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文档简介
2023-2024学年大连育明中学高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆:的左、右焦点分别为、,为坐标原点,为椭圆上一点.与轴交于一点,,则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.2.命题;命题.则A.“或”为假 B.“且”为真C.真假 D.假真3.已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,且,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是()A. B.C. D.5.若构成空间的一个基底,则下列向量能构成空间的一个基底的是()A.,, B.,,C.,, D.,,6.下列命题中的假命题是()A.若log2x<2,则0<x<4B.若与共线,则与的夹角为0°C.已知各项都不为零的数列{an}满足an+1-2an=0,则该数列为等比数列D.点(π,0)是函数y=sinx图象上一点7.已知函数,则的单调递增区间为().A. B.C. D.8.已知是抛物线:的焦点,直线与抛物线相交于,两点,满足,记线段的中点到抛物线的准线的距离为,则的最大值为()A. B.C. D.9.圆锥曲线具有丰富的光学性质,从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.直线l:与椭圆C:相切于点P,椭圆C的焦点为,,由光学性质知直线,与l的夹角相等,则的角平分线所在的直线的方程为()A. B.C. D.10.不等式的解集为()A. B.C. D.11.在等差数列中,为其前项和,若.则()A. B.C. D.12.已知实数,,则下列不等式恒成立的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”,平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线,如下图(1)所示.如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案,它的画法是这样的:正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第3个正方形MNPQ,依此方法一直继续下去,就可以得到阴影部分的图案.如图(2)阴影部分,设直角三角形AEH面积为,直角三角形EMQ面积为,后续各直角三角形面积依次为,…,,若数列的前n项和恒成立,则实数的取值范围为______.14.如图,在正四棱锥中,为棱PB的中点,为棱PD的中点,则棱锥与棱锥的体积之比为______15.若,,三点共线,则m的值为___________.16.曲线围成的图形的面积为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知:,椭圆,双曲线.(1)若的离心率为,求的离心率;(2)当时,过点的直线与的另一个交点为,与的另一个交点为,若恰好是的中点,求直线的方程.18.(12分)已知动圆过定点,且与直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程;(2)直线过点与曲线相交于两点,问:在轴上是否存在定点,使?若存在,求点坐标,若不存在,请说明理由.19.(12分)已知斜率为1的直线交抛物线:()于,两点,且弦中点的纵坐标为2.(1)求抛物线的标准方程;(2)记点,过点作两条直线,分别交抛物线于,(,不同于点)两点,且的平分线与轴垂直,求证:直线的斜率为定值.20.(12分)设二次函数.(1)若是函数的两个零点,且最小值为.①求证:;②当且仅当a在什么范围内时,函数在区间上存在最小值?(2)若任意实数t,在闭区间上总存在两实数m,n,使得成立,求实数a的取值范围.21.(12分)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置,如图2所示,并使得平面BDC′⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=.图1图2(1)求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值;(2)在线段AD上是否存在一点M,使得⊥平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.22.(10分)某企业2021年年初有资金5千万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后,剩余资金投入再生产.设从2021年的年底起,每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为,,,…(1)写出,,,并证明数列是等比数列;(2)至少到哪一年的年底,企业的剩余资金会超过21千万元?(lg
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由椭圆的性质可先求得,故可得,再由椭圆的定义得a,c的关系,故可得答案【详解】,,又,,则,,则,,由椭圆的定义得,,,故选:C2、D【解析】命题:可能为0,不为0,假命题,命题:,为真命题,所以“或”为真命题,“且”为假命题.选D.3、B【解析】根据垂直关系的性质可判断.【详解】由题,,则或,若,则或或与相交,故充分性不成立;若,则必有,故必要性成立,所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.4、D【解析】将本题转化为直线与半圆的交点问题,数形结合,求出的取值范围【详解】将曲线的方程化简为即表示以为圆心,以2为半径的一个半圆,如图所示:当直线经过时最大,即,当直线与下半圆相切时最小,由圆心到直线距离等于半径2,可得:解得(舍去),或结合图象可得故选:D.5、B【解析】由空间向量内容知,构成基底的三个向量不共面,对选项逐一分析【详解】对于A:,因此A不满足题意;对于B:根据题意知道,,不共面,而和显然位于向量和向量所成平面内,与向量不共面,因此B正确;对于C:,故C不满足题意;对于D:显然有,选项D不满足题意.故选:B6、B【解析】四个选项中需要分别利用对数函数的性质,向量共线的定义,等比数列的定义以及三角函数图像判断,根据题意结合知识点,即可得出结果.【详解】选项A,由于此对数函数单调递增,并且结合对数函数定义域,即可求得结果,所以是真命题;选项B,向量共线,夹角可能是或,所以是假命题;选项C,将式子变形可得,符合等比数列定义,所以是真命题;选项D,将点代入解析式,等号成立,所以是真命题;故选B.【点睛】本题考查命题真假的判定,根据题意结合各知识点即可判断真假,需要熟练掌握对数函数、等比数列、向量夹角以及三角函数的基本性质.7、D【解析】利用导数分析函数单调性【详解】的定义域为,,令,解得故的单调递增区间为故选:D8、C【解析】设,过点,分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,进而得,再结合余弦定理得,进而根据基本不等式求解得.