当点A在射线OM上时，如图4图4ABPMTNOED∵∠APB图4ABPMTNOED∴∠APB＝120°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∠BPD＝60°∵∠PBD＝∠ABO，∴∠PBD＝∠ABO＝75°作BE⊥OP于E∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠BOE＝30°∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝eq\r(,3)，∠OBE＝60°∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1∴OP＝OE＋PE＝eq\r(,3)＋1②当点A在MO延长线上时，如图5此时∠AOB＝∠DPB＝120°图5ABPMTNOED∵∠PBD＝∠ABO，∠PBA图5ABPMTNOED作BE⊥OP于E，则∠BOE＝30°∵OB＝2，∴BE＝1，OE＝eq\r(,3)，∠OBE＝60°∴∠EBP＝∠EPB＝45°，∴PE＝BE＝1∴OP＝OE－PE＝eq\r(,3)－1例2（2013年上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A．因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A，可得．所以抛物线的表达式为．（2）由，得抛物线的顶点M的坐标为．所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A、B(2,0)、M，得，，．所以∠ABO＝30°，．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当时，．此时C(4,0)．②如图4，当时，．此时C(8,0)．图3图4三、【课后一周自主训练与提升】【填空题训练】1．从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线．一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线，他恰好选到B2路线的概率是_________．2．在平面直角坐标系中，已知点P1的坐标为（1，0），将其绕原点按逆时针方向旋转30°得到点P2，延长OP2到点P3，使OP3＝2OP2，再将点P3绕原点按逆时针方向旋转30°得到P4，延长OP4到点P5，使OP5＝2OP4，如此继续下去，则点P2011的坐标是_____________．3．已知关于x，y的方程组eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(tx＋3y＝2,2x＋(t－1)y＝t))的解满足|x|＜|y|，则实数t的取值范围是_______________．4．一袋装有四个分别标有数字1、2、3、4，除数字外其它完全相同的小球，摇匀后，甲从中任意抽取1个，记下数字后放回摇匀，乙再从中任意抽取一个，记下数字，然后把这两个数相加，当两数之和为3时，甲胜，反之乙胜．若甲胜一次得7分，那么乙胜一次得__________分，这个游戏对双方才公平．5．如图，已知点A（0，4），B（4，0），C（10，0），点P在直线AB上，且∠OPC＝90º，则点P的坐标为________________．第5题第6题第7题6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴于B，抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A，将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△AOB的内部（不包括△AOB的边界），则m的取值范围是______________．7．如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝EQ\F(2,x)（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝EQ\F(2,x)（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为______________．【综合题训练】8.（2012四川德阳）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，.已知当时，；当时，.⑴求一次函数的解析式；⑵已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积.【答案】解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1。将x=1代入反比例函数解析式，，∴点A的坐标为（1，6）。又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5。∴一次函数的解析式为y1=x+5。（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，∴点C的横坐标为3。∴。∴点C的坐标为（3，2）。过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2∴x+5=2，解得x=﹣3。∴点D的坐标为（﹣3，2）。∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6。点A到CD的距离为6﹣2=4。联立，解得（舍去），。∴点B的坐标为（﹣6，﹣1）。∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3。∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21。9．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点G．若∠DCF＝30°，求EQ\F(BG,CG)及EQ\F(AC,DC)的值．解：（1）BE＝2CF，BE⊥CFABCDEF图1证明：∵△ABCDEF图1∴AC＝BC，DC＝EC∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC∵F为线段AD的中点，∴CF＝AF＝DF＝EQ\F(1,2)AD∴BE＝2CF∵AF＝CF，∴∠DAC＝∠ACF∵∠BCF＋∠ACF＝90°，∴∠BCF＋∠EBC＝90°ABCDEABCDEF图2H（2）仍然成立证明：如图2，延长CF到H，使HF＝CF，连接AH、DH∵AF＝DF，∴四边形AHDC为平行四边形∴AH＝CD＝CE，∠CAH＝180°－∠ACD∵∠BCE＝∠BCA＋∠DCE－∠ACD＝180°－∠ACD∴∠CAH＝∠BCE又∵AC＝BC，∴△CAH≌△BCE∴CH＝BE，∠ACH＝∠CBE∴BE＝CH＝2CF∠CBE＋∠BCH＝∠ACH＋∠BCH＝90°即BE⊥CFABCDEFGOMN图3（3）如图3，设ABCDEFGOMN图3作BC的垂直平分线，交BG于点M，连接CM则BM＝CM，∠MBC＝∠MCB，∴∠OMC＝2∠MBC∵AC⊥DE，∠CDE＝45°，∴∠DCA＝45°∵∠DCF＝30°，∴∠ACH＝∠CBE＝15°∴∠OMC＝30°设OG＝x，则CG＝2x，OC＝eq\r(,3)x，BM＝CM＝2eq\r(,3)xOM＝eq\r(,3)OC＝3x，MG＝3x－x＝2x∴BG＝BM＋MG＝2eq\r(,3)x＋2x，BO＝BM＋MO＝2eq\r(,3)x＋3x∴EQ\F(BG,CG)＝EQ\F(2eq\r(,3)x＋2x,2x)＝eq\r(,3)＋1EQ\F(BO,OC)＝EQ\F(2eq\r(,3)x＋3x,eq\r(,3)x)＝eq\r(,3)＋2过E作BC的垂线，交BC的延长线于N则Rt△BNE∽Rt△BOC，∴EQ\F(BN,EN)＝EQ\F(BO,OC)＝eq\r(,3)＋2设EN＝t，则CN＝t，CE＝eq\r(,2)t，BN＝(eq\r(,3)＋2)t，BC＝(eq\r(,3)＋2)t－t＝(eq\r(,3)＋1)t∴EQ\F(BC,CE)＝EQ\F((eq\r(,3)＋1)t,eq\r(,2)t)＝EQ\F(eq\r(,6)＋eq\r(,2),2)∵AB＝BC，CD＝CE，∴EQ\F(AC,DC)＝EQ\F(eq\r(,6)＋eq\r(,2),2)10．如图，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝eq\r(,2)．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．（1）当点F在射线CA上时①求证：PF＝PE．②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PNACBFPDEMN21G由∠PMC＝∠MCN＝ACBFPDEMN21G∴∠1＋∠FPN＝90°∵∠2＋∠FPN＝90°，∴∠1＝∠2∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE②解：∵CP＝eq\r(,2)，∴CN＝CM＝1∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x∴CE＝2－x∵CF∥PN，∴EQ\F(CF,PN)＝EQ\F(CG,GN)，即EQ\F(x,1)＝EQ\F(CG,CG＋1)ACBFPGE1D∴CG＝EQ\F(x,ACBFPGE1D∴y＝EQ\F(x,1－x)＋2－x（0≤x＜1）（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2eq\r(,2)ACBMPFGACBMPFGNE15234D∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2∵∠1＝45°+∠5，∠1＝45°+∠2，∴∠5＝∠2易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4∴CF＝CP＝eq\r(,2)，∴FM＝eq\r(,2)＋1易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝eq\r(,2)＋1∵CF∥PN，∴EQ\F(CF,PN)＝EQ\F(CG,GN)，即EQ\F(eq\r(,2),1)＝EQ\F(1－GN,GN)∴GN＝eq\r(,2)－1∴EG＝eq\r(,2)－1＋eq\r(,2)＋1＝2eq\r(,2)11、（2012年苏州）如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以点P的坐标为()．图2图3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当，即时，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合题意的点Q为()．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．图4