人教版九年级数学上册02 教学设计-正方形的性质与判定（old）

《正方形的性质与判定》教学设计1.了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．2.经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.3.知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.4.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.1.探索正方形的性质定理．2.掌握正方形的性质的应用方法．3.掌握正方形的判定条件.4.合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.多媒体课件一、复习导入平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?菱形的性质有哪些呢？让学生分别从边、角、对角线等方面回忆它们的性质.二、探究新知1.正方形的定义活动1：满足什么条件的菱形是正方形？90°有一个角是直角90°┓┓定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形.问题:从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？当=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.活动2：满足什么条件的矩形是正方形？邻边相等定义2.邻边相等的矩形叫做正方形.活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？邻边相等且有一个角是直角定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流.2.正方形的性质：活动4.正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.1.对称性：正方形是中心对称图形,对称中心为点O，它也是轴对称图形,有4条对称轴.性质：它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等.具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.活动5：证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∵四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD,∵四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D.证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.证明：∵ABCD是正方形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,∵BC=BC.∴ΔABC≌ΔDCB,∴AC=BD.∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,∴ΔAOB≌ΔAOD,∴∠AOB=∠AOD,又∠AOB+∠AOD=90°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,即对角线互相垂直且相等.例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.解析：∵四边形ABCD是正方形∴BC=AB=2,∠ABC=90°，在Rt△ABC中，.例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.解：∵ABCD是正方形∴AO=AC=5,∠BAC=45°,AC⊥BD又∵PE⊥AC,PF⊥BD∴四边形PEOF为矩形∴PF=OE∴在△APE中,∠PAE=45°∴AE=PE∴PE+PF=AE+OE=AO=5.例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)如图，延长BE交DE于点M，∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.3.正方形的判定1：矩形法活动1：满足什么条件的矩形是正方形？操作1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？有一组邻边相等或对角线垂直你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？有一组邻边相等的矩形是正方形.几何语言：∵在矩形ABCD中，AB=AD∴矩形四边形ABCD是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形.几何语言：∵在矩形ABCD中，AC⊥BD∴矩形四边形ABCD是正方形4.正方形的判定2：菱形法活动2：满足什么条件的菱形是正方形？操作2.你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？有一个角是直角或对角线相等你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？有一个角是直角的菱形是正方形.几何语言：∵在菱形ABCD中，∠BAC=90°∴菱形四边形ABCD是正方形对角线相等的菱形是正方形.几何语言：∵在菱形ABCD中，AC=BD∴菱形四边形ABCD是正方形5.正方形的判定3：定义法活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？有一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等对角线相等对角线垂直对角线垂直对角线相等你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.几何语言：∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD∴平行四边形ABCD是正方形对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD∴平行四边形ABCD是正方形正方形的判定4：四边形法（1）四条边相等，四个角都是直角（2）对角线互相垂直、平分且相等既是菱形又是矩形的四边形是正方形.总结：正方形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.对角线互相垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.4.对角线相等的菱形是正方形.5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.7.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.例4.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDB．AD∥BC∠A＝∠CC．AO＝COBO＝DOAB＝BCD．AC＝BD解析：由正方形的判定，对角线互相平分且相等，互相垂直的四边形是正方形，故选A.例5.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________.分析：由AB=BC=CD=DA，得到四边形ABCD是菱形，要使菱形ABCD是正方形，根据正方形的判定，则只需AC=BD.例6.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求证：四边形BECF是正方形.分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的矩形是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四边形BECF是正方形．三、巩固练习：1.判断题：（1）四个角都相等的四边形是正方形.（×）(2)四条边都相等的四边形是正方形.（×）（3）对角线相等的菱形是正方形.(√)(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.（√）（5）对角线垂直相等的四边形是正方形.(×)(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.(√)2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE∴∠CEB=15°同理∠AED=15°∴∠AEB=60-15-15=30°3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF=8cm，则AC=________.提示：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.4.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF解：连接PC∵PE⊥BC，PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴AP=PC∴AP=EF5.正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC,AE交DC于点F,试求∠E,∠AFC的度数解：∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角∵CE=AC∴∠E=∠CAE∵∠ABC是△ACE的一个外角∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E∵∠AFC是△CEF的一个外角∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°∴∠E=22.5°,∠AFC=112.5°6.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（D）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD分析：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．7.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（B）①②B.②③C.①③D.②④8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，DF=AC=CE，，DE=BC=CF，∴DF=CE=DE=CF，∴四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．9.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．首先证得四边形EBFM为矩形，再进一步利用角平分线的性质得出ME=MF，证得结论成立即可．解：四边形EBFM是正方形．理由如下：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∵MF⊥BC，ME⊥AB，∴∠BFM=∠MEB=90°，∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，∴四边形EBFM为矩形，∵BM平分∠ABC，∴ME=MF，∴四边形EBFM为正方形四、拓展提高已知D、E、F、G分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形DEFG四平行四边形.证明：如图，连接BD∵D、G分别是AB、AD的中点∴DG是△ABD的中位线∴DG//BD,,∵E、F分别是BC、CD的中点∴EF是△BCD的中位线∴EF//BD,∴DG=EF,DG//EF∴四边形DEFG是平行四边形.若四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？归纳：特殊四边形的中点四边形：◆平行四边形的中点四边形是平行四边形◆矩形的中点四边形是菱形◆菱形的中点四边形是矩形◆正方形的中点四边形是正方形◆等腰梯形的中点四边形是菱形◆直角梯形的中点四