人教版高中物理新教材同步讲义必修第二册 第5章 专题强化　与斜面、曲面相结合的平抛运动（含解析）

与斜面、曲面相结合的平抛运动[学习目标]1.进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点.2.熟练运用平抛运动规律解决相关问题．一、与斜面有关的平抛运动运动情形题干信息分析方法从空中水平抛出垂直落到斜面上速度方向分解速度，构建速度三角形vx＝v0vy＝gtθ与v0、t的关系：tanθ＝eq\f(vx,vy)＝eq\f(v0,gt)从斜面水平抛出又落到斜面上位移方向分解位移，构建位移三角形x＝v0ty＝eq\f(1,2)gt2θ与v0、t的关系：tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)例1如图所示，小球以v0＝15m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．求这一过程中：(不计空气阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)小球在空中的飞行时间t；(2)抛出点距撞击点的高度h.答案(1)2s(2)20m解析(1)将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示：由图可知θ＝37°，β＝53°则tanβ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)代入数据解得：t＝2s(2)根据平抛运动的规律有：h＝eq\f(1,2)gt2，可求得抛出点距撞击点的高度h＝eq\f(1,2)×10×22m＝20m.例2跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台．一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示．已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：(1)运动员在空中的飞行时间t1；(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s；(3)运动员落到斜面上时的速度大小v；(4)运动员何时离斜面最远？答案(1)3s(2)75m(3)10eq\r(13)m/s(4)1.5s解析(1)运动员从A点到B点做平抛运动，水平方向的位移：x＝v0t1，竖直方向的位移：y＝eq\f(1,2)gt12，又有tan37°＝eq\f(y,x)，代入数据解得：t1＝3s，x＝60m，y＝45m.(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s＝eq\r(x2＋y2)＝75m.(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量vy＝gt1＝10×3m/s＝30m/s，运动员落到斜面上时的速度大小v＝eq\r(v02＋vy2)＝10eq\r(13)m/s.(4)如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，tan37°＝eq\f(vy′,vx)，即tan37°＝eq\f(gt2,v0)，解得t2＝eq\f(v0·tan37°,g)＝1.5s.例3如图所示，若质点以初速度v0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为(重力加速度为g，tan37°＝eq\f(3,4))()A.eq\f(3v0,4g)B.eq\f(3v0,8g)C.eq\f(8v0,3g)D.eq\f(4v0,3g)答案C解析要使质点到达斜面时位移最小，则质点的位移应垂直斜面，如图所示，有x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，且tanθ＝eq\f(x,y)＝eq\f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq\f(2v0,gt)，所以t＝eq\f(2v0,gtanθ)＝eq\f(8v0,3g)，选项C正确．1．在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解．2．与斜面有关的平抛运动拓展运动情形题干信息分析方法斜面外开始，要求以最短位移打到斜面位移方向分解位移x＝v0ty＝eq\f(1,2)gt2tanα＝eq\f(x,y)＝eq\f(2v0,gt)斜面外开始，沿斜面方向落入斜面速度方向分解速度vx＝v0vy＝gttanα＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)二、平抛运动与曲面相结合例4(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径．一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，两物体都落到容器的同一点P.已知∠BAP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列说法正确的是()A．物体B比A先到达P点B．A、B物体一定同时到达P点C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3答案BC解析两物体同时抛出，都落到P点，由平抛运动的规律可知，两物体下落了相同的竖直高度，由H＝eq\f(gt2,2)得t＝eq\r(\f(2H,g))，即两物体同时到达P点，A错误，B正确；两物体运动时间相同，抛出的水平距离之比等于抛出时两物体初速度的大小之比，设圆的半径为R，如图所示，由数学知识得，xAM＝2Rcos237°，xBM＝2Rsin237°，联立得xAM∶xBM＝16∶9，所以vA∶vB＝16∶9，C正确，D错误．例5如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为()A.eq\r(\f(3gR,2)) B.eq\r(\f(3\r(3)gR,2))C.eq\r(\f(\r(3)gR,2)) D.eq\r(\f(\r(3)gR,3))答案B解析小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan30°，又vy＝gt，则v0tan30°＝gt，联立解得t＝eq\f(v0tan30°,g).小球在水平方向上做匀速直线运动，则有R＋Rcos60°＝v0t，联立解得v0＝eq\r(\f(3\r(3)gR,2))，故选B.1．(2021·绍兴市柯桥中学高一月考)滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑．已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10m/s2，则他在该斜坡上方做平抛运动的时间为()A．0.5s B．1.0sC．1.5s D．5.0s答案B解析滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖直方向有y＝eq\f(1,2)gt2根据题意有tan45°＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)解得t＝1.0s，故选B.2.如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t＝eq\r(3)s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10m/s2)，由此计算出物体的水平位移x和水平初速度v0正确的是()A．x＝25m B．x＝5eq\r(21)mC．v0＝10m/s D．v0＝20m/s答案C解析物体撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10eq\r(3)m/s，将速度进行分解，根据平行四边形定则知，tan30°＝eq\f(v0,vy)，解得v0＝10eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)m/s＝10m/s，则水平位移x＝v0t＝10×eq\r(3)m＝10eq\r(3)m．