2024届甘肃省酒泉市敦煌中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2024届甘肃省酒泉市敦煌中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A B.C. D.2．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（）A.4 B.2C.2 D.33．椭圆的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，4．已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（）A B.C. D.5．已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（）A. B.C. D.6．曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA，FB，O为坐标原点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率等于（）A. B.C.2 D.7．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（）A. B.C. D.8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）A. B.C. D.9．已知数列中，且满足，则（）A.2 B.﹣1C. D.10．椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（）A. B.C. D.11．设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形12．直线的一个法向量为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题14．已知某农场某植物高度，且，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间上的棵数为______.参考数据：若，则，，.15．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________16．圆上的点到直线的距离的最大值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由18．（12分）已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.（1）求抛物线E的方程；（2）点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点，且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点，求m的取值范围.19．（12分）如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E是线段PA的中点.（1）求证：平面EBD；（2）若是等边三角形，，平面平面ABCD，求点E到平面PDB的距离.21．（12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x/分101112131415等候人数y/人232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.（2）假设该起点站等候人数为24人，请你根据（1）中的结论预测车辆发车间隔多少时间合适?附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧棱底面ABCD，，，E为PB中点，F为PC上一点，且（1）求证：；（2）求平面DEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.2、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，，，由可得，又，在中，，即，化简得，两边同除以，得.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.3、A【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.4、C【解析】根据不等式的性质逐一分析即可得出答案.【详解】解：对于A，因为a＞b，若，则，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若a＞b，又，所以，故C正确；对于D，当时，，故D错误.故选：C.5、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】，0，，，1，，，，，，在上的投影为，则点到直线的距离为.故选：D6、A【解析】依题意可得为正方形，即可得到，从而得到双曲线的渐近线为，即可求出双曲线的离心率；【详解】解：依题意，，且四边形为菱形，所以为正方形，所以，即双曲线的渐近线为，即，所以；故选：A7、B【解析】根据题意得到，，解得答案.【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.故选：.【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.8、D【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值.【详解】设为第一象限的交点，、，则、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，当且仅当，即，时等号成立，此时故选：D9、C【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，故选：C10、B【解析】利用椭圆的定义可得结果.【详解】在椭圆中，，由椭圆的定义可知，到另一个焦点的距离是.故选：B.11、D【解析】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.【详解】由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.故选：D.12、B【解析】直线化为，求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案.【详解】直线的方向向量为，化为，直线的方向向量为，因为法向量与方向向量垂直，设法向量为，所以，由于，A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误；故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.84375【解析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解.【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得：PA=PB故答案为：14、1359【解析】由已知求得，则，结合已知求得，乘以10000得答案【详解】解：由，得，又，，则，估计该农场这种植物高度在区间，上的棵数为故答案为：135915、3##【解析】由频率之和等于1，即矩形面积之和为1可得.【详解】由题知，解得.故答案为：0.316、【解析】先求得圆心到直线的距离，结合圆上的点到直线的距离的最大值为，即可求解.【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离的最大值为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）能为平行四边形；斜率为4－或4＋【解析】（1）设两点坐标，由点差法证明（2）求出两点坐标，由平行四边形的几何性质判断【小问1详解】设的斜率为,，两式相减可得，即故【小问2详解】由（1）得的直线为，直线方程为联立，解得联立解得若四边形OAPB为平行四边形，则对角线互相平分为中点，解得，经检验，均符合题意故四边形OAPB能为平行四边形，此时斜率为4－或4＋18、（1）（2）【解析】（1）由焦半径公式可得，求解即可得答案；（2）由题意，直线AB斜率不为0，设，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及可得，从而可得直线AB恒过定点，进而可得定点在椭圆内部或椭圆上即可求解.【小问1详解】解：因为抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4，所以，解得，所以抛物线E的方程为；【小问2详解】解：由题意，直线AB斜率不为0，设，，由，可得，所以，因为，即，所以，所以，即，所以，所以直线，所以直线AB恒过定点，因为直线AB与椭圆恒有公共点，所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，所以.19、（1）证明见解析（2）【解析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：三棱锥中，，，∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且∴，，，，，设平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小问2详解】，，∴平面∴为平面的法向量则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角.∴平面与平面所成角的余弦值为.20、（1）见解析（2）【解析】（1）连接交于点，连接，由中位线定理结合线面平行的判定证明即可；（2）由得出点到平面的距离，再由是的中点，得出点到平面的距离.【小问1详解】连接交于点，连接.因为分别是的中点，所以.又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；【小问2详解】过点作的垂线，垂足为，连接.因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以，设点到平面的距离为因为，所以，因为点是的中点，所以点到平面的距离为.21、（1），是“恰当回归方程”；（2）10分钟较合适.【解析】（1）应用最小二乘法求出回归直线方程，再分别估计、时的值，结合“恰当回归方程”的定义判断是否为“恰当回归方程”.（2）根据（1）所得回归直线方程，将代入求x值即可.【小问1详解】中间4组数据是：间隔时间（分钟）11121314等候人数（人）25262928因为，所以，故，又，所以，当时，，而；当时，，而；所以所求的线性回归方程是“恰当回归方程”；【小问2详解】由（1）知：当时，，所以预测