三角形全等的判定分类练习

1.三角形全等的判定(角边角)【教材研学】一、三角形全等的条件――“角边角”（A．S．A．）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“角边角”或“A．S．A．”）．由此我们可以看出，对于两个三角形，只要有两个对应角及其所夹的边相等，则这两个三角形全等．二、探究活动问题：有两角及其中一角的对边对应相等，这样两个三角形是否全等呢?分析：如图，假设∠A=∠A1，∠B=∠Bl，BC=B1C1，能否判断△ABC≌△A1B1C显然，由三角形的内角和定理我们可以知道如果∠A=∠A1，∠B=∠B1，则必有∠C=∠C1．这样，就可得到△ABC和△A1B1C1中有两角和一夹边对应相等，由此可判定△ABC≌△A1B1C结论：事实上，知道两角及其中一角的对边对应相等也可以判断两个三角形全等，这一结论我们简称为“角角边(A．A．S．)”．【点石成金】例题如图，已知：AB=AC，D、E两点分别在AB，AC上，且AD=AE，求证：△BDF≌△CEF．分析：结论要证的两个三角形△BDF与△CEF中，有一组对角相等，由已知条件可推得，BD=CE，只要证明出它们的另一对角∠C与∠B相等，就可证出结论了，为了证明∠C=∠B，可以设法证明△ACD与△ABE全等，而这由已知不难证得．证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD。∴∠C=∠B∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE．在△BDF和△CEF中，∴△BDF≌△CEF．名师点金：本题的解题关键是证明△ABE≌△ACD，得到∠C=∠B，注意书写格式要规范：【基础练习】1．任画一个Rt△ABC，使∠C=90°．再画一个Rt△A’B’C’，使B’C’＝BC，A’B’＝AB．把画好的Rt△A’B’C’剪下，放到Rt△ABC上．你会得出什么结论?2．如图所示，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC.3．如图所示，∠1＝∠2，∠3=∠4，请你说明△ABC≌△ABD的理由。一、基础巩固1．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等．若全等，画“√”号；若不全等，画“×”号.(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等．()(2)一个锐角和锐角相邻的直角边对应相等．()(3)一个锐角和一条斜边对应相等．()(4)两直角边对应相等．()(5)两锐角对应相等．()2．如图所示，要证明△ACF≌△BDE，根据给定的条件和指明的依据，将应当添加的条件填在横线上．(1)AC=BD，AC∥BD，__________(A．S．A．)；(2)AC=BD，AC∥BD，___________(A．A．S．)；(3)CE=DF_________，____________(A．S．A．)；(4)AC∥BD，AF∥EB，__________(A．A．S．)．3．如图所示，已知AB、CD相交于点O，并且△ACO≌△BDO，CE∥DF．求证：CE=DF．4．如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AB=AC．5．如图所示，已知AB∥DC，AB=CD，BF=DE．求证：AE∥CF，AF∥CE．二、探究提高6．如图所示，已知EF⊥AD于E，CB⊥AD于B，EF=BC，AE=BD．求证：∠C=∠F.7．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∠ACB=90°．AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E．交AD于点F，试判断∠ADC与∠BDE的大小关系．三、拓展延伸8．如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：AP⊥AQ．四、中考模拟9．（2005·四川南充）如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC．求证：BE=FC．2.三角形全等的判定(SSS,HL)【教材研学】一、三角形全等的条件一－“边边边”（S．S．S．）三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“S．S．S．”）．本定理是根据我们的探究问题推出的，它的原理是我们以后要学的三角形的稳定性，因为三角形具有稳定性．故三边确定，三角形形状确定，两个三边确定的三角形全等．应用此定理解题注意找对公共边与对应边。二、三角形的稳定性一个三角形中，只要其三边的长度一定，这个三角形的形状、大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性应用很广，如屋顶的人字架就是利用了三角形的稳定性。三、直角三角形全等的条件――“斜边、直角边”（H．L．）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“H．L．”)．另外：“斜边、直角边”是判定两个直角三角形全等的条件，不适用于一般三角形．也不能因为学习了“斜边、直角边”，而认为只有该条件才能说明两个直角三角形全等，前面的“S．S．S．”、“S．A．S．”、“A．S．A．”或“A．A．S．”也都能证明两个直角三角形全等，因此证直角三角形全等的条件比一般三角形全等的条件多一个“H．L．”．【点石成金】例题如图，AB=AC，DB=DC，EB=EC．请写出图中所有的全等三角形，并选一个说明理由．解：△ABD≌△ACD．△ABE≌△ACE．△DBE≌△DCE．以△ABD≌△ACD为例：在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD(S．S．S．)．名师点金：在解决本题时别忽视了公共边这个条件。找全等三角形时要全面，勿遗漏．例2．如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD，∠B=∠E。求证：F是CD的中点．分析：要证F为CD中点，即FC=FD，因此应作辅助线使它们分别在两个不同的三角形中，用三角形全等来完成，所以连接AC、AD．