故C正确，A、B、D错误．3.某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动可简化为斜面上的平抛运动，如图所示，则下列说法正确的是()A．若将炮弹初速度减为eq\f(v0,2)，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变B．若将炮弹初速度减为eq\f(v0,2)，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变小C．若将炮弹初速度减为eq\f(v0,2)，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变大D．若将炮弹初速度减为eq\f(v0,2)，炮弹位移变为原来的eq\f(1,2)答案A解析因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C项错误，A项正确；由tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)得：t＝eq\f(2v0tanθ,g)，而h＝eq\f(1,2)gt2，故h∝v02，若将炮弹初速度减为eq\f(v0,2)，则炮弹下落高度变为原来的eq\f(1,4)，由于炮弹位移x＝eq\f(h,sinθ)，所以炮弹位移也变为原来的eq\f(1,4)，D项错误．4.(2021·淮南二中高一第二学期期末)如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．1∶1 B．1∶3C．16∶9 D．9∶16答案D解析根据平抛运动的规律可知，x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，tanθ＝eq\f(y,x)，则运动时间t＝eq\f(2v0tanθ,g)，故A、B两个小球运动时间之比为tA∶tB＝tan37°∶tan53°＝9∶16，选项D正确，A、B、C错误．5.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为()A.eq\f(v02tanα,g) B.eq\f(2v02tanα,g)C.eq\f(v02,gtanα) D.eq\f(2v02,gtanα)答案A解析如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝eq\f(vy,g)＝eq\f(v0tanα,g)，则A、B间的水平距离x＝v0t＝eq\f(v02tanα,g)，故A正确，B、C、D错误．6.(2021·兰州第一中学高一下月考)如图所示，小球以速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)()A．小球在空中的运动时间为eq\f(v0,gtanθ)B．小球的水平位移大小为eq\f(2v02,gtanθ)C．小球的竖直位移大小为eq\f(v02,gtanθ)D．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解答案B解析如图所示，过抛出点作斜面的垂线与斜面交于B点，当小球落在斜面上的B点时，位移最小．设运动的时间为t，则水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝eq\f(1,2)gt2.根据几何关系有eq\f(x,y)＝tanθ，联立解得t＝eq\f(2v0,gtanθ)，小球的水平位移大小为x＝v0t＝eq\f(2v02,gtanθ)，竖直位移的大小为y＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(2v02,gtan2θ)，由水平位移和竖直位移可求解总位移的大小，故A、C、D错误，B正确．7.如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为()A.eq\f(R,4)B.eq\f(R,2)C.eq\f(3R,4)D．R答案A解析由题意知小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有vy＝v0tan60°，小球从C到D，水平方向有Rsin60°＝v0t，竖直方向上有y＝eq\f(vy,2)t，解得y＝eq\f(3,4)R，故C点到B点的距离为s＝y－R(1－cos60°)＝eq\f(R,4)，故选A.8.如图所示，可视为质点的两个完全相同小球A、B从坐标为(0,2y0)、(0，y0)的两点分别以速度vA和vB水平抛出，两个小球都能垂直打在倾角为45°的斜面上，由此可得vA∶vB等于()A.eq\r(2)∶1 B．2∶1C．4∶1 D．8∶1答案A解析设抛出点距O点高度为h，水平初速度为v0，末速度的竖直分量为vy，运动时间为t，小球垂直击中斜面，末速度与斜面垂直，分解末速度可知vytan45°＝v0，又vy＝gt，可得t＝eq\f(v0,g)，根据几何关系得h＝eq\f(1,2)gt2＋eq\f(v0t,tan45°)，联立以上各式可得h＝eq\f(3v02,2g)，根据题意，小球A、B从坐标分别为(0,2y0)、(0，y0)的两点水平抛出，可得hA＝2y0，hB＝y0，故vA∶vB＝eq\r(hA)∶eq\r(hB)＝eq\r(2)∶1，选项A正确，B、C、D错误．9．(2022·石家庄市高一期末)甲、乙两个小球分别以v、2v的速度从斜面顶部端点O沿同一方向水平抛出，两球分别落在该斜面上P、Q两点，忽略空气阻力，甲、乙两球落点P、Q到端点O的距离之比为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)答案C解析设斜面倾角为α，小球落在斜面上速度方向偏向角为θ，甲球以速度v抛出，落在斜面上，如图所示根据平抛运动的推论tanθ＝2tanα可知甲、乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等，对甲有vy甲＝vtanθ对乙有vy乙＝2vtanθ，又因为下落高度y＝eq\f(vy2,2g)可得甲、乙两个小球下落高度之比为eq\f(y甲,y乙)＝eq\f(1,4)甲、乙两球落点P、Q到端点O的距离之比eq\f(s甲,s乙)＝eq\f(y甲,y乙)＝eq\f(1,4)，故选C.10.如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点．若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)()A．b与c之间某一点B．c点C．c与d之间某一点D．d点答案A解析当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，连接O点和e点的抛物线与斜面相交于b、c间的一点(如图)，该点即为小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点，故选A.11.(2021·南京市南京师大附中高一期末)如图所示，水平桌面上放置一小球(可视为质点)．击打小球后，小球以4m/s的速度水平抛出，下落H＝0.8m后垂直撞击倾角为θ的斜面．小球反向弹回后，继续向上运动的最大高度为eq\f(1,2)H.不计空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2，求：(1)斜面的倾角θ；(2)小球撞击斜面弹回后，上升到最大高度时，小球与斜面撞击点间的水平距离x.答案(1)45°(2)0.8m解析(1)设小球撞击斜面前瞬间的竖直分速度大小为vy，则根据运动学公式可得vy＝eq\r(2gH)＝4m/s由几何关系有tanθ＝eq\f(v0,vy)＝1解得θ＝45°.(2)设小球反向弹回瞬间的竖直分速度大小为vy′，水平分速度大小为v0′，则根据运动学公式有vy′＝eq\r(2g\f(H,2))＝2eq\r(2)