几何开放探究型问题

-PAGE13-开放探究型问题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。一、条件开放例1．（05年梅州）如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。（1）如果，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。角度：矩形的性质三角形全等的判定解：（1）AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF又∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，∴AF=CE，∴ΔDEC≌ΔBAF练习一：1.(05年黑龙江课改）如图,E、F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件:___________，使四边形AECF是平行四边形.2、（05年金华）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE.（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明.你添加的条件是：.证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：.（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）3、（05年玉溪）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，AB＜CD且∠ABC为锐角，若AD＝4，BC＝12，E为BC上一点。问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。二、结论开放（1）根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。图1HGABCEF图1HGABCEFBGCHAFE图2图3BCGHEFAPAGCBHFE⑴如图l，如果点E、F在边AB上，那么；⑵如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________；⑶如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________；对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．角度：全等三角形、平行四边形的判定及性质、平行线、分线段成比例或相似三角形的性质解：(2)线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG＋FH=AC(3)线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG－FH=AC证明(2)：如图2，过点E作EP//BC交AC于P∵EG//AC，∴四边形EPCG为平行四边形∴EG=PC ∵HF//EG//AC∴，又∵AE=BF∴≌∴∴AC=PC+AP=EG+FH即EG+FH=AC.练习二1、（05武汉）如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D。(1)求证：∠DAC=∠BAC；(2)若把直线EF向上平行移动，如图2，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个?为什么?2．（05包头）如图1，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。(1)求证：CE∥DF；(2)在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时(如图2)，过点E作直线MN∥DF，试判断直线MN与⊙O1的位置关系，并证明你的结论。3、（05四川）己知：如图，E、F分别是□ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF。(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论。4、（05黄冈）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC。⑴求证：AC2=AE·AB；⑵延长EC到点P，连结PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由。OOPFEDCBA·5、（05枣庄）如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，A,B为切点，试判断以线段AB为直径的圆与直线O1O2的位置关系，并说明理由．6、（07）已知：将一幅三角板（Rt△ABC与Rt△DEF）如图(1)摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角（0°〈〈90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当=30°时，如图（2），求证：AG=DH；（2）当=60°时，如图（3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由。（3）当0°〈〈90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图（4）说明理由。角度：旋转的特征等角对等边直角三角形斜边与直角边的关系等腰三角形的特征解析：（1）略（2）结论成立∵∠ADM=60°,∠BDN=30°,在△AMD和△DNB中,∵∠ADB=∠B,∠A=∠BDN,AD=DB∴△AMD△DNB,∴AM=DN∵MG⊥AD,DH⊥BD,∴△AMG△DNH,∴AG=DH（3）结论成立7、（06）直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成1\2\3\4四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成∠PAC、∠PBD、∠APB三个角。（提示：由公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第1部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD（2）当动点P落在第2部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第3部分时，全面探究∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明。角度：平行线的特征三角形内外角关系动点的位置解答：（1）延长BP交直线AC于点E，∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD∵∠APB=∠PAE+∠PEA,∴∠APB=∠PAC+∠PBD(2)不成立（3）当动点P在射线BA右侧时，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB；当动点P在射线BA左侧时，结论是：∠PAC=∠APB+∠PBD；当动点P在射线BA上时，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠APB+∠PBD或∠APB=0°，∠PBD=∠PAC8、（06）问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°．则BM=CN：②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点．BM与CN相交于点O，若∠BON=90°．则BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.任务要求(1)请你从①．②，③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①如图4，在正n(n≧3)边形ABCDEF中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明)②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立，若成立，请证明．若不成立，请说明理由我选角度：正n边形的内角特征全等三角形的判定[解析]（1）如选命题①证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN∴BM=CN（2）如选命题②证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN∴BM=CN（3）如选命题③证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°∴ΔBCM≌ΔCDN∴BM=CN(2)①答：当∠BON=时结论BM=CN成立．