小学数学教科书“圆”内容中数学文化的比较研究

小学数学教科书“圆”内容中数学文化的比较研究摘要：圆是小学数学“图形与几何”领域的重要内容，蕴含着丰富的数学文化。选取我国四个版本小学数学教科书，从内容分布、运用水平和教学功能三个方面统计分析“圆”内容中渗透的数学文化。结果表明：教科书中渗透最多的数学文化是社会角色类型，我国青岛版教科书中数学文化内容最为丰富；数学史的运用水平以附加式为主，其他类型数学文化的运用水平以可分离型为主；数学文化融入教科书的教学功能大多是提供背景性情境。基于此，提出以下建议:均衡“圆”内容中数学文化的内容分布，充分发挥数学文化在“圆”内容中的教学功能,教师在圆的教学中应提高运用数学文化的能力。关键词：小学数学教科书；圆；数学文化教科书版本数学文化类型总计教科书版本数学文化类型总计知识源流学科联系社会角色审美娱乐多元文化人教版342741048苏教版45252844北师大版73268145青岛版523441156表1数学文化的内容分布从表1可以看出，各版“圆”内容中在渗透版最多，所有版本中涉及最多的一种文化类型数学文化方面出现的频次差别不大，其中青岛是社会角色，且占比均超过50%。这说明在“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。”⑴“圆”是小学数学教科书中的重要内容，其中涉及的数学文化是较为丰富的。教师应当充分挖掘教科书中数学文化的渗透点，发挥数学课程的育人功能⑵。圆周率以其无限不循环的魅力引发着人们对“圆”无限美好的追求与向往⑶。人教版、苏教版、北师大版教科书是我国新课标实施以来广泛使用的三套主流教材，青岛版教科书“圆”中数学文化的内容和选材较为丰富⑷，因此本研究选取以上四个版本教科书中有关“圆”的内容，从内容分布、运用水平和教学功能三个方面进行统计分析，旨在为我国教科书在数学文化内容上的优化完善以及在课堂中更好地融入数学文化提供借鉴。―、数学文化的内容分布四个版本教科书“圆”内容中的数学文化主要是通过习题来呈现的，在数学阅读中的描述也相对较多。参考汪晓勤教授提出的数学文化分类框架,将教科书中的数学文化分为知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐及多元文化五个方面［5］。统计结果如表1所示。“圆”这一内容教学中将数学与生活联系，从日常生活的情境导入，能更有利于学生的学习和老师的教学,激发学生的学习兴趣，提升学习效率。另外,人教版和青岛版教科书中的多元文化也较为丰富一些。教科书中数学文化的类型分配占比还应该进一步平衡，社会角色类型过多,其他文化类型不足。下面就不同版本教科书，，圆，，中数学文化内容的异同展开分析。（一） 知识源流“知识源流”是数学文化内涵的基础维度,指的是某个知识点的历史发展以及相关的人物、事件及思想等⑸。数学史是“知识源流”的主要内容，是数学文化的一种传递载体,是教学中渗透数学文化的一种有效途径,将数学史的内容渗透到教科书中可以让学生产生文化归属感。统计发现，四个版本教科书中都涉及关于圆的周长和面积的历史,都是用“你知道吗”这个栏目来介绍祖冲之及圆周率的历史。人教版并未涉及阿基米德方法的介绍，只是简单用《九章算术》中的说法介绍了“圆田术”；其他版本则较为详细，用图文交叉的形式来呈现刘徽的“割圆术”和古希腊数学家阿基米德用圆内接正多边形和圆外切正多边形同时去逼近圆的历史。另外，关于“圆的面积”的探索过程，四个版本都有隐性数学史的渗透:古印度数学家仿照切西瓜,利用分拼法用长方形的面积去代替圆的面积⑵。在教学圆的周长和面积时，教师可以适当运用这些“知识源流”来丰富课堂。（二） 学科联系“学科联系”指的是数学与其他学科之间的关联,主要包括生物、物理、地理等学科⑸。