广东工业大学高等数学复习题及答案

a1-a1-b.广东工业大学复习题及参考答案《高等数学》1x-11x-12．若函数f(x+1)=x2+2x-5，则f(x)=.解.x2-6x-sinxx-sinxx喻伪xx喻伪x_________正确解法：limx-sinx=lim(1-sinx)=lim1-limsinx=1-0=1x喻伪xx喻伪xx喻伪x喻伪x4.已知limx喻2x2x2-x-2b=-2a-4,又由x2x喻2x-x-2x喻2ex-b5.已知EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up5(lim),x喻0)(x-a)(x-ex-bx喻0ex-b(x-a)(x-1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(li),x)(x-a)(x-1)ex-bx之0解：由f(x)是分段函数，x=0是f(x)的分段点，考虑函数在x=0处的连续性。x喻0-xx喻0+所以函数f(x)在x=0处是间断的，又f(x)在(-伪,0)和(0,+伪)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x=0。7.设y=x(x-1)(x-2).Λ.(x-n),则y(n+1)=(n8．f(x)=x2，则f(f,(x)+1)=。2或4x2+4x+1 ln(1-x2-y2ln(1-x2-y2)。(4x-y2210．已知f(x+y,x-y)=x2y+xy2,则f(x,y)=.解令x+y=u，x-y=v，则x=u+v,y=u-v，f(x+y)(x-y)=xy(x+y)f(u,v)==(u2-v2)，f(x,y)=(x2-y2)11．设f(x,y)=xy+,则fx,(0,1)=。fy,(0,1)=EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up2147483645(i),x)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up2147483645(i),x)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up2147483647(i),y)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up2147483647(i),y)12．设z=x2+siny,x=cost,y=t3,则EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(d),d)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(z),t)＝。解EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up6(dz),dt)=-2xsint+3t2cosyddf(x)dx=.14.设f(x)是连续函数，且3-1f(t)dt=x，则f(7)=.EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up9(b),0)ekxd(kx)16．设函数f(x,y)连续，且满足f(x,y)=xf(x,y)dσ+y2，其中D:x2+y2<a2,则D解y2+x.记A=f(x,y)dσ,则f(x,y)=Ax+y2，两端在D上积分有：DDDDy2dσ=πdQp3sin2Qdp=.Dπa44πa44,所以，f(x,y)=yπa44x.217．求曲线y2=4ax,x222所围成图形的面积为a>0）18.2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(n),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(一),n)1x2n2；解：令y=x2，则原幂级数成为不缺项的幂级数2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(n),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(一),n)1yn一1,记其各项系数为bn，因故<x<EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(l),n)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(n),2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(一),n)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(2),n)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(l),n)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(2n),2n)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(1),1)2故<x<.232321．微分方程y,,+6y,+13y=0的通解为y=e-3x(c1cos2x+c2si22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|2A*-7A-1|=.n23.1-1x24.f(x)=x25是26.事件A、B相互独立，且知P(A)=0.2,P(B)=0.5则P(AUB)=.∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.628.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为有一次击中目标可表示为ABC+ABC+ABC，即有P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.36=;P（A－B）=;P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.7-0.4=0.3解：P(A+B)=1-P(A+B)=1EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(ax),ax)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(1),1)f(-x)=(-x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(a),a)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(-),-)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(x),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(1),1)=-xEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(a),a)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(-),-)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(x),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(1),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(-a),+a)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(x),x)=xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(ax),ax)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(1),1)=f(x)A.x2；B.x2-2；C.(x-1)2；D.x2-1。则f(x)=x2-2，故选项B正确。3．设f(x)=x+1，则f(f(x)+1)=().