②答当∠BON=108°时。BM=CN还成立证明；如图5连结BD、CE.在△BCI)和△CDE中∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE∴ΔBCD≌ΔCDE∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠CEN∵∠CDE=∠DEC=108°,∴∠BDM=∠CEN∵∠OBC+∠ECD=108°,∠OCB+∠OCD=108°∴∠MBC=∠NCD又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECN∴ΔBDM≌ΔCNE∴BM=CN（2）根据给定的条件，通过观察，分析，探索多个不明确的结论。求解此类问题时，切勿凭空乱想，应仔细对照条件，观察图形特征，联想已学知识，方法或已解决过的问题，全方位的、多角度地作全面分析。例3、（05陕西课改）如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC。AEDBCAEDBCF（2）证明：△ABC是正三角形。解：角度：三角形全等的判定垂直平分线的性质菱形的性质（1）图中有四对全等三角形，分别为△ABC≌△CDA，△AEF≌△DEC，△DEC≌△AEC，△AEF≌△AEC。（2）证明：∵CF垂直平分AD，∴AC＝CD又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA∴AB＝BC＝AC∴△ABC为正三角形。练习三：1、（05北京海淀区）已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.(1)如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；(2)如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.图2图22、（05武汉）已知：如图，在△ABC中，点D、E分贝在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE。若∠BDE＋∠BCE＝180°.（1）写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；（2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由。3、（05宁德）如图，已知E、F是□ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，线段EF分别交AD、BC于点M、N。请你在图中找出一对全等三角形并加以证明。解：我选择证明△___________≌△___________.4、（05内江市课改）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A、B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。CABCABDO图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；任选（1）中的一对全等三角形加以证明。ADHFEGBADHFEGBC7、如图，已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论：射线BD是∠ABC的平分线；△BCD是等腰三角形△ABC～△BCD△AMD△BCD判断其中正确的结论是哪几个？从你认为是正确的结论中选一个加以证明。8、已知△ABC。（1）请你在BC上分别取两点D、E（BC的重点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据（1）中成立的条件，证明AB+AC>AD+AE解答：（1）BD=CE≠DE;△ABD和△ACE,△ABE和△ACD（2）证法一：角度：①平移构造全等三角形②三角形三边关系分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于G点。证△AEC△FBD得AC=FD,AE=FB;在△AGD中,AG+DG>AD;在△BFG中,BG+FG>FB,所以AB+FD>AD+FB证法二：角度：①作平行线构造特殊四边形②三角形三边关系分别过点A、E作CB、CA的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连接BF。可证四边形FECA和四边形FBDA是平行四边形，所以FB=AD，在△AGE中,AG+EG>AE;在△BFG中,BG+FG>FB,所以AB+AC>AD+AE8、（07江西）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC②∠ABE=∠DCE③AE=DE④∠A=∠D小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，在从剩下的纸片中随机抽取另一张，请结合图形解答下列两个问题：（1）当抽得①和②时，用①②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由。（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率。角度：①全等证明线段相等②等腰三角形的判定解析：（1）能。理由：由AB=DC,∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC得△ABE△DCE.,即BE=CE,所以△BEC是等腰三角形（2）树状图：所以使△BEC不能构成等腰三角形的概率为：。9、（05南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°。(1)判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）。①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°。（）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（）（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形。（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件:①是轴对称图形，但不是中心对称图形：;②既是轴对称图形，又是中心对称图形：.答案：练习一1、略2、添加条件例举：BA＝BC；∠AEB＝∠CDB；∠BAC＝∠BCA；AE⊥BC，CD⊥AB等.证明例举（以添加条件∠AEB＝∠CDB为例）：∵∠AEB＝∠CDB，BE＝BD，∠B＝∠B，∴△BEA≌△BDC.另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA.3、（1）当CE＝4时，四边形ABED是等腰梯形。理由如下：在BC上截取CE＝AD，连结DE、AE，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形。∴AE＝CD＝BD。∵BE＝12－4＝8＞4，即BE＞AD，∴AB不平行于DE，∴四边形ABED是梯形。∵AE∥CD，CD＝BD，∴∠AEB＝∠C＝∠DBC。在△ABE和△DEB中，∴△ABE≌△DEB（SAS）。∴AB＝DE，∴四边形ABED是等腰梯形。（也可不作辅助线，通过证明△ABD≌EDC而得AB＝DE）（2）当C＝6时，四边形ABD是直角梯形。理由如下：在BC上取一点，使C＝B＝＝6，连结D，∵BD＝CD∴D⊥BC又∵B≠AD，AD∥B，∴AB不平行于D∴四边形ABD是直角梯形。练习二1、12、3．4、⑴连结BC提示：可证△AEC∽△ACB所以得，即AC2＝AB·AE⑵PB与⊙O相切连结OB，∵PB＝PE∴∠PBE＝∠PEB∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠PEB＝∠1＋∠3＝2∠1而∠PBE＝∠2＋∠PBC，∴∠OBC＝∠OCB而Rt△BCF中，∠OCB＝90°－∠2＝90°－∠1∴∠OBC＝90°－∠1∴∠OBP＝∠OBC＋∠PBC＝∠1＋（90°－∠1）＝90°∴PB⊥OB，即PB为⊙O的切线。5、解：直线O1O2与以线段AB为直径的圆相切．理由如下：过P作⊙01，⊙02的公切线PM交AB于点M，则AM=MB=MP，O1O2⊥MP.∴M点为以线段AB为直径的圆的圆心，且点P在⊙M上．∵⊙01和⊙O2外切于点P，∴直线O102过点P.∴直线01O2与以线段AB为直径的圆相切．练习三1．解：（1）略.（2）解法一：过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM.因为∠ACB=60°，∠CAF=60°，所以∠ACB=∠CAF.所以AF∥MC，所以四边形AMCF是平行四边形.又因为FA=FC，所以□AMCF是菱形.所以AC=CM=AM，且∠MAC=60°.在△BAC与△EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE,所以△BAC≌△EMC.所以DM