通过证△ABC≌△AED得到△ACF≌△ADF的条件．证明：连接AC、AD，如图，在△ABC和△AED中，所以△ABC≌△AED(S．A．S．)．所以AC=AD(全等三角形的对应边相等)．因为AF⊥CD，所以∠AFC=∠AFD=90°，即△ACF和△ADF都为直角三角形．在Rt△ACF和Rt△ADF中，所以Rt△ACF≌Rt△ADF(H．L．)．所以CF=DF(全等三角形的对应边相等)．名师点金：这里采用了“分析法”的证明方法，即从结论入手．找出需要的条件，逐步向已知靠拢．当然也可由此反回去用综合法．【基础练习】1．如图所示是小明制作的风筝，他根据图中DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠E=∠F，请用你所学的知识给予证明?【升级演练】一、基础巩固:1．已知，如图，AD=BC，AE=FC，DF=BE。求证：∠B=∠D．2．如图所示是某人设计的风筝模型，经过测量知：AB=DC，AC=DB．由此你能断定∠A=∠D．∠B=∠C吗?若能，作出证明；若不能，说明理由．4．阅读下列题目：如图所示，已知△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．证明：作∠BAC的平分线AD，交BC于D．由∠BAD=∠CAD，∠B＝∠C，AD=AD，得△BAD≌△CAD．所以AB=AC.试问：（1）若作AD⊥BC于D，AB=AC是否成立?若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；（2）若作BC边上的中线AD，AB=AC是否成立?请说明理由；（3）若AB=AC，则∠B=∠C是否成立?请说明理由．二、探究提高7．如图所示，有块三角形厚铁板，为了实际生产需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在他手边只有一把尺子和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗?并说说你的根据．N8．如图（1）所示，△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD<CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予以证明；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不需证明；三、拓展延伸9．如图所示，取一张长方形纸片，用A、B、C、D表示其四个顶点，将其折叠，使点D与点B重合．（1）在图中标出折线与AD的交点E，与BC的交点F；标出折叠后点C的位置C’点；（2）图中有没有全等的图形?如果有，全部找出来，再说明理由．（3）找出图中相等的线段和相等的锐角．

3.三角形全等的判定(边角边)【教材研学】一、三角形全等的条件――“边角边”（S.A.S）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“S．A．S．”）．运用这个定理请务必找准对应角，一定要是两边的夹角．二、“边角边”应用根据“边角边”可以测量不能到达的两个位置的距离．现实生活中一些点，如在水中或其他很难测量的位置，为了方便的计算这些难于测量的距离，我们常构造全等三角形，构造出与要测量的两点间距离相等的对应线段，这些线段是便于测量的，条件得以转化，如测量池塘两点，山脚下一点与山的对面一点等，常用此方法．【点石成金】例1．如图，已知A、B、C三点在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于F，DC交BE于G。求证：AE=DC．证明：因为△ABD和△BCE为等边三角形，所以AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠EBC=60°．所以∠ABE=∠DBC=120°，∠ABF=∠DBG=60°．在△ABE和△DBC中，所以△ABE≌△DBC(S．A．S．)．所以AE=DC（全等三角形的对应边相等）．名师点金：上题中A、B、C三点不在一条直线上，其他条件不写仍有AE=DC，请自行证明．【基础练习】1．如图所示，已知AD∥BC，AD=BC，请你思考一下，△ABC与△CDA有什么关系?2．在证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形_____来解决．【升级演练】一、基础巩固1．如图1所示，在△ABC中，CD⊥AB，请你添加一个条件，写出一个正确结论（不要在图中添加辅助线、字母）．条件：______________________,结论：____________________________.(1)(2)(3)2．如图2，AC⊥BE，AC=EC，CB=CF，把△EFC绕着点C逆时针方向旋转90°，E点将落在____点上．3．如图3所示，M是AB的中点，MC=MD，∠1＝∠2.求证：∠C=∠D．4．如图所示，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明理由．5．如图所示，D、E、F、B在一条直线上，AB＝CD，∠B=∠D，BF=DE．求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF；（3）∠AFE＝∠CEF．6．如图，小明要测量小口瓶下半部的内径．他把两根相等的钢条AA’，BB’的中点O连在一起．可活动A、B两点，使A’、B’卡在小口瓶内壁上．然后量出AB的长度，就可知道小口瓶下半部的内径，你知道这是为什么吗?说明你的理由．7．如图19—2—12所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，请你说明△ABD≌△ACE的理由．二、探究提高8．如图所示，已知AB=AC，D是BC的中点，E是AD上的任意一点，连接EB、EC．求证：EB=EC．9．如图，AB、BC、CD是三根长度分别为1cm、2cm、5cm的木棒，它们之间的连接处可以转动，现在A、D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考：这根橡皮筋的最大长度可拉到多