解由于f(x)=x+1，得f(f(x)+1)=(f(x)+1)+1＝f(x)+2将f(x)=x+1代入，得f(f(x)+1)=(x+1)+2=x+3x喻伪x:1-a=0,a+b=0,:a=1,bxEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483647(l),x)6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是()x喻伪xx喻伪xxx喻伪xx喻伪xxlimn(-1)n=lim11π2nππ2n喻伪xnxn7．设f(x)=〈x，则f(x)在x=0处()limf(x)=limx=0，limf(x)=limxsin1=0，f(0)=0x喻0-x喻0-x喻0+x喻0+x因此f(x)在x=0处连续+x喻0+x-0x喻0+x-0x喻0+xf，(0)=limf(x)-f(0)+x喻0+x-0x喻0+x-0x喻0+x8．曲线y=x3-x在点（1，0）处的切线是().A．y=2x-2B．y=-2x+2C．y=2x+2D．y=-2x-21x21x2（A）limx喻0y喻0x喻0y喻0x喻0y喻0A.x3B.3x2C.6xD.6xx2xx2 x2y2的定义域为().x2y2B．x2y2之0C．x2y2>1D．x2y2>012.下列极限存在的是()xy喻0limxsin1x喻0y喻x喻0y喻0x喻0x喻0y喻0x11x喻0y喻0x2x2x喻0y喻0x喻0y喻0xsinx喻0x喻0x+yy喻0y喻0（02)（02)（A）f,(x)>0,f,,(x)<0（B）f,(x)>0,f,,(x)>0（C）f,(x)<0,f,,(x)<0（D）f,(x)<0,f,,(x)>014．设f(x)为奇函数，且x>0时f,(x)>0，则f(x)在[-10,-1]上的最大值为()A．f(-10)B．f(-1)C．f(10)D．f(1)因为f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，两边求导-f,(-x)=-f,(x)，从而f,(x)=f,(-x)，设x<0，则-x>0，从而f,(x)=f,(-x)>0，所以f(x)在[-10，-1]上单调增加，故最大值为f(-1)15．函数f(x,y,z)=4(x-y)-x2-y2()f|lfxy=0ly=-2f(2,-2)=f|lfxy=0ly=-2f(2,-2)=8为极大值((-20)15.设f(x)是以T为周期的连续函数,则I=+Tf(x)dx的值.（A）依赖于a,T（B）依赖于a,T和x（C）依赖于T,x，不依赖于a（D）依赖于T，不依赖于a解：根据周期函数定积分的性质有,f(x)dx=f(x)dx,故应选(D).317.曲线y=sin2x(0<x<π)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为（A）3（B）3π（C）32dx=πsin3xdx=-π(1-cos2x)dcosx=-π[cosx-cos3x]EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(π),0)=4π.故应选(B).18.设M=cos4xdx，N=∫(sin3x+cos4x)dx，π(x2sin3xcos4x)dx，则有.2（A）N<P<M（B）M<P<N（C）N<M<P（D）P<M<Nππ所以P<M<N，故选（D）.xsinx2dxB.∫xsin(2x+1)dxx2+y2<4 1 y2)3dxdyy22〈1EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up6(2),2〈1EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up6(2),0)πdθEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up6(2),0)021．设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限(x22()dxdy）()（B）等于f'(0)（D）不存在且非伪EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up0(l),t)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),0)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(t),0)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up0(l),t)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up0(l),t)伪22.设函数项级数un(x)，下列结论中正确的是().（A）若函数列{un(x)}定义在区间I上，则区间I为此级数的收敛区间（B）若S(x)为此级数的和函数，则余项rn(x)=S(x)一Sn(x)，EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(l),n)rn(x)=0（C）若x0eI使un(x0)收敛，则|x|<|x0|所有x都使un(x)收敛伪（D）若S(x)为此级数的和函数，则un(x0)必收敛于S(x0)解：选（B）.aa（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与a有关选（A）.伪naan收敛，因此原级数绝对收敛.故(xa)nnEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up7(a),n)n(xa)n的收25.y,,+2y,+5y=e一xcos2x的特解可设为()（A）y*=e一xAcos2x;（B）y*=xe一xAcos2x;（C）y*=xe一x(Acos2x+Bsin2x);（D）y*=e一x(Acos2x+Bsin2x).26.微分方程的阶数是指()（C）方程中未知函数的最高次数D）方程中函数的次数.27.下面函数()可以看作某个二阶微分方程的通解.（A）x2+y2=c;（B）（C）y=c1sin2x+c2cos2x;（D）y=ln(c1x)+ln(c2cosx).（A）A*B*B）|AB|A一1B一1C）B一1A一1（D）B*A*；29.设A、B均为n阶方阵，则必有[]。8（8)8（8)8（8)8C8(A)|A+B|=|A|+|B|(C)|AB|=|BA|(D)(A+B)-1=A-1+B-1解：正确答案为(C)（A）(AB)T=ATBT（B）(A+B)T=AT+BT（C）(AB)-1=A-1B-1（D）(A+B)-1=A-1+B-1示为()（A）ACUBC（B）ABC（C）ABCUABCUABC（D）AUBUC概率为()（AB）||（C）CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(4（AB）||（C）CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(4),8)||（D）4EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(4),8)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(1),5)1|B)+P(A2|B),则下列选项成立的是()（C）P(A1BUA2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)（D）P(B)=P(A1)P(B|A解由题可知A1、A2互斥，又0<P(B)<1，0<P(A1)<1，0<P(A2)<P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)|xsinx+bx<0问（1）a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在？（2）a,b为何值时，f(x)在x=0处连续？解1）要f(x)在x=0处有极限存在，即要limf(x)=limf(x)成立。