2023高一数学暑假精讲精练2.2基本不等式新人教A版

2．2基本不等式知识点一基本不等式1．如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．变形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．知识点二用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值应注意：一正二定三相等.(1)a，b是正数；(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．题型一、基本不等式比较大小1．已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为a，b>1，a≠b，由基本不等式得：，由不等式性质得：，又，所以.故选：D2．(多选)当a，时，下列不等关系不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】A：当时，显然不成立；B：当时，不成立；C：由重要不等式知：当且仅当时等号成立；D：当时，不成立.故选：ABD3．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】由于，则，又，所以，又，即.故选：ABD题型二、基本不等式求和的最小值1．（1）若，求的最小值，并求此时的值．（2）若实数，求的最小值，并求此时的值．（3）求函数的最小值．（4）已知，求的最小值.（5）已知，求函数的最大值．【答案】（1）4，；（2）3，；（3）；（4）；（5）1【详解】（1）由，则，当且仅当时，即，取等号，所以的最小值是，此时；（2）由，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是，此时.（3）因为，又，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；（4）因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，取得最小值.（5），.，当且仅当,时，.2．已知，求的最小值．【答案】．【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.题型三、基本不等式求积的最大值1．（1）已知，且，求的最大值；（2）已知，，且，求的最大值．（3）已知，，且满足，求的最大值【答案】（1）32；（2）；（3）3.【详解】（1）已知，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，mn的最大值为64．∴的最大值为32．（2）由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即的最大值为．（3）因为，且，即，当且仅当时，即时取得最大值．2．（1）已知，求函数的值域；（2）已知，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）因为，所以，所以，又，当且仅当，即时等号成立，所以函数的值域为；（2）∵，∴．∴，当且仅当，即时，等号成立．故当时，．3．已知正数满足，求下列式子的最大值．(1)(2)【答案】(1)8；(2)4.【详解】(1)由题可知，，，，则，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为8.(2)由题可知，，，，则，则，由于，则，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为4.题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值1．（1）当时，求函数的最小值．（2）当时，求函数的最小值.（3）已知，求最小值.【答案】（1）；（2）；（3）9【详解】（1）因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.（2）当时，，则，当且仅当，即时取“=”，所以当时，函数取最小值.（3），因为，所以，，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为92．若，求函数的最小值.【答案】4.【详解】因为，令，则，故原函数的最小值，即的最小值.又，当且仅当，即时，取得最小值4.题型五、基本不等式“1”的妙用求最值1．观察下面的解答过程：已知正实数a，b满足，求的最小值．解：∵，∴，当且仅当，结合得，时等号成立，∴的最小值为．请类比以上方法，解决下面问题：(1)已知正实数x，y满足，求的最小值；(2)已知正实数x，y满足，求的最小值．【答案】(1)9；(2)【详解】(1)由正实数x，y满足得:，当且仅当，结合得，时等号成立，∴的最小值为9．(2)正实数x，y满足,得，故，∴，当且仅当，结合得，时等号成立，∴的最小值为．2．（1）若正数满足，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值．（3）已知且，求的最小值．【答案】(1)；（2）16；（3）2．【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.(2)因，且，则，当且仅当，即时取“=”，由解得：，所以，当时，取最小值16.（3）因为且，所以，当且仅当，即时等号成立．所以所求最小值为2．3．已知，，且，求的最小值．【答案】.【详解】由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．题型六、条件等式求最值1．求解下列问题：(1)若，且，求的最小值；(2)若，且，求的最小值.【答案】(1)；(2)【详解】(1)因为，且，所以，则.当且仅当时，即时，也即时，上式取等号，故当时.(2)因为，且，所以，当且仅当吋，又，所以当且仅当时，上式取等号，故当时，.2．设x＞0，y＞0.(1)若x+2y＝4，求的最大值；(2)若x+2y＝5，求的最小值；(3)求的最小值.【答案】(1)2；(2)；(3)【详解】(1)，由基本不等式得：，即，当且仅当即时等号成立，故的最大值为2；(2)因为，所以因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为；(3)因为，所以，当且仅当时，等号成立，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.3．已知正数a，b满足(1)求ab的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)1；(2).【详解】(1)因为，，所以，当且仅当，即时等号成立．∴当时，有最大值1．(2)因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值.4．已知正实数，满足，求的最小值.【答案】0.【详解】由题意，正实数，满足，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值.