《湖北省中职高考数学总复习与同步练》技能高考命题组 教案 第9课 函数（二）函数的性质

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课题函数（二）函数的性质课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握函数主要性质（2）熟悉判断函数单调性的常用方法（3）熟悉基本函数的单调性和奇偶性素质目标：培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：判断函数的单调性、奇偶性教学难点：利用函数性质解决有关问题教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：→→→考点讲解（10min）→第2节课：→课堂实训（35min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务复习函数的重要性质及其相应的判别方法。【学生】完成课前任务通过课前任务，使学生了解所学课程的重要性，增加学生的学习兴趣考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（5min）【教师】提出以下问题：什么是函数图像的对称中心?【学生】思考、举手回答【教师】通过学生的回答引入要讲的知识通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣考点讲解（10min）【教师】通过多媒体展示函数的奇偶性，并介绍相关的概念及分类一、函数的单调性1．函数单调性的定义设函数y=f(x)在区间(a，b)内有意义，则函数单调性的定义如表所示✈【教师】易错点提示如果函数f(x)在区间(a，b)内是增函数(或减函数)，那么称函数f(x)在区间(a，b)内具有单调性，区间(a，b)叫作函数f(x)的单调区间。✈【学生】聆听、记录2．判断函数单调性的常用方法(1)定义法：其步骤如下．①取值：取指定区间内的任意两个值x₁，x₂，使x₁<x₂。②作差变形：计算f(x₁)−f(x₂)，然后通过因式分解、通分、配方、分母有理化等方法进行化简变形。③定号：判断差值的正负。④得出结论。(2)图象法：画出函数图象，通过观察图象判断函数的单调性。二、对称性一般地，设点P(a，b)为平面内的任意一点，则可以得出如图所示的结论三、函数的奇偶性设函数f(x)的定义域为数集D，则函数奇偶性的定义、图象特征和性质如所示✈【教师】解题技巧（1）如果函数图象上的任意一点P关于y轴的对称点P′仍然在函数图象上，那么称函数图象关于y轴对称，并把y轴叫作这个函数图象的对称轴．（2）如果函数图象上的任意一点P关于原点的对称点P′仍然在函数图象上，那么称函数图象关于原点中心对称，并把原点叫作这个函数图象的对称中心。✈【学生】聆听、记录四、基本函数的单调性和奇偶性常见基本函数的图象、单调性和奇偶性如表所示。【学生】聆听、记录、理解通过教师的讲解和媒体展示，带领学生复习函数的单调性、对称性和奇偶性，加深学生的印象，巩固所学知识典型例题（28min）【教师】讲解典型例题，串联所学知识点例1下列函数在区间(−∞，0)内是减函数的是()。A．y=3x+5B．y=x²+2x+7C．y=D．y=−x²✈【教师】进行解析：本题考查基本函数的单调性。A选项中，一次函数y=3x+5中k=3>0，函数在R上是增函数；B选项中，一元二次函数y=x²+2x+7的图象开口向上，函数在(−∞，−1]内是减函数，在[−1，+∞)内是增函数；C选项中，反比例函数y=中k=2>0，函数在(−∞，0)内是减函数；D选项中，一元二次函数y=−x²的图象开口向下且关于y轴对称，函数在(−∞，0]内是增函数．因此，正确选项为C。✈【学生】聆听、记录例2已知一次函数y=kx+b的图象关于原点对称，则一元二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y=x对称D．关于原点对称✈【教师】进行解析：根据常见基本函数的图象特征、单调性和奇偶性等性质进行判断。由已知可得b=0，则一元二次函数为y=ax²+c(a≠0)，此函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，正确选项为B。✈【学生】聆听、记录例3利用函数单调性的定义证明：函数f(x)=x²+1在(0，+∞)内是增函数✈【教师】进行解析：掌握定义法判断函数单调性的步骤：取值→作差变形→定号→得出结论系。（任取0<x₁<x₂，有f(x₁)−f(x₂)=+1−(+1)=−。因为0<x₁<x₂，所以<，即−<0，得出f(x₁)<f(x₂)，故此函数在(0，+∞)内是增函数。✈【教师】介绍解题技巧：证明过程中对差值进行变形时，常用的技巧有：①当原函数是多项式形式时，通常采用因式分解法；②当原函数是分式形式时，通常对其通分后再进行因式分解；③当原函数是一元二次函数形式时，可采用因式分解或配方法；④当原函数是根式形式时，通常采用分母有理化的方法。