x喻0-x喻0+x喻0-x喻0-xx喻0+x喻0+x所以，当b=1时，有limf(x)=limf(x)成立，即b=1时，函数在x=0处有极限x喻0-x喻0+limf(x)=limf(x)=f(x0)x喻x0-x喻xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up2(+),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483647(lim),x喻2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(lim),x喻2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up0(lim),x喻2)x3x3x喻2x-2x3+x3+ax2-4a-8x喻2x-2x喻2x喻2:a=-1,故b=-41lim1limex-1=0limex-1=x喻1+,,limex-1=x喻1+,,x喻1-x=1是f(x)的第二类无穷间断点;11x喻0+x喻0+,limf(x)=limln(1+x)=0,因此x=0是f(x)的第x喻0一x喻0一4．求方程中y是x的隐函数的导数（1）xyex+ey=1,y,解：方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即(xy),(ex),+(ey),=1,y+xy,ex+eyy,=0EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(e),x)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(y),y)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(d),d)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(y),x)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up8(d2),dx)y,,=sin(x+y).(1+y,)2+cos(x+y).y,,，5．设z sin(x+y)y[1cos(x+y)]3[1cos(x+y)]32zFxzy,Fz=ezy1,=,δxezy1,δzezy=δyezy111eyz,EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(δ2z),δyδx)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(δ),δx)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(1),e)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(e),e)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(y),y)一一EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(z),z)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(δ),δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(z),x))3.（0,1）内有且只有一个数x使f(x)=x.设F(x)=f(x)-x,在[0,1]上用零点定理，得F(x)至少有一个零点.由Rolle定理可得至少有ζe(c1,c2),使F,(ζ)=0即f,(ζ)-1=0牵f,(ζ)=1,与题设矛盾，故在(0,1)内有且只有一个x,使f(x)=x.7.求函数y=x2(1+x)-1的单调区间和极值.解函数y=x2(1+x)-1的定义域是(-伪,-1)Y(-1,+伪)Θy,=2x(1+x)-1+x2(-1)(1+x)-22x(1+x)-x2x(2+x)(-2,-1)Y(-1,0)0f,(x)+0 0+f(x)故函数的单调增加区间是(-伪,-2)和(0,+伪)，单调减少区间是(-2,-1)及(-1,0)，当x=-2时，极大值f(-2)=-4；当x=0时，极小值f(0)=0.8.在过点P(1,3,6)的所有平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.解:设平面方程为Ax+By+Cz=1,其中A,B,C均为正,则它与三坐标平面围成F(A,B,C,λ)=ABC+λ(A+3B+6C-1),则由|δ|δF21616EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(+伪),1)dxx3(13 1EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up12(+),1)blx1极限不存在，则积分发散.(2)dσx2+y2<a22解f(x,y)=是D上的半球面，由I=dσ的几何意义知I=V半球D=πa3D解关于x轴对称，且f(x,y)=y是关于y的奇函数，D(-1)n(1-cos)anan,而aa 1 n22sin 2n 1 n22EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483645(l),n)2an收敛，故(1-cos)收敛，从而原级数绝对收敛.4．判别级数(-1)nln解：记un=(-1)n-11,则un1Δn.伪 n n散.又显见(-1)n-1是Leibniz型级数，它收敛.即(-1)n收敛，从而原级数条件收敛.4．求幂级数在收敛区间上的和函数S(x)：EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(土),n)设级数的和函数为S(x)，即S(x)=.再令f(x)=xS(x)=，逐项微分得，f,(x)=，f,,(x)=xn-1=，f,,(x)dx=dx=-ln(1-x)，f,(x)-f,(0)=f,(x)=-ln(1-x),f,(0)=0，f,(x)dx=-ln(1-x)dx=-xln(1-x)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up8(x),0)-dxxx=-xln(1-x)+x+ln(1-x)=(1-x)ln(1-x)+x，故f(x)=x+(1-x)ln(1-x)，又显然有S(1)=1，故l(1)2xdx+ydy=0的所有解.解x2 ydy 1-y2 - -解为x2-=c及y=土1。(2)xy,-y=;y解当x>0时，原方程可化为y,-y yx yx （x),令y(y)2当x<0时，原方程可化为y,-x=-1-x，类似地可解得arcsinu=-lnx+cy(y)2yxyxxcosxdxsin2xe∫cosxdxdx+c=sinx-1+ce-sinx。.2].2]3247472586,6612034000005342]|0]2]|0]03．设矩阵A，B满足矩阵方程AX＝B，其中A=|2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(2),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(1),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(0),1)2 121]「30]「0EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(2),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(3),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(0),2)0喻100喻102]01喻|2]2]X=32||||EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(1),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(4),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(1),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(4),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(0),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(1),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(0),1)EQ\*