2023-2024学年广东省佛山一中数学高二上期末教学质量检测试题含解析

2023-2024学年广东省佛山一中数学高二上期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，某铁路客运部门设计的从甲地到乙地旅客托运行李的费用c（元）与行李质量w（kg）之间的流程图．已知旅客小李和小张托运行李的质量分别为30kg，60kg，且他们托运的行李各自计费，则这两人托运行李的费用之和为（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元2．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.3．已知直线，若异面，，则的位置关系是（）A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面4．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面宽米，若水面下降6米，则水面宽()A.米 B.米C.米 D.米5．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于A. B.C. D.6．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（）A. B.C. D.7．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（）A.5 B.10C.8 D.98．在等比数列中，，，则等于（）A.90 B.30C.70 D.409．函数，的值域为（）A. B.C. D.10．在平面直角坐标系中，直线+的倾斜角是（）A. B.C. D.11．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.8 B.16C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为___________.14．若椭圆：的长轴长为4，焦距为2，则椭圆的标准方程为______.15．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________16．已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由18．（12分）如图在直三棱柱中，为的中点，为的中点，是中点，是与的交点，是与的交点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求直线与平面的距离.19．（12分）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答设等差数列的前n项和为，，______；设数列的前n项和为，（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20．（12分）已知数列是等差数列，（1）求的通项公式；（2）求的最大项21．（12分）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.（1）求圆M的方程；（2）若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.22．（10分）已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式及前项的和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据程序框图分别计算小李和小张托运行李的费用，再求和得出答案.【详解】由程序框图可知，当时，元；当时，元，所以这两人托运行李的费用之和为元.故选：D2、D【解析】利用抽样的性质求解【详解】所有学生数为，所以所求概率为.故选：D3、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D4、B【解析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，求出双曲线方程，数形结合即可求解.【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，设双曲线标准方程为：(a＞0)，则顶点，，将A点代入双曲线方程得，，当水面下降6米后，，代入双曲线方程得，，∴水面宽：米.故选：B.5、D【解析】不妨设双曲线方程为，则，即设焦点为，渐近线方程为则又解得．则焦距为．选：D6、A【解析】利用向量的加法法则直接求解.【详解】在四面体中，，分别是，的中点，故选：A7、B【解析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】从甲车间抽取的人数为人故选：B8、D【解析】根据等比数列的通项公式即可求出答案.【详解】设该等比数列的公比为q，则，则.故选：D9、A【解析】利用基本不等式可得，进而可得，即求.【详解】∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴，，∴.故选：A.10、B【解析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角【详解】由直线方程知直角斜率为，在上正切值为1的角为，即为倾斜角故选：B11、B【解析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答.【详解】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，所以.所以.故选：B.12、C【解析】画出直观图，利用椎体体积公式进行求解.【详解】画出直观图，为四棱锥A-BCDE，其中BC=4，BE=2，AE=2，