✈【学生】聆听、记录例4判断下列函数的奇偶性．（1）f(x)=+3x；（2）f(x)=−x²；（3）f(x)=；（4）f(x)=x+1✈【教师】进行解析：本题主要运用定义判断函数的奇偶性，还可以根据函数奇偶性的性质来判断。第（3）题中函数的定义域为[2，+∞)，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．第（1），（2），（4）题中函数的定义域都是R，关于原点对称，可以进一步讨论奇偶性。（1）f(−x)=(−x)³+3(−x)=−(x³+3x)=−f(x)，故此函数为奇函数。（2）f(−x)=−(−x)²=−x²=f(x)，故此函数为偶函数。（4）f(−x)=(−x)+1=−x+1，而f(x)=x+1。因为f(−x)≠f(x)，f(−x)≠−f(x)，所以此函数为非奇非偶函数。✈【学生】聆听、记录例5若函数f(x)=a-是奇函数，则a=___________✈【教师】进行解析：利用该奇函数图象经过原点的性质即可求解。因为f(x)是奇函数且当x=0时有意义，所以f(0)=a−=0，解得a=。将a=代入函数解析式中，可得f(x)=−=，且f(−x)===−f(x)，符合题意，所以a=。✈【学生】聆听、记录例6偶函数f(x)在区间[2，6]内是增函数且最小值为5，则f(x)在[−6，−2]内是()A．增函数且有最小值5B．增函数且有最大值−5C．减函数且有最小值−5D．减函数且有最小值5✈【教师】进行解析：若函数f(x)是偶函数，且在[a，b]内是增函数（减函数），则函数f(x)在[−b，−a]内是减函数（增函数），可简记为：偶函数单调性相反，最值相同。因为f(x)为偶函数，所以根据偶函数的单调性及图象特点可得f(x)在[−6，−2]内是减函数且有最小值5，故选D✈【学生】聆听、记录例7函数y=ax²+bx+c和y=ax+2在同一坐标系中的图象可能为()✈【教师】进行解析：在一次函数y=kx+b中，k决定着函数的单调性，b决定着直线与y轴的交点，交点为(0，b)．在一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a决定着图象的开口方向。选项A中由一次函数图象可知a<0，此时一元二次函数的图象开口方向应向下，故选项A错误，同理选项C也是错误的；选项D中，直线在y轴上的截距是负数，显然错误．因此，正确选项为B。✈【学生】聆听、记录【学生】聆听、记录、理解通过对典型例题的讲解，促进知识的前后联系，及时解决学生的疑难问题，提高学生的解题技巧和能力，使学生在原有的基础上得到更大的提高第二节课问题导入（5min）【教师】提出问题请简单阐述一下函数的性质。【学生】思考、发言用问题导入，让学生主动探究所学知识的内容，激发学生的求知欲课堂实训（35min）【教师】组织学生以小组为单位进行巩固练习一、单项选择题1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)内为增函数的是()A．y=−x²+2B．y=xC．y=D．y=|x|2．若y=f(x)在[−5，5]内是奇函数，且f(3)<f(1)，则()A．B．C．D．3．如果偶函数y=f(x)在区间(1，2)内是减函数且最大值为7，那么y=f(x)在区间(−2，−1)内是()A．增函数且最大值为7B．增函数且最小值为−7C．减函数且最大值为7D．减函数且最小值为−74．已知函数f(x)=x²−2mx+3在[1，+∞)内是增函数，在(−∞，1]内是减函数，则m的值为()A．−1B．1C．−D．5．若f(x)为奇函数，g(x)也为奇函数，则f(x)g(x)是()函数A．奇B．偶C．非奇非偶D．既奇又偶

6．已知偶函数f(x)在(0，+∞)内是增函数，则对任意实数a都有()A．f(a²+3)<f(−3)B．f(a²+3)>f(−3)C．f(a²+3)f(−3)D．f(a²+3)>f(−3)7．已知奇函数f(x)在[1，2]内是增函数，那么f(x)在[−2，−1]内是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数8．函数f(x)=是()函数A．奇B．偶C．非奇非偶D．既奇又偶9．函数f(x)是奇函数，且图象过点(−2，5)，则2f(−2)+4f(2)=()D10．设f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x²−x，则f(1)=()A．−3B．−1C．1D．3二、填空题1．函数f(x)=|6+x|−|x−6|是_______函数．（填“奇”或“偶”）。2．若点P(a+7，1)与点Q(−5，b)关于y轴对称，则=_______。3．若函数f(x)=(x−1)(x+a)是偶函数，则a=_______。 4．已知函数f(x)在R上是减函数，且f(a−6)>f(−a²)，则a的取值范围为______。 5．已知f(x)=m−是奇函数，则实数m的值为_______。三、解答题1．判断下列函数的奇偶性。(1)f(x)=；(2)f(x)=+x；(3)f(x)=；(4)f(x)