四个版本教科书中渗透的内容主要集中在与生物学科的联系，其中多以一些自然现象和植物的生命现象为主。例如，四个版本教科书中提及最多的是“水滴成圆”和“树干横截面是圆”这两种现象,人教版在扇形部分呈现扇贝和扇形藻两种植物，苏教版在“你知道吗”板块中提及莲蓬和牵牛花两种植物。这些与生物学科的联系皆是由于自然界中的现象或生物本身就是圆形或扇形。这再次说明了数学来源于自然生活，小学生也特别热爱大自然，在圆的教学中应让学生学会欣赏大自然的美。（三） 社会角色“社会角色”指的是数学对人类文明进步、社会发展所起的作用[5],这是所有版本中渗透最多的一种数学文化类型，其占比在每版教科书中都超过50%。这个数学文化类型基本都是现实生活中的数学，较好地体现了数学应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面。教科书在编写过程中充分挖掘了学生身边的个人生活、学校生活、家庭生活、社会生活等所涉及的数学内容，如每个版本都涉及车轮、硬币和时钟这三个素材,并借助其形状是圆形来求解物体的周长、面积。教科书中使用最多的素材是圆桌、光盘、学校操场跑道、自动旋转喷水器、圆形花坛、圆形水池以及生活中依墙而建的羊圈、鸡圈等。这表明，不同版本教科书都非常重视数学与社会、生活的密切联系。（四） 审美娱乐“审美娱乐”指的是数学美与趣味数学[5]o根据对四个版本教科书的梳理,涉及数学美有两种类型,一种是单欣赏某种物体是圆形所具有的美感,例如青岛版教科书的“你知道吗”栏目中提到“圆被誉为最完美的图形”，并呈现了八张现实生活中的情境图，让学生感受圆的魅力;另一种是运用圆的知识通过平移旋转来画出一些美丽的图案，这一数学美主要出现在每版教科书中都有的“数学活动”栏目中。由于空间观念的形成,只靠观察是不够的，教师还必须引导学生进行操作实验活动⑹。而在趣味数学方面主要就是指娱乐，包括摩天轮、杂技演员的独轮车、溜冰、篝火晚会、架子鼓、链球运动、飞镖盘等一些素材。通过渗透“审美娱乐”这样的数学文化，一方面陶冶学生情操,提高学生审美和欣赏水平，突出了数学文化的美育价值;另一方面通过呈现具有趣味性的素材或情境，更能吸引学生眼球，激发其学习热情。（五） 多元文化此处的“多元文化”指的是不同文明、不同图图2人教版一生活中的圆图图2人教版一生活中的圆地域在同一数学主题上的成就和贡献5。这包括国内的中华民族传统文化（如北京天坛公园、福建土楼、蒙古包、暨南大学校门等体现出的文化），也包括国外建筑中一些圆的元素（如青岛版教科书中的罗马斗兽场、日本富士山、英国巨石圆阵）。学生在学习数学的同时，可以感受到我国不同区域以及不同国家的多元文化。二、数学文化的运用水平（一） 知识源流的运用水平“知识源流”的主要内容就是数学史，其运用水平从低至高分别为附加式、复制式、顺应式和重构式⑺。这四个版本教科书“圆”的“知识源流”中涉及以下两种：（1）附加式。附加式指数学阅读材料，讲述数学家生平、数学故事、历史上的数学问题等。这种运用水平在教科书中是最多的，例如每版教科书都通过“你知道吗”栏目以图文形式来介绍祖冲之及其圆周率的数学史。（2）顺应式。顺应式指正文各部分将数学史上的数学问题进行改编，或利用数学史材料编制数学问题，以顺应当前教学的需要。例如每版教科书都将数学家们“分拼法”求圆的面积的数学史进行了适合现实教学的改编，融入求圆的面积的探索过程。（二） 其他维度的数学文化运用水平根据数学文化内容与数学知识之间的关联程度，将学科联系、社会角色、审美娱乐、多元文化四类数学文化的运用水平分为外在型和内在型。外在型是指仅仅介绍数学文化本身，不涉及数学知识。内在型可细分为可分离型和不可分离型，可分离型是指数学文化与数学可以分离，即去掉数学文化背景也不会影响此数学问题;不可分离型则是数学文化和数学知识深度有机的融合，需要用与文化相关的知识来理解数学知识或解决特定的文化情境中的数学问题。