简单几何体的表面积与体积教学习题作业

专题04简单几何体的表面积与体积知识网络重难点突破重难点突破一简单几何体的表面积、体积例1．（1）、（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图形中一定不是其截面图的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析用不同方式去截几何体得到截面的形状即可求解.【详解】用过圆锥的轴且与上底面一组对棱垂直的平面截该儿何体可得A图，用平行于圆锥底面的平面截该几何体可得C图，用垂直于圆锥底面且不过圆锥的轴的平面截该几何体可得D图，而B图用垂直于正方体的任何面的平面截都无法得到.故选：B（2）、（2022·辽宁·抚顺一中高一阶段练习）已知某圆锥的高为3，底面半径为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案.【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为．故选：A.【变式训练1-1】、（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图是一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的侧面和两底均相切，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则可以注入的水的体积最多为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆柱的表积公式及体积公式，再利用球的体积公式即可求解.【详解】设球的半径为,则由题意可知，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，因为圆柱的表面积是，所以，解得,所以圆柱的体积为，球的体积为，所以可以注入的水的体积最多为.故答案为：.【变式训练1-2】、（2021·江苏高一专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．如图是棱台 B．如图是圆台C．如图是棱锥 D．如图不是棱柱【答案】C【分析】利用棱台､圆台､棱锥､棱柱的定义对四个选项进行逐一分析判断即可.【详解】解：对于A，不是棱锥截得的，故不是棱台，故选项A错误；对于B，上､下两个面不平行，故不是圆台，故选项B错误；对于C，由棱锥的定义可知，是棱锥，故选项C正确；对于D，前､后两个面平行，其他面试平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，故是棱柱，故选项D错误.故选：C.

重难点突破二柱体与锥体的表面积、体积例2．（1）、（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）若正三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的体积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】用底边边长和高表示出球的半径，根据基本不等式得出值，从而可求出棱柱的侧面积.【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，，则，，则在△中，，当且仅当时，因为，即

所以，即，所以该三棱柱的侧面积为.故选：B.（2）、（2021·天津滨海新区·高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意和题设条件，求得圆柱的底面半径和母线长，结合圆的面积公式和圆柱的侧面积公式，即可求解.【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，因为侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，可得，所以圆柱的表面积为.故选：A.【变式训练2-1】．（2021·江西省万载中学高一期末（理））图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为10，则其侧面积为（）A． B．C． D．600【答案】A【分析】求出底面的周长后可求曲侧面三棱柱的侧面积.【详解】曲侧面三棱柱的底面的周长为，曲侧面三棱柱的侧面积为，故选：A.【变式训练2-2】、（2022·全国·高一课时练习）已知圆锥轴截面是等腰直角三角形，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面上，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（

）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，正方体的边长为，求出，再求出圆锥和正方体的表面积化简即得解.【详解】解：设圆锥的底面半径为，正方体的边长为，由轴截面得，因为，所以，所以圆锥的表面积，正方体的表面积所以.故选：B

重难点突破三柱体的外接球、内切球体表面积与体积例3．（1）、（2022·全国·模拟预测）如图，棱长均相等的直三棱柱的上、下底面均内接于圆柱的上、下底面，则圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为______．【答案】【解析】【分析】设三棱柱的棱长为，再求出圆柱的半径与其外接球的半径即可求解【详解】设三棱柱的棱长为，所以外接圆的半径，所以圆柱外接球的半径．故外接球的表面积为，圆柱的侧面积为，所以圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为．故答案为：（2）、（2022·河北·模拟预测）如图，在正三棱柱中，与平面所成的角为，则该三棱柱外接球的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】因为是正三棱柱，所以外接球球心O在上下底面中心O1O2连线的中点，即外接球的半径R=OA1，计算即得.【详解】如图，取BC的中点M，连结A1M，AM，因为是正三棱柱，所以球心O在上下底面中心O1O2连线的中点，即外接球的半径R=OA1，又因为与平面所成的角为，所以AA1与平面所成的角为，又因为是正三棱柱，所以∠AA1M=45°，所以，所以所以外接球面积为.故答案为：.【变式训练3-1】、（2022·河北邯郸·模拟预测）已知正三棱柱，各棱长均为2，且点为棱上一动点，则下列结论正确的是（

