2019年考研数二真题及解析

-1-2019年全国硕士研究生招生考试试题求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1）当xy0时，若x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=(）EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up4(互),2)x）EQ\*jc3\*hps43\o\al(\s\up1(立),2),EQ\*jc3\*hps43\o\al(\s\up0(如),2))(3）下列反常积分发散的是()EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up7(r),1)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up8(ta),‘)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up7(n),x)x2dx(5）已知平面区域D={(x，y）|x|+|y|<ξ}L=…=D5sin…=(1-cos…)I凹：土芦t心:ya(x-a）(6）已知八xg(x）2阶可导且2阶导函数在x=a处连续，则limf(x）-g(EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up7(x),2)）=ya(x-a）y=f(x）和y=g(x）在x=a对应的点处相切且曲率相等的()(A）充分非必要条件(B）充分必要条件(C）必要非充分条件(D）既非充分又非必要条件.(7）设A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则r(A*）=(）(8）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若A2+A=Ą2E，且|A|=4，则二次型xTAx的规范形为((9）lim(x+2x行=EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up8(x),y)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up5(t),1)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up7(si),c)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up7(n),o)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up7(，),t)EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up4(进),2)—2—ξ)的弧长为EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up0(sm),t)00EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up9(-),3)=0034联函数f(x）={EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(x),x)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up1(*),ex)+1,EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(x),x)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up10(>),三)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up9(0),0),求f,(x）,并求八x）的极值(16）(本题满分10分）?x6x.设函数y(x）是微分方程y,-xy=2EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up7(1),在)eξ满足条件y(1）=炬的特解(I）求y(x(Ⅱ)设平面区域D={(x,y）|1<x<2,0<y<y(x）},求D绕x轴旋转所得旋转体的体积.—3—(18）(本题满分10分）已知平面区域D={(x,y）||x|三y,(x2+y2）3三y，,计算二重积分问x+ydx问(19）(本题满分10分）设n为正整数,记S“为曲线y=esinx(0三x三nπ)与x轴所围图形的面积,求S“,并Nym(20）(本题满分11分）已知函数u(x,y）满足2-2+3+3=0,求a,b的值,使得在变换u(x,y）=o(x,y）e做+by下,上述等式可化为o(x,y）不含一阶偏导数的等式.(21)(本题满分11分)1已知数f(年)在[0，1]上具有2阶导数，且(0)=0,()()db=1,证明：1()存在(0，1)，使得f′()=0；(22)(本题满分11分)(1(1(11(0已知向量组2032与Ⅱ：ββ2244a2＋3a＋31a(1β33·若向量组与Ⅱ等价求a的取值并将β3用23线性表永a2＋3(23)(本题满分11分)(-2-21(2已知矩阵A=|2-2与B0002o(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-'AP=B.。相似 42019年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析（1）当x喻0时，若x一tanx与xk是同阶无穷小，则【答案】Cππ3π3π2222【答案】C当xeu。(0,δ)，y,,<0，故(0,2)不是拐点；（3）下列反常积分发散的是()(A)xexdx(B)xex2dx(C)dx(D)dx【答案】DEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up6(+),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up6(+),0)x，则a,b,c依次为()(A)1,0,1(B)1,0,2【答案】D2x)ex是对应齐次方程的解，故是λ=1其二重特征值，所以其特DDI3+y2)dxdy，试比较I1,I2,I3的大小()D(A)I3223(C)I23(D)I21【答案】Ax2222.(6)函数∫(x),g(x)的二阶导函数在x=a处连续，则=0是两条曲线y=∫(x)，y=g(x)在x=a对应的点处相切及曲率相等的()【答案】A∫,,(a)22∫,,(a)22g(x)=g(a)+g(a)(x-a)+2(x-a)1+y,22.1+y,22.（必要性）若函数y=∫(x)，y=g(x)在x=a处相切可得∫(a)=g(a)，∫,(a)=g,(a)；∫,,(a)1+[∫,(a)]2 g,,(a)1+[g,(a)]2,,,,∫(x)g(x),,但若∫(a)=g(a)，有(xa),,,,∫(x)g(x),,的秩是()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】A2+A=2E且A=4，则二次型xTAx的规范形为()222222(A)y1+y2y3(C)222y1一y2一y3(D)222y1y2y3【答案】C【解析】设矩阵A的特征值为λ,由A2+A=2E可得，λ2+λ=2，解得λ=1,一2，y1一y2一y3.x喻0【答案】【解析】4e22lim(x+2x)xx喻0=e=e2+2ln2=e2ly=1ly=1cost233dydy/dtsintEQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up0(====),3)33dydy/dtsint22dxdx/dt1costt=2π3π23π2 .1101234=100130411.设函数∫(u)可导，z=y∫()，则2x+y=.