题型七、基本不等式的恒成立问题1．已知，．(1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若不等式恒成立，求实数m的最小值；(3)若．且恒成立，求正实数a的最小值．【答案】(1)；(2)－4；(3)4【详解】(1)∵，∴，∴恒成立等价于恒成立．又，∴，当且仅当，即，即，时等号成立．∴，∴．故实数m的取值范围是．(2)∵，，∴恒成立等价于恒成立．又，当且仅当，即时取等号，∴，即．∴实数的最小值为－4．(3)∵，，∴，当且仅当，即时等号成立．又恒成立，∴，∴或（舍去），∴．故正实数的最小值为4．2．已知，，且.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）8；（2）4.【详解】（1）因为，所以.因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，则.即当且仅当，时，取得最小值.（2）要使恒成立，只需恒成立.因为，所以.由（1）可知，所以，即，则，故的最大值是.题型八、对勾函数求最值1．(1)已知，求的最大值，并求此时x的值；(2)已知，求的最小值(提示：利用图像助解)．【答案】(1)时，；(2)．【详解】(1)，当且仅当时，；(2)作出的图像，可知函数在时单调递增，∴时，．2．已知，则的最值为（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3【答案】C【详解】因为，故，当且仅当时取得最小值3；令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值.故时，无最大值.故选：C.3．（1）求函数在上的最小值；（2）若函数在上的最小值为6，求的取值范围；（3）若函数在上是减函数，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1），当时，即时等号成立，所以函数在上的最小值是；（2）由（1）区间包含元素3，所以；（3）函数在区间单调递减，单调递增，若函数在上是减函数，则.4．求下列函数的最值：（1）已知函数，求此函数的最大值（2）已知，求的最小值．【答案】（1）；（2）12.【详解】（1）因为，所以．则，当且仅当即时，取等号．因此当时，函数有最大值．（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为12题型九、有关基本不等式的应用题1．某地政府为增加农民收人，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.(1)求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；(2)求加工后的该农产品利润的最大值.【答案】(1)(2)最大值6万元【详解】(1)当时，.当时，.故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：(2)当时，，所以时，取得最大值5万元；当时，因为，当且仅当时，等号成立，所以当时，取得最大值6万元，因为，所以当时，取得最大值6万元.2．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形生态种植园．设生态种植园的长为，宽为．(1)若生态种植园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值．【答案】(1)为，为；(2).【详解】(1)由已知可得，而篱笆总长为，又，则，当且仅当，即时等号成立，菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小．(2)由已知得，，又，，当且仅当，即时等号成立，的最小值是．3．运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元．（不考虑其他因所素产生的费用）(1)求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式；(2)当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值．【答案】(1)(2)当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元【详解】(1)行车所用时间，汽油每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元，所以行车总费用为：；(2)因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.题型十、证明不等式1．证明：(1)；(2)．【详解】(1)，，当且仅当时取等号；(2)，∴，当且仅当a＝b时取等号﹒2．已知.证明：；【详解】，所以，得证.3．已知正数，满足，证明：【详解】，则是正实数，，当时等号成立，，当时等号成立，，当时等号成立，，所以.1．若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；对于选项B：，，∴B错误；对于选项C：，因为∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，∴，D正确；故选：D2．若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.3．若，且，试找出2，2ab中的最大者．【答案】a＋b最大【详解】∵，且，∴,，∴四个数中最大者应从中选择．而，∵，∴，∴，即最大.4．(1)当x＞0时，求＋4x的最小值；(2)当x＞1时，求2x＋的最小值.【答案】(1)；(2)10.【详解】(1)，，当且仅当，即时，等号成立，当时，的最小值为；(2)，，，当且仅当，即时，等号成立.当时，的最小值为10.5．已知，求最大值.【答案】.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，取得最大值6．（1）已知，求的最小值；（2）已知，，求的最大值.【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.（2）因为，，所以，即，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.7．当x<时，求函数y＝x＋的最大值.【答案】【详解】∵当时，，当且仅当，即时取等号.于是，故函数有最大值.8．已知，且，求的最小值.【答案】16.【详解】，且，，即的最小值为16，当且仅当，，时取等号.9．（1）已知，求的最大值．（2）已知，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）∵，∴．∴，当且仅当，即时，等号成立．故当时，．（2）∵，∴．根据基本不等式得，∴，当且仅当，即时，等号成立．故当时，．10．（1）若对成立，求a的取值范围；（2）若x>-3，求函数最小值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）若对成立，恒成立，由于，当且仅当x=1时等号成立，所以；（2）若，化简函数，当且仅当x=-2时，得到最小值为.11．