2023-2024学年福建厦门灌口中学高二上数学期末考试试题含解析

2023-2024学年福建厦门灌口中学高二上数学期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）A. B.C. D.2．设函数，则和的值分别为（）A.、 B.、C.、 D.、3．已知随机变量，，则的值为（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.764．若，，，则a，b，c与1的大小关系是（）A. B.C. D.5．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）A.2 B.3C.4 D.56．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.7．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.489．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.10．如图，在空间四边形OABC中，，，，点N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，则（）A. B.C. D.11．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（）A. B.C. D.12．已知，向量，，若，则x的值为（）A.-1 B.1C.-2 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________14．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.15．分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线、，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________16．已知向量、满足，，且，则与的夹角为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直四棱柱中，底面是边长为的正方形，点在棱上.（1）求证：；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作已知，使得平面，并给出证明.条件①：为的中点；条件②：平面；条件③：.（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）在等差数列中，已知公差，前项和(其中)（1）求；（2）求和：19．（12分）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，A，C成等差数列.（1）求A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.20．（12分）已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.21．（12分）等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和.22．（10分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，E为的中点（1）若，证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值.【详解】设为第一象限的交点，、，则、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，当且仅当，即，时等号成立，此时故选：D2、D【解析】求得，即可求得、的值.【详解】，则，则，故，.故选：D.3、A【解析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.【详解】因随机变，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正态分布的对称性得：，所以的值为0.24.故选：A4、C【解析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.【详解】令，则当时，，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增,而，由可知，故作出函数大致图象如图：由图象易知，，故选：C.5、C【解析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，不妨设则，解之得代入，可得整理得，即，也就是故选：C6、D【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.【详解】由，所以直线的斜率为，由，所以直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，故选：D7、B【解析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B8、C【解析】频率跟实验次数有关，概率是一种现象的固有属性，与实验次数无关，即可得到答案.【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为.故选：C9、B【解析】设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出【详解】如图所示：设点P到准线的距离为，准线方程为，所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为故选：B10、D【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：∵N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，且，，，故选：D.11、D【解析】判断点M与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB的斜率即可计算作答.【详解】显然点椭圆内，设点，依题意，，两式相减得：，而弦恰好被点平分，即，则直线AB的斜率，直线AB：，即，所以所在的直线方程为.故选：D12、D【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】因向量，，，则，解得，所以x的值为2.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设出直线AB的方程，联立椭圆方程得到A点横坐标满足，再利用，解方程即可得到答案.【详解】设直线AB的方程为：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案为：14、【解析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，①步：即步两阶，有种；②步：即步两阶与步一阶，有种；③步：即步两阶与步一阶，有种；④步：即步两阶与步一阶，有种；⑤步：即步两阶与步一阶，有种；⑥步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：15、【解析】根据条件可知以为直径的圆在椭圆的内部，可得，再根据，即可求得离心率的取值范围.【详解】根据条件可知，以为直径的圆与椭圆没有交点，即，即，，即.故填：.【点睛】本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.16、##【解析】根据向量数量积的计算公式即可计算.【详解】，，.故答案为：﹒三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）连结，，由直四棱柱的性质及线面垂直的性质可得，再由正方形的性质及线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）选条件①③，设，连结，，由中位线的性质、线面垂直的性质可得、，再由线面垂直的判定证明结论；选条件②③，设，连结，由线面平行的性质及平行推论可得，由线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论；（3）构建空间直角坐标系，求平面、平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】连结，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又为正方形，即，又，∴平面，又平面，∴.【小问2详解】选条件①③，可使平面.证明如下：设，连结，，又，分别是，的中点，∴.又，所以.由（1）知：平面，平面，则.又，即平面.选条件②③，可使平面.证明如下：设，连结.因为平面，平面，平面平面，所以，又，则.由（1）知：平面，平面，则.又，即平面.【小问3详解】由（2）可知，四边形为正方形，所以.因为，，两两垂直，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，.由（1）知：平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，令，则.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）12（2）18【解析】（1）根据已知的,利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和.【小问1详解】由题意可得，在等差数列中，已知公差，前项和所以，解之得，所以n=12【小问2详解】由（1）可知数列{an}的通项公式为，所以即19、（1）（2）【解析】（1）由等差数列的性质结合内角和定理得出A的大小；（2）先由余弦定理，结合，，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.【小问1详解】因为B，A，C成等差数列，所以，所以.【小问2详解】因为，，由余弦定理可得：；又的面积为，所以，所以，所以,所以周长为.20、（1）；（2）或.【解析】（1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标.【详解】（1）由双曲线方程可得，，所以，解得.则曲线的右焦点为，所以，.因此，抛物线的标准方程为；（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.代入抛物线方程可得，解得，所以点的坐标为或.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意求出首项和公比即可得出通项公式；（2）可得是等差数列，利用等差数列前n项和公式即可求出.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，则，由题意得，解得，因此，；（2），则，所以，数列是等差数列，首项，记数列前项和为，则.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点F，连接．先证明，，即证平面，原题即得证；（2）分别取的中点G，H，连接，证明为直线与平面所成的角，设正方形的边长为1，，在中，，即得解.【小问1详解】解：取的中点F，连接因为，则为正三角形，所以因为平面平面，则平面