2018-2019学年江苏省南京市溧水区九年级（上）期中数学试卷

2018-2019学年江苏省南京市溧水区九年级（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题1、从单词“lishui”中随机抽取一个字母，抽中字母i的概率为（）A. B.C. D. 2、已知⊙O的半径为1cm，若点P到圆心O的距离为0.5cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O内 D.无法确定 3、有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（）A.中位数 B.众数 C.平均数 D.加权平均数 4、若点A（-1，a），B（2，b），C（3，c）在抛物线y=x2上，则下列结论正确的是（）A.a＜c＜b B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.a＜b＜c 5、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A.2

cm B.2.5

cm C.3

cm D.4

cm 6、如图，过点（0，1）且平行于x轴的直线与二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式ax2+bx+c-1＞0的解集为（）A.x＞1 B.1＜x＜3 C.x＜1或x＞3 D.x＞3 二、填空题1、一组数据1，6，3，-4，5的极差是______．2、抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是______．3、已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，它的侧面积为______cm2．4、已知抛物线y=ax2-3x+c（a≠0）经过点（-2，4），则4a+c-1=______．5、一组数据1、2、3、4、5的方差为S12，另一组数据6、7、8、9、10的方差为S22，那么S12______S22（填“＞”、“=”或“＜”）．6、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=BC，∠D=72°，则∠BAC=______°．7、如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为______（度）．8、如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB=______．9、已知抛物线y=-+2，当1≤x≤5时，y的最大值是______．10、如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．三、解答题1、如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，=．请判断△ABC的形状，并说明理由．______2、如图，点C在⊙O上，弦AB⊥OC，垂足为D，AB=8，CD=2．求⊙O的半径．______3、已知抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3．（1）通过配方将其化为y=a（x+h）2+k的形式，并写出抛物线的顶点坐标；（2）求此抛物线与x轴的交点坐标．______4、九（2）班组织了一次朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩（10分制）如下表（单位：分）：甲789710109101010乙10879810109109（1）甲队成绩的中位数是______分，乙队成绩的众数是______分；（2）计算乙队成绩的平均数和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是______队．______四、计算题1、有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看．（1）求甲选择A部电影的概率；（2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）．______2、如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B=∠BEC．______3、小明同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时，由于粗心，他算错了一个y值，列出了下面表格：x…-10123…y=ax2+bx+c…53236…（1）请指出这个错误的y值，并说明理由；（2）若点M（m，y1），N（m+4，y2）在二次函数y=ax2+bx+c图象上，且m＞-1，试比较y1与y2的大小．______4、在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（0，-3）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；（2）若直线l经过点D（-2，-2），E（0，-3），判断直线l与⊙P的位置关系．______5、如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．______6、某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=______，请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由．（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等．（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．______7、【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形每组对边的平方和是一个定值．【从特殊入手】我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．【问题解决】已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．求证：______．证明：______

2018-2019学年江苏省南京市溧水区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题第1题参考答案:A解：从单词“lishui”中随机抽取一个字母，抽中字母i的概率为=，故选：A．用字母i的个数除以字母的总个数即可得．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:C解：∵⊙O的半径为1cm，点P到圆心O的距离为0.5cm，∴点P在⊙O内．故选：C．根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:A解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：A．9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:D解：由抛物线y=x2可知对称轴为y轴，∵抛物线开口向上，|-1|＜|2|＜|3|，∴a＜b＜c．故选：D．根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:B解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4-x）2+22=x2解得：x=2.5故选：B．取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:C【分析】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当y＞1时，利用图象得出不等式解集是解题关键．根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标即可得到不等式ax2+bx+c-1＞0的解集．​【解答】解：根据图象得二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与直线y=1交点坐标为（1，1），（3，1），而ax2+bx+c-1＞0，即y＞1，故x＜1或x＞3．故选C．二、填空题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:10解：由题意可知，极差为6-（-4）=10．故答案为：10．根据极差的定义即可求得．本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:（-3，1）解；∵y=2（x+3）2+1，∴抛物线顶点坐标为（-3，1