参照以上分类方法,对其他维度数学文化的运用水平进行分类统计（图1）。由图1可知，每版教科书中可分离型的占数量/个30人教版数量/个30人教版——苏教版▲北师大版青岛版图1数学文化的运用水平比都是最高的，说明数学文化和数学知识的联系并不紧密、可以分离，这样的运用水平并不高，并且大多数运用在习题中,只需要用数学知识解决其给定的数学问题就行,这样的数学文化情境很普遍也很容易被替换。不可分离型的数量相对较少，占比不到一半。提高数学文化的运用水平,使其更加自然地融入数学知识,让数学能够解决生活和文化中的实际问题是一个亟待解决的问题。三种数学文化的运用水平具体分析如下：外在型。人教版教科书“圆的认识”的导入中,呈现了从自然界到人类社会、从精巧的手工艺品到气势宏伟的建筑，到处都能看到大大小小的圆，如图2；苏教版教科书的“你知道吗”栏目中也呈现了关于圆的自然现象、建筑物和运动等;青岛版教科书也在“你知道吗”栏目中展现了圆在生活和生产中的踪影，感受到圆的魅力，如图3。这些圆的呈现没有与数学知识产生联系，属于外在型。从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧的手工艺品到气势宏伟的各种建筑……到处都可以看到大大小小的圆。图图7人教版——圆形草坪你知道吗？I .你知道吗？I .圆被誉为最完美的图形。我们在生活和生产中，随处都能见到圆的踪影，感受到圆的魅力。生活中你还见过哪些物体的形状是圆形的？与同学交流一下口不可分离型。每版教科书中都提到“车轮为什么是圆的”这样的与圆特征密切相关的问题。如果学生对于车轮制作及行驶的原理不了解，那么就也无法理解车轮设计为圆形的意图，因此这类问题需要学生了解相关文化和圆的知识才能解决，人教版的“你知道吗”栏目中也图文并茂地解释了车轮和井盖是圆形的这一现象，如图6。在这一类问题中，数学文化与数学知识不可分离。图3青岛版——生活和生产中的圆可分离型。每版教科书中都涉及时钟的素材，如图4青岛版教科书中的习题,利用时针、分针的长度，来分别求指针走一圈尖端走过的路程，即是已知圆的半径求其周长的数学问题。还有的是逆向问题，如图5苏教版教科书中的例题,要求利用圆形花坛的周长求花坛的直径。这些题目都是换一个素材依旧可以探索此类数学问题，属于可分离型。幻咨上 时针长12厘米，如果走一圈，它的尖端走过9^3的路程是多少？分针长18厘米，如果走1小时，它的尖端走过的路程是多少厘米？（生活中的数学3〕如果你仔细观察就会发现：我们周围很多东西的平面轮廓都是圆形的，如车轮、马路上的大多数井盖……这是为什么呢？车轮平面轮廓采用圆形，是利用同一圆的半径都相等的性质，把车轴装在车轮的圆心上。当车轮在地面上滚动的时候，车轴离地面的距离总是等于车轮的半径，因此只要道路平坦，车子就会平稳地在地面上行驶。试想一下，如果车轮是正方形的,为了保持车辆的平稳行驶，道路应该是什么样子的呢？井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了同一圆的直径都相等的性质。还可以怎样卓花坛的直径？一个圆形花坛的周长是251.2米。的直径是多少米？根据C=M还可以怎样卓花坛的直径？一个圆形花坛的周长是251.2米。的直径是多少米？根据C=M可以列方程解答。解：设花坛的直径是*米。3.14*=251.2*教科书版本提供背景性情境提供应用性情境拓展数学思维与方法促进数学与文化交融人教版261714苏教版301211北师大版251253青岛版302321表2数学文化融入教科书的教学功能及其数量个由表2可知，在圆这一主题中，数学文化融 提供应用性情境次之，没有出现体验文化实践入教科书的教学功能以提供背景性情境为主，这一功能。