∫,()，=∫()+y∫,().=∫δzδz「y3,y2]「y22y2,y2]y22∫(x)【答案】【答案】2ππ1+y,2dx π 60EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up6(1),0)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up5(1),4)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up6(1),0)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up6(1),0)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up6(1),0)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up9(1),0)xsinx2dx= 2cosxcos1EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up9(1),0)xsinx2dx= 2cosxcos11410422102xF(x)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up9(1),0)x22102xF(x)|3230或演算步骤.0123114)11200123=10002=1000211131200344共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程x15.设函数y=∫(x)是微分方程y,+xy=e2满足条件y(0)=0的特解。（1）求y=∫(x)；2x一22xdx(xdxdxx2xxx2xxx一2，y(3)=3e2，y(0)=0，一EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(3),2)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up7(+),x2)22dxdx（1）求y(x)（2）D={(x,y)1<x<2,0<y<y(x)}，求平面区域xdxn-1-(k+1)n-1-(k+1)π-kπ1-πn-1kπ1-π1-e-(n-1)π2xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(2),1)2+y2)3dθEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up11(sin),0)2θrsinθdrπππEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),π)sin5θdθ=-∫EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),π)(1-cos2θ)2dcosθ=-∫EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),π)(1-2cos2θ+cos4θ)dcosθ444=-(cosθ-2cos3θ+1cos5=43219.neN*，sn是∫(x)=e-xsinx(0<x<nπ)的图像与x轴所围图形的面积求sn，并求snEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up7(π),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up8(2),π)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(k),π)+1)πe-xsinxdx=(-1)k∫EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(k),π)+1)πe-xsinxdx=(-1)k[-e-x(cosx+sinx)]EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up14(k),π)+1)πk+1[e-(k+1)π.(-1)k+1-e-kπ.(-1)k]2k=02k=021-e2k=02k=021-e11-e-(n-1)π1-e-π21-e-π2eπ-12u2uu(x,y)=v(x,y)eax+by下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式.【解析】【解析】ax+by+v(x,y)aeax+by,EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up12(2),x)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(u),2)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up7(δ2),δx)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(v),2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(v),x),EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(2),y)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(u),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up8(δ2),δy)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(v),2)ax+byEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(v),y)ax+by+v(x,y)b2eax+by2u2u2v2v2eax+byax+by+v(x,y)a2eax+by2v2vax+by2]2]+3eax+by+v(x,y)aeax+by+3eax+by+v(x,y)beax+by=0EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(2),x)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(v),2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(2),y)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(v),2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(v),x)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(δ),δ)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(v),y)3434EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(1),0)（1）存在ξ=(0,1)，使得∫,(ξ)=0（2）存在η=(0,1)，使得∫,,(η)<-2EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(x),0)对∫(x)在[c,1]上使用罗尔定理可得，存在ξ=(c,1)一(0,1)，使得∫,(ξ)=0)(1-c)在[η1,η2]上对G22η2-η1η2-η1c(η2-η1)a2a2+3)||(1)(1)(1)(1)(0)(1)=|1|,β2=|2|,β322