），故答案为：（-3，1）．由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:48π解：圆锥母线长=8cm，底面半径r=6cm，则圆锥的侧面积为S=πrl=π×6×8=48πcm2．故答案为：48π．根据圆锥的侧面积等于展开以后扇形的面积以及扇形的面积公式计算即可．此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:-3解：把点（-2，4）代入y=ax2-3x+c，得4a+6+c=4，∴4a+c=-2，∴4a+c-1=-3，故答案为-3．将点（-2，4）代入y=ax2-3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c-1的值．此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，点在函数上，将点代入解析式即可．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:=解：第1组数据的平均数为×（1+2+3+4+5）=3，则其方差S12=×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2；第2组数据的平均数为×（6+7+8+9+10）=8，则其方差S22=×[（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2]=2；∴S12=S22，故答案为：=．根据方差的定义分别计算出两组数据的方差即可得．本题考查了方差的意义，解题的关键是观察数据，找到波动较小的就方差小，也可以分别求得方差后再比较，难度不大．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:36解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B=180°-∠D=108°，∵AB=BC，∴∠BAC=×（180°-108°）=36°，故答案为：36．根据圆内接四边形的对角互补求出∠B，根据等腰三角形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第7题参考答案:55解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°-∠PAO-∠P-∠PBO=360°-90°-70°-90°=110°，∴∠C=∠AOB=55°．故答案为：55．首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．---------------------------------------------------------------------第8题参考答案:2解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．---------------------------------------------------------------------第9题参考答案:解：∵a=-＜0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，∵1≤x≤5，∴x=1时，y的最大值=-×12+2=．故答案为：．根据二次函数的性质，当x＞0时，y随x的增大而减小，然后把x的值代入进行计算即可得解．本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第10题参考答案:3或4解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8-x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB==4．综上所述，BP的长为3或4．分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:解：△ABC是等边三角形，理由：∵=，∴AC=BC，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60，∴△ABC是等边三角形．由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:解：连接OB．∵在⊙O中，弦AB⊥OC，垂足为D，∴AD=BD=AB=4．设⊙O的半径为r．在Rt△BOD中，BD2+OD2=OB2，即42+（r-2）2=r2．解方程，得r=5．所以⊙O的半径为5．连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能得出关于R的方程是解此题的关键．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:解：（1）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，-4）；（2）令y=0，则x2-2x-3=0，得x1=3，x2=-1，∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）或（-1，0）．（1）根据配方法可以将题目中的函数解析式化为y=a（x+h）2+k的形式，并写出抛物线的顶点坐标；（2）根据题目中的函数解析式，令y=0求出x的值，即可求得此抛物线与x轴的交点坐标．本题考查抛物线与x轴的交点坐标、二次函数的性质、二次函数的三种形式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:9.5

10

乙

解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则中位数是9.5分；乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是：（10×4+8×2+7+9×3）=9，则方差是：[4×（10-9）2+2×（8-9）2+（7-9）2+3×（9-9）2]=1；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；故答案为：乙．（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．四、计算题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:解：（1）甲选择A部电影的概率=；（2）画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数为2，所以甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率==．（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:证明：∵B是弧CD的中点，∴=，∴∠BCE=∠BAC，∵∠BEC=180°-∠B-∠BCE，∠ACB=180°-∠BAC-∠B，∴∠BEC=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠BEC．由B是弧CD的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE=∠BAC，即可得∠BEC=∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:解：（1）由函数图象关于对称轴对称，得（0，3），（1，2），（2，3）在函数图象上，把（0，3），（1，2），（2，3）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=x2-2x+3，x=-1时y=6，故y错误的数值为5．（2）当1＞m＞-1，那么5＞m+4＞3，又二次函数y=ax2+bx+c图象以x=1为对称轴，抛物线开口向上；所以y1＜y2．当m≥1时，函数在x=1的右侧单调递增，故y1＜y2．综上y1＜y2．（1）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．（2）分类讨论，利用函数的增减性和对称性直接比较y1与y2大小．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:解：（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（-1，0），点D在⊙P上；（2）方法一：连接PD，设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，∵P（-1，0）、D（-2，-2），∴，解得，∴此直线的解析式为y=2x+2；设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，∵D（-2，-2），E（0，-3），∴，解得，∴此直线的解析式为y=-x-3，∵2×（-）=-1，∴PD⊥DE，∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．方法二：连接PE，PD，∵直线l过点D（-2，-2），E（0，-3），∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5，．．∴PE2=PD2+DE2．∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°．∴PD⊥DE．∵点D在⊙P上，∴直线l与⊙P相切．（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；（2）连接PE，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可．本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°-∠BEC-∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC-∠OBC=120°-30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=，∴AC=2AB=2，AO=，∴阴影部分的面积=半圆的面积-Rt△ABC的面积=π×AO2-AB×BC=π×3-××3=-．（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条