这表明在数学教学中生活素材的功图4青岛版——时钟图5苏教版——圆形花坛图6人教版——生活中的数学三、数学文化融入教科书的教学功能数学文化融入教科书的教学功能，可以分为提供背景性情境、提供应用性情境、拓展数学思维与方法、促进数学与文化交融和体验文化实践五个方面⑻。对四个版本教科书中数学文化的融入功能进行统计，结果见表2。能以提供背景性情境为主，且更多是个体生活素材，数学文化更适合为学生学习兴趣的培养与知识理解的促进提供素材。其次教科书也重视数学的应用，往往以现实生活为素材，以数学文化为载体，但数学文化的核心就是培养学生数学文化发展和传承，过多的应用性情境会脱离数学文化的基础核心。此外，每版教科书的数学文化也都有促进数学与文化融合这一功能，且占比都差不多，相对较低,这表明教科书对促进数学与文化的融合在教科书中的功能定位还是比较清晰的。（一） 提供背景性情境这一功能意味着文化素材为学生的数学学习提供了背景材料，但不需要学生专门学习与此背景材料相关的专业知识。例如苏教版的习题中的圆形喷水池、圆形花坛和摩天轮等素材,仅仅是借用这些物体的形状是圆形来进行圆的概念及特征的相关知识学习，不指向数学文化素材的学习,即为提供背景性情境。（二） 提供应用性情境提供应用性情境指学生需要参与一些文化实践,以便他们能够认识到学校数学的作用,但不强调在不同文化中构建知识的多种方式。例如人教版教科书“圆的面积”例题中求圆形草坪占地面积的情境，“圆的周长”习题中求围圆形牛栏需要的粗铁丝的长度及木桩的根数（图7、图8）；还有苏教版教科书的例题中求自动旋转喷水器喷灌面积的数学问题。这些都是给学生一个日常生活中的问题情境,要求学生用圆的数学知识解决实际问题,即为提供应用性情境。图8人教版 圆形牛栏（三） 拓展数学思维与方法这一功能指的是学生需要通过文化素材在理论上比较学校数学与其他文化实践中的数学,从而拓展学生的数学思维与方法。在“圆的面积”教学中，把圆转化为学生已经学过的长方形或者平行四边形来研究圆的面积求解公式,在渗透了数学史的同时,让学生体会到转化和极限的思想，拓展了学生的数学思维。（四） 促进数学与文化交融促进数学与文化交融指学生需要通过体验文化实践和学校数学来建立起学校数学和文化实践之间的关系。很明显的就是在北师大版教科书的两处习题中，素材都是用草绳编织成的圆形茶杯垫片，教科书引导的方法都是沿线剪开,第一处是得到一个近似的三角形，第二处是将两个近似的三角形再拼成平行四边形，接下来就是用三角形或平行四边形的面积来推导出圆的面积公式。这样学生通过体验了古代数学家探索圆面积的过程，又用来解决实际的数学问题,实现了数学与文化的交融。四、启示与建议（一）均衡“圆”内容中数学文化的内容分布在“圆”内容的编写过程中，各维度的数学文化内容需要尽可能均衡。统计发现,社会角色类型数学文化较多，其他较少，因此需要加强数学与其他学科、审美娱乐、多元文化的结合,呈现更多样的数学文化类型，让学生不仅体会到数学的应用价值，又能感受到数学的科学与美育价值。从数学文化的人文性来看,将多样的数学文化融于圆的知识中,能潜移默化地让学生在学习及思考的过程中感受圆的魅力，感悟数学美，体会到多种思维与方法。（二） 充分发挥数学文化在“圆”内容中的教学功能首先,圆的内容可以适当增加顺应式及更高层次的数学史运用，这一点在青岛版教科书中运用得较好，无论是圆的周长还是面积，都渗透了显性或隐性的数学史，并通过改编调整以顺应“圆”的现代教学;其他数学文化也应当提高其运用水平，适当增加不可分离型的运用水平。只有提高数学文化运用的水平，才能将数学文化与数学知识深度融合。其次,数学文化融入教科书要体现其教学功能，不同的数学文化有不一样的教学功能定位。四个版本教科书中提供背景性情境较多，其他功能较少或有缺