已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值.【答案】的最小值为，此时.【详解】由得：，即，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，此时.12．已知，且，求ab的最大值.【答案】【详解】因，且，则，当且仅当时取“=”，即，于是得，所以当时，ab取最大值.13．已知x，y都是正实数．(1)求证：；(2)若，求的最小值．【详解】(1)∵，，∴，，∴，又，∴，∴．即得证.(2)∵，，，∴，当且仅当时，即，时取等号．故的最小值为9.14．已知函数（1）求函数的最小值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）6；（2）或【详解】（1），当且仅当，即时取等号，当时，函数的最小值为，（2）由（1）知的最小值为6，要使不等式恒成立，只需，所以，所以，解得或.15．已知.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求实数m的取值范围.【详解】（1）∵，∴，当且仅当时，即时，有最小值16.（2）∵，∴，，∴，当时，有最大值，∵恒成立，∴.16．如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.【答案】每个区域的长和宽分别是m和m时，彩带总长最小，最小值为m【详解】设每个区域的长为，宽为，由题意得，，，则彩带总长==，当且仅当，即且等号成立，所以每个区域的长和宽分别是和时，彩带总长最小，最小值为.17．某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量为万件与促销费用万元满足.已知万件该商品的进价成本为万元，商品的销售价格定为元/件.(1)将该商品的利润万元表示为促销费用万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？【详解】(1)由已知可得，其中.(2)（万元），当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当促销费用投入万元时，商家的利润最大，最大利润为万元.1．（多选）已知，则a，b满足（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】由，则,则所以，所以选项A不正确.,所以选项B不正确.由，因为，故等号不成立，则，故选项C正确.因为，故等号不成立，故选项D正确.故选：CD2．（多选）设，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】因为，所以，当且仅当且时取等号，故A一定成立由做差比较法,，可知成立故B一定成立．因为所以，当且仅当时取等号，所以不一定成立，故C不成立．因为4，当且仅当时取等号，故D一定成立.故选：ABD3．（多选）若，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】A.因为，所以，所以，则，故正确；B.，而，取不到等号，故正确；C.因为，所以，故错误；D.因为，所以，所以，故正确；故选：ABD4．（多选）设a＞0，b＞0，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】A.，当且仅当时，等号成立，故正确；B.因为，正负不定，故错误；C.，当且仅当，时，等号成立，故正确；D.，故正确；故选：ACD5．（多选）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【详解】A.由不等式可知，，故A正确；B.，由，，且，可知，，，所以，故B正确；C.，当且仅当时，即时等号成立，故C成立；D.，即，故D正确.故选：ABCD6．（多选）若a＞b＞0＞c，则(

)A． B． C． D．【答案】ABD【详解】A：，∵，，，，故A正确；B：，∵，∴，，故B正确；C：时，在单调递减，∵，故C错误；D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确.故选：ABD.7．若正数，满足，求的最小值.【答案】5【详解】由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5．8．（1）求函数的最小值；（2）解关于的不等式：.【详解】(1)由题意知，，则，当且仅当即时等号成立，故函数的最小值为.(2)由题意知，原不等式可变形为：，不等式对应的方程为：，解得，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为:.9．（1）已知，求函数的值域；（2）已知，，且，求：的最小值．【详解】（1）设，因为，可得，且，故，因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立．所以函数的值域为．（2）由，可得，即，则．当且仅当，即且时，等号成立，所以的最小值为．10．若，求的最小值；【详解】设，则，所以，当，即时取等号，所以的最小值为12.11．已知，，且.(1)求的最大值.(2)若，求的最小值.【答案】(1)；(2)9【详解】(1)由正数x，y满足，平方作差可得，∴，当且仅当时取等号，∴由，，且可得，当且仅当时，即时，取等号，所以的最大值为.(2)因为，，且，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9.12．已知正数满足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)；(2)【详解】(1)，当且仅当时等号成立，即，，故当且仅当时，取最大值，为；(2)由于，所以，当且仅当，即时成立，的最小值为9；故答案为：，9.13．已知，求函数的最小值．【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．14．（1）已知，，，求的最小值，及此时x、y的值；（2）已知，，，求的最小值，及此时x、y的值．【详解】（1）因为，即．所以，当且仅当，，即，时取等号．所以的最小值为18，此时，（2）因为，所以，当且仅当，，即，时取等号．所以的最小值为64，此时，15．（1）比较与的大小.（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.【详解】（1）作差得：（i）当时，，故；（ii）当时，，故；（iii）当时，，故.2故，当且仅当，即时，等号成立依题意必有，即，得，所以k的取值范围为．16．求下列函数的最值(1)已知，求的最小值；(2)已知0＜x＜1，求的最大值；(3)已知，且，求的最小值.【详解】(1)∵，∴，∴，当且仅当即时取等号，∴的最小值为9.(2)因为0＜x＜1，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为.(3)因为，且，所以，∴，当且仅当且，即b＝，a＝时取等