【详解】解:设,过点,分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,则,因为点为线段中点,所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为,因为,所以在中,由余弦定理得,所以,又因为,所以,当且仅当时等号成立,所以,故.所以的最大值为.故选:C【点睛】本题考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,余弦定理,基本不等式,考查运算求解能力,是中档题.本题解题的关键在于根据题意,设,进而结合抛物线的定于与余弦定理得,,再求最值.9、A【解析】先求得点坐标,然后求得的角平分线所在的直线的方程.【详解】,直线的斜率为,由于直线,与l的夹角相等,则的角平分线所在的直线的斜率为,所以所求直线方程为.故选:A10、A【解析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】,故选:A.11、C【解析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.【详解】由等差数列的性质和求和公式可得.故选:C.12、C【解析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时,不等式不成立,错误;,故错误正确;当时,不等式不成立,错误;故选:.【点睛】本题考查了不等式的性质,作差法判断大小,意在考查学生对于不等式知识的综合应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、或【解析】先求正方形边长的规律,再求三角形面积的规律,从而就可以求和了,再解不等式即可求解.【详解】由题意,由外到内依次各正方形的边长分别为,则,,……,,于是数列是以4为首项,为公比的等比数列,则.由题意可得:,即……,于是.,故解得或.故答案为:或14、【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比,即可求出结果【详解】如图所示:棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到,设正四棱锥的体积为,为PB的中点,为PD的中点,所以,而,同理,故棱锥的体积的为,即棱锥与棱锥的体积之比为故答案为:.15、【解析】根据三点共线与斜率的关系即可得出【详解】由,,三点共线,可知所在的直线与所在的直线平行,又,由已知可得,解得故答案为:16、##【解析】曲线围成图形关于轴,轴对称,故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程,方程不发生改变,故曲线关于轴,轴对称,因此只需求出第一象限的面积即可.当,时,曲线可化为:,表示的图形为一个半圆,围成的面积为,故曲线围成的图形的面积为.故答案:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)或【解析】(1)有椭圆的离心率可以得到,的关系,在双曲线中方程是非标准的方程,注意套公式时容易出错.(2)联立方程分别解得P,Q两点的横坐标,利用中点坐标公式即可解得斜率值.【小问1详解】椭圆的离心率为,,在双曲线中因为,.【小问2详解】当时,椭圆,双曲线.当过点的直线斜率不存在时,点P,Q恰好重合,坐标为,所以不符合条件;当斜率存在时,设直线方程为,,联立方程得,利用韦达定理,所以;同理联立方程,韦达定理得,所以由于是的中点,所以,所以,即,化简得,所以直线方程为或.18、(1);(2)存在,.【解析】(1)利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出;(2)假设存在点,满足题设条件,设直线的方程,根据韦达定理即可求出点的坐标【小问1详解】设动圆的圆心,依题意:化简得:,即为动圆的圆心的轨迹的方程【小问2详解】假设存在点,满足条件,使①,显然直线斜率不为0,所以由直线过点,可设,由得设,,,,则,由①式得,,即消去,,得,即,,,存在点使得19、(1);(2)见解析.【解析】(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;(2)由的平分线与轴垂直,可知直线,的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立,解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值.【详解】(1)设,则,两式相减,得:由弦中点纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.(2)由的平分线与轴垂直,可知直线,的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理.直线的斜率为定值.【点睛】本题考查应用点差法处理中点弦问题,直线与抛物线中,斜率为定值问题,考查分析问题的能力,考查学生的计算能力,难度较难.20、(1)①证明见解析;②(2)【解析】(1)①根据二次函数的性质和一元二次方程的求根公式,求得,即可证得;②由①知,区间,根据二次函数的性质,即可求解.(2)存在两实数,使得成立,转化为在区间上,有成立,设﹐结合二次函数的图象与性质,分类讨论,即可求解.【小问1详解】解:①由题意,函数二次函数,因为最小值为,可得,即,因为,所以根据求根公式得,所以.②由①知,区间因为,对称轴,且函数在区间上存在最小值,所以,因为,所以解得,所以,即a的取值范围为.【小问2详解】解:存在两实数,使得成立,则在区间上,有成立,设﹐函数对称轴为①当即时,在上单调减,,此时;②当即时,,此时③当即时,,此时;④当即时,,此时;综合①②③④得,且最小值为,因为对任意实数t,都有,所以只需,即,所以实数a的取值范围.21、(1)(2)不存在,理由见解析【解析】(1)利用垂直关系,以点为原点,建立空间直角坐标系,分别求平面和平面的法向量和,利用公式,即可求解;(2)若满足条件,,利用向量的坐标表示,判断是否存在点满足.【小问1详解】∵,E为BD的中点∴CE⊥BD,又∵平面⊥平面ABD,平面平面,⊥平面,∴⊥平面ABD,如图以E原点,分别以EB、AE、EC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),(0,0,),∴=(-1,-,2),=(-1,0,),=(1,,0),设平面的法向量为=(x,y,z),则,取z=1,得平面的一个法向量=(,1,1),设平面FBA的法向量为=(a,b,c),则取b=1,得平面FBA的一个法向量为=(-,1,0),∴设平面ABD与平面的夹角为θ,则∴平面ABD与平面夹角的余弦值为.【小问2详解】假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得平面,设(0≤λ≤1),则(x,y+,z)
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