不等式恒成立问题的基本类型及常用解法

第1讲不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x)＞0在x∈上恒成立f(x)＜0在x∈上恒成立.例1.对于-1≤a≤1,求使不等式()<()恒成立的x的取值范围。练习1：若对于任意a，函数的值恒大于0，求x的取值范围。练习2：对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围。类型2：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)＞0在x∈R上恒成立a＞0 且△＜0;f(x)＜0在x∈R上恒成立a＜0 且△＜0.说明：=1\*GB3①.只适用于一元二次不等式=2\*GB3②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例2.已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。练习3.不等式＜1对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。类型3：分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。练习4．定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.。类型4：a＞f(x)恒成立对x∈D恒成立a＞f(x)，a＜f(x)对x∈D恒成立a＜f(x).说明：=1\*GB3①.f(x)可以是任意函数=2\*GB3②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。例4.已知f(x)=＞0在x∈上恒成立，求实数a的取值范围。练习5.已知x∈时,不等式1+2x+(a-a2).4x＞0恒成立，求实数a的取值范围。分析：要求a的取值范围，如何构造关于a的不等式是关键，利用分离变量的方法可达到目的。类型5：=1\*GB3①.“f(x)＞g(x)对任意x∈D恒成立”可通过分离变量，极端值原理可求得。=2\*GB3②.“f(x1)＞g(x2)对任意x1、x2∈D恒成立”f(x)＞例4.已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中kR若对任意的x[-3,3],都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围；若对任意的x[-3,3],都有f(x)g(x)，求k的取值范围。类型6：能成立问题(部分成立)（存在性问题）1）若在区间上存在实数使不等式f(x)>A成立,即f(x)>A在区间上能成立,f(x)>A2）若在区间上存在实数使不等式f(x)<A成立,即f(x)<A在区间上能成立,f(x)<A例5．已知两个函数，其中为实数.若对于任意,总存在使得成立，求的取值范围.练习5．设函数，且在处取得极值。（1）求实数的值（2）若存在使不等式能成立，求实数m的最小值；类型7、数形结合法1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。例6．设,,若恒有成立,求实数的取值范围.练习8、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。课后练习1．已知．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）对一切的时，恒成立，求实数的取值范围．2．定义在实数集上的函数．（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．3．已知函数，（），令．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值．4．已知函数．（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；（2）已知函数，对于任意，总存在，使得成立，求正实数的取值范围．5．已知函数．（1）当时，求函数的单调增区间；（2）若函数在上的最小值为，求实数的值；（3）若函数在上恒成立，求实数的取值范围．6．已知函数，（为自然对数的底数）（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：参考答案1．试题解析：（Ⅰ），令，解得，∴单调递减区间是；令，解得，∴单调递增区间是；（Ⅱ）由题意:即，可得，设,则，令,得（舍），所以当时,;当时,，当时,取得最大值,=-2．的取值范围是．考点：1、导函数在研究函数的单调性中的应用；2、导函数在研究函数的最值中的应用．2．试题解析：（1）∵,当时，∵∴所求切线方程为．（2）令∴当时，；当时，；当时，；要使恒成立，即．由上知的最大值在或取得．而∴实数m的取值范围．考点：求切线方程及恒成立问题．3．试题解析：（1）当时，，（），由，得，又∵，∴函数的单调递增区间为．（2）关于x的不等式恒成立，即为恒成立，令，，当可得恒成立，递增，无最大值，不成立；当时，，当，，递减，当，，递增，则有取得极大值，且为最大值．由恒成立思想可得，即为，显然不成立，时，即有成立．整数m的最小值为2．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．4．解析：（1），，由于函数在上是单调函数，或对任意恒成立，即或对任意恒成立，或对任意恒成立令，由于，，设因此，所以实数的取值范围为或（2）由（1）知，当时，函数在上为增函数，故，即，当，，所以函数在上是单调递增函数，即对任意，总存在，使得成立，可知，所以，即，故所求正实数的取值范围．考点：1、函数的导数；2、函数的应用；3、恒成立的问题．5．解析：（1）由题意，的定义域为，且．时，∴的单调增区间为．（2）由（1）可知，①若，则，即在上恒成立，在上为增函数，∴，∴（舍去）．②若，则，即在上恒成立，在上为减函数，∴，∴（舍去）．③若，当时，，∴在上为减函数，当时，，∴在上为增函数，∴，∴综上所述，．（3）∵，∴．∵，∴在上恒成立，令，则．∵，∴在上恒成立，∴在上是减函数，∴，即，∴在上也是减函数，∴．∴当在恒成立时，．考点：利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值、导数在最大值、最小值问题中的应用．6.试题分析：（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，即可求函数的最小值；（2）要使对任意的恒成立，则只需求出的最小值即可得到结论．（3）由（2）得，即，当且仅当时，等号成立，令则，所以累加即可得证试题解析：（1）由题意，由得．当时，;当时，．∴在单调递减，在单调递增即在处取得极小值，且为最小值，其最小值为（2）对任意的恒成立，即