左手材料的折射率与折射率正负号的取法

左手材料的折射率与折射率正负号的取法

左材料是近年来科学研究的热点之一。在经典的电动力学理论中，介电材料的电磁作用由介电常数和磁导率两个宏观参数描述。自然界中的物质和是正数。场变量、矩阵向量和波向量构成右手关系。1968年，veselago假设它是一个带负介电常数和负磁导率的介质。由于波速的相位速度方向与能流方向相反，声波传播的相速度方向和速度方向形成了左撇子的螺旋关系。这种材料被称为左撇子材料。同时，请注意，左撇子材料的折射不同于右手材料，如负折射、负切科夫效应和反相互作用。由于韦伯斯特等人在2000年成功制作了左撇子材料，近年来，左撇子材料在固体、原材料、光学和应用磁学领域越来越受欢迎。近年来，这项研究呈现出快速发展的趋势。折射率是描写介质光学性质的一个重要参量.在光的电磁理论中,无源介质内频率为ω的电磁波满足的方程为Δ2E+ω2c2n2E=0(1)Δ2E+ω2c2n2E=0(1)其中折射率n定义为n=√εμ(2)n=εμ−−√(2)这里ε和μ分别是介质的介电常量和磁导率.对于一般的光学材料,如玻璃,在光学频段,介电常量是一个大于1的实数,而磁导率基本上就是1.所以,折射率是一个大于1的实数.由于方程(1)对于n↔-n不变,所以在式(2)中的根号前面似乎也可以取负号.如果单从电磁波的方程来看,取正号和取负号都是容许的,但实际上,折射率的符号并不任意,而是要受到物理要求的限制.对于左手材料,电磁波满足的方程仍然是方程(1),但折射率必须取为负的.在一些介绍性的文献特别是会议报告中,我们经常看到这样的“论证”:折射率可以写成n=√ε√μn=ε√μ√,如果ε<0,μ<0,则n<0.我们不知道这个论证最早出现在何处,但也许Smith和Kroll是较早地给出了这个解释方式的.在Smith和Kroll的文章中,他们首先严格讨论了折射率的解析性质,论证了折射率正负号的取法,然后给出了这个简单的规则.因此,这是规则或结论,而不是论证.从数学上来讲,如果仅仅从n2=εμ出发,是无法确定n的符号的.本文将利用初等的方法论证折射率的符号的取法.1不考虑空间非局域性的能量耗散的原因对于一个理想的、无耗散、无色散的线性介质,电位移矢量与电场强度,磁感应强度与磁场强度之间具有简单的线性正比关系D=εε0E和B=μμ0H,其中ε和μ是与频率无关的实数.在朗道和栗弗席兹的《连续介质电动力学》中,证明了介质的介电常量和磁导率必须满足如下关系:d(ωε)dω＞0‚d(ωμ)dω＞0(3)这意味着如果ε和μ与频率无关,则它们必须是正的.实际的材料总是具有色散和耗散的,尽管在有些情况下色散和耗散可能很小.为此,物理的论证不应该完全忽略色散和耗散,而是需要考虑色散和耗散很小的极限.对于线性介质,D和E之间的关系可以一般地写为D(r,t)=ε0E(r,t)+∫dr′∫∞0f′(r′,τ)·E(r-r′,t-τ)dτ(4)这表明某时刻t空间一点的电位移矢量和其他点在其他时刻的电场强度有关.下面我们将不考虑空间非局域性,即D(r,t)=ε0[E(r,t)+∫∞0f(τ)E(r,t-τ)dτ](5)上式已经明显地表示了因果关系,也就是说,t时刻的电位移矢量只与t时刻之前的电场强度有关.物理上的场必须是实的,所以,在下面的讨论中我们都理解为取场的实部.对于线性计算,如积分、求导、相加等,运算不会导致实部和虚部的混合,但如果计算场的乘积时,则要注意用实部计算.对于单色电磁波,设频率为ω,则所有场量的时间依赖性由指数因子e-iωt表示,电场强度为E(r,t)=E(r,ω)e-iωt(6)一般来说,电场强度E(r,ω)是复的.对于频率为ω的电磁波,方程(5)成为D(r,ω)=ε(ω)ε0E(r,ω)(7)其中ε(ω)=1+∫∞0f(τ)eiωτdτ(8)对于B和H,也可以做类似的分析.与方程(7)对应,可以得到B(r,ω)=μ(ω)μ0H(r,ω)(9)ε(ω)和μ(ω)一般是复数.现在考虑能量的耗散.电磁场的能流密度由坡印亭矢量S=E×H表示,对于一个小的体积元ΔV,单位时间流入的能量为-∮S·dA=-∫ΔVΔ·SdV=-∫ΔVΔ·(E×H)dV=-∫ΔV[H·(Δ×E)+E·(Δ×H)]dV=∫ΔVΗ⋅∂B∂t+E⋅∂D∂tdV(10)由方程(8)及磁场的类似关系,可以推导出:∂D∂t=-iωD=-iωεε0E,∂B∂t=-iωB=-iωμμ0Η(11)方程(10)的实数形式为把方程(11)代入式(12),并在一个周期内取平均,得-Δ⋅S=14iω(μ*-μ)μ0Η⋅Η*+14iω(ε*-ε)ε0E⋅E*(13)把介电常量和磁导率用实部和虚部表示为ε=ε′+iε″和μ=μ′+iμ″,则上式成为-Δ⋅S=12ωμ″μ0|Η|2+12ωε″ε0|E|2(14)流入任何一个体积元的能量必须为正,这些能量转化为热量,耗散在介质中间.如果流入到体积元内的能量为负,表示有能量流出,也就是说体积元内产生能量,这在物理上是不可能的.于是,物理上的要求导致μ″>0,ε″>0(15)2负:民性学中d现在回到波动方程(1),以平面波E∝exp(ik·r-iωt)代入,可以得到-k2+ω2c2εμ=0(16)即k=ωc√εμ(17)采用光学中的习惯记法k=ωc(n+iκ)(18)其中n为折射率,κ为吸收系数.由此可得n+iκ=√εμ(19)两边平方,得到n2+2inκ-κ2=ε′μ′+i(ε′μ″+ε″μ′)-ε″μ″(20)由于实际体系中总是存在耗散,所以ε″和μ″不可能为0.在耗散很小时,ε″<<ε′,μ″<<μ′,得出n2-κ2=ε′μ′2nκ=ε′μ″+ε″μ′(21)κ必须是正的,这代表电磁波在介质中的衰减.如果κ<0,则表示介质可以放大电磁波,这在物理上是不容许的.这样,在ε″→0和μ″→0的极限下,方程(21)的解可以分为4类:1)如果ε′>0,μ′>0,则n>0,κ→0,于是n=√ε′μ′.2)如果ε′>0,μ′<0,则n→0,κ=√-ε′μ′.3)如果ε′<0,μ′>0,则n→0,κ=√-ε′μ′.4)如果ε′<0,μ′<0,则n<0,κ→0,于是n=-√ε′μ′.如果定义复的折射率为˜n=n+iκ(22)则取˜n=√ε√μ,就可以自动得到上面讨论的4种情况.作为本节的结束,我们对于负折射率材料的存在性做一个简单讨论.由式(3)可知,如果介质完全没有色散,ε和μ与频率无关,则必有ε>0,μ>0.因此,左手材料一定是色散材料!由ε+ωdεdω＞0和μ+ωdμdω＞0可得,左手材料存在的条件是dεdω＞-1ωε,dμdω＞-1ωμ.在高频情形下,只要