）A．该正三棱柱既有外接球，又有内切球B．四棱锥的体积是C．直线与直线恒不垂直D．直线与平面所成角最大为【答案】D【解析】【分析】如图所示为直线与平面所成角，则，根据边长即可判断D，由于内切圆半径为，所以该正三棱柱无内切球可判断A，由棱锥的体积为结合数据即可判断B，当位于时有平面，可判断C．【详解】如图所示，设，取､的中点分别为､，连接､过点作交于点，连接，显然平面，又，故平面即为直线与平面所成角，又因为，，所以因此当时，有的最大值，选项D正确；由于内切圆半径为，所以该正三棱柱有外接球，无内切球，选项A不正确；显然平面，因此点到侧面的高故棱锥的体积为，选项B不正确；当位于时，平面，即又，故平面，从而，故选项C不正确；故选：D【变式训练3-2】、（2022·河南洛阳·三模（文））若三棱柱的底面是以为斜边的直角三角形，平面，，，则该三棱柱的外接球的体积为___________.【答案】【解析】【分析】依题意可得底面三角形外接圆的直径即为，设外接球的半径为，则，即可求出，再根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为直三棱柱底面是以为斜边的直角三角形，所以底面三角形外接圆的直径即为，设外接球的半径为，则，所以，解得，所以外接球的体积；故答案为：重难点突破四锥体的外接球、内切球体表面积与体积例4．（1）、（广西桂林市2021-2022学年高二下学期数学期末质量检测题）直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知求出底面外接圆半径，再由直三棱柱的外接球半径与底面外接圆半径、侧棱的几何关系求球体半径，进而求此球的表面积.【详解】由题意，棱柱底面三角形中，底面外接圆半径，又为直三棱柱且，所以其外接球半径，故球体表面积为.故选：A（2）、（2022·河南安阳·高二阶段练习（文））如图，在长方体中，已知，，则四面体ABCD的内切球的体积为_________.【答案】【解析】【分析】根据等体积法，以内切球球心为顶点，每个三棱锥的面为底面，作小三棱锥，利用小棱锥的体积之和为三棱锥的体积，可解得内切球的半径，可得到答案.【详解】设四面体ABCD的内切球的半径为，在长方体中，由，，则，，故除四面体ABCD之外，可得到体积相同的四个三棱锥，可设一个其体积为，则，设长方体的体积为，故四面体ABCD的体积：，因为，，所以四面体ABCD所有面的面积相同，在中，，则，故，对于四面体ABCD的体积：，解得，四面体ABCD的内切球的体积为，故答案为：.【变式训练4-1】．（2022·江苏·华罗庚中学三模）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．三棱锥的体积的最大值为C．不存在点P，使得与平面所成的角为D．三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】对A，分析可得在和中，均为在点时，分别取得最小值，再计算即可对B，通过计算三棱锥的体积来进行判断.对C，通过线面角的知识进行判断.对D，先求的外接圆直径，再根据外接球与直三棱锥的关系求解即可【详解】对A，在中，，故，所以，故当且仅当在时取等号.连接，则，，由余弦定理，，故为钝角，故，当且仅当在时取等号，故当且仅当在时取最小值为，故A正确；对B，，点B到平面的距离为，由，得，得，又，则，故B正确；对C，与平面所成的角即为与平面所成的角，设为，易知当点P与M重合时，最小，此时，当点Р与重合时，最大，此时，此时，故存在点P，使得与平面所成的角为，故C错误；对D，因为平面，故三棱锥的外接球直径与的外接圆直径、高构成直角三角形.由正弦定理，的外接圆直径，设三棱锥的外接球半径为，直径为，则其表面积，故D正确故选：ABD【变式训练4-2】、（2022·河南安阳·高二阶段练习（理）