2023-2024学年江西名校高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2023-2024学年江西名校高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在长方体中，（）A. B.C. D.2．在等比数列中，若，则公比（）A. B.C.2 D.33．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.40424．在等差数列中，为其前n项和，，则（）A.55 B.65C.15 D.605．设双曲线的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.6．已知，则（）A. B.1C. D.7．已知向量，，则（）A. B.C. D.8．已知，，，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.9．设等比数列的前项和为，若，则的值是（）A. B.C. D.410．若直线与平行，则实数m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或411．数列满足，且，则的值为（）A.2 B.1C. D.-112．已知，，若，则xy的最小值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数a的取值范围为___________.14．若椭圆的长轴是短轴的2倍，且经过点，则椭圆的离心率为________.15．从编号为01，02，…，60的60个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为02，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是_________16．已知直线l：和圆C：，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O为底面正方形ABCD对角线的交点，E为PD的中点，且PA=AD.（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求直线BD与平面EAC所成角的正弦值.18．（12分）在四棱锥中，平面，底面是边长为2的菱形，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.19．（12分）在△中，内角所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值20．（12分）年月初，浙江杭州、宁波、绍兴三地相继爆发新冠肺炎疫情．疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取件口罩进行检测，其结果如表：测试分数数量（1）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；（2）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取件，再从这件口罩中随机抽取件，求这件口罩全是合格品的概率21．（12分）甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为，求：（1）甲、乙恰好有一人击中的概率；（2）目标被击中的概率22．（10分）已知曲线上任意一点满足方程，（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线在轴左、右两侧的交点分别是，且，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据向量的运算法则得到，带入化简得到答案.【详解】在长方体中，易知，所以.故选：D.2、C【解析】由题得，化简即得解.【详解】因为，所以，所以，解得.故选：C3、C【解析】根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.【详解】因为是等差数列且，，所以，，.故选：C.4、B【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.故选:B5、B【解析】求出、的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由已知可得，，则，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.6、B【解析】先根据共轭复数的定义可得，再根据复数的运算法则即可求出【详解】因为，所以故选：B7、D【解析】按空间向量的坐标运算法则运算即可.【详解】.故选：D.8、A【解析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定的大小关系，则问题得解.【详解】因为，即；又，故.故选：A.9、B【解析】根据题意，由等比数列的性质可知成等比数列，从而可得，即可求出的结果.【详解】解：已知等比数列的前项和为，，由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1即成等比数列，，，.故选：B.10、A【解析】由两条直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线与平行，所以，解得，故选：A.11、D【解析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解.【详解】解：由题意，数列满足，且，可得，可得数列是以三项为周期的周期数列，所以.故选：D.12、C【解析】对使用基本不等式，这样得到关于的不等式，解出xy的最小值【详解】因为，，由基本不等式得：，所以，解得：，当且仅当，即，时，等号成立故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求定义域，再求导，针对分类讨论，结合单调性，极值，最值得到，研究其单调性及其零点，求出结果.【详解】定义域为，，当时，恒成立，在单调递减，不会有两个零点，故舍去；当时，在上，单调递增，在上，单调递减，故，又因为时，，时，，故要想在定义域内有两个零点，则，令，，，单调递增，又，故当时，.故答案为：14、【解析】分类讨论焦点在轴与焦点在轴两种情况.【详解】因为椭圆经过点，当焦点在轴时，可知，，所以，所以，当焦点在轴时，同理可得.故答案为：15、56【解析】根据系统抽样的定义得到编号之间的关系，即可得到结论.【详解】由已知样本中的前两个编号分别为02，08，则样本数据间距为，则样本容量为，则对应的号码数，则当时，x取得最大值为56故答案为:5616、1【解析】求出圆C的圆心坐标、半径，再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.【详解】圆C：，圆心为，半径，点C到直线l的距离，由圆的切线性质知：，当且仅当，即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“=”，所以的最小值为1故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用线面平行的判断定理，证明线线平行，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小问1详解】连结EO，由题意可得O为BD的中点，又E是PD的中点，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小问2详解】如图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AD=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，设平面EAC的法向量为=(x，y，z)，则，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一个法向量为=(-1，1，-1)，∴设直线BD与平面EAC所成的角为θ，则sinθ=∴直线BD与平面EAC所成的角的正弦值.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，利用三角形中位线定理可证明BG//EF，由线线平行，可得线面平行；（2根据图像可得，以为底面，证明为高，利用三棱锥的体积公式，可得答案;【小问1详解】取的中点，因为为的中点，所以且，又因为为的中点，四边形为菱形，所以且，所以且，故四边形BFEG为平行四边形，所以BG//EF，因为面面，所以面.【小问2详解】因为底面是边长为2的菱形，，则为正三角形，所以因为面，所以为三棱锥的高所以三棱锥的体积.19、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得，进而可得的值；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，得最后结论试题解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得考点：正弦定理；余弦定理【易错点睛】解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口20、（1）；（2）.【解析】（1）由题意知分数小于的产品为不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.（2）先利用分层抽样确定抽取的件口罩中合格产品和不合格产品的数量分别为件和件，再利用古典概型把所有基本事件种都列举出来，在判断件口罩全是合格品的事件有种情况，即可得到答案.【小问1详解】在抽取的件产品中，不合格的口罩有（件）所以口罩为不合格品的频率为，根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为【小问2详解】由题意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件设件合格口罩记为，件不合格口罩记为而从件口罩中抽取件，共有共种情况，这件口罩全是合格品的事件有共种情况故件口罩全是合格品的概率为21、（1）；（2）.【解析】（1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案.【小问1详解】设甲、乙分别击中目标为事件，，易知，相互独立且，，甲、乙恰好有一人击中的概率为.【小问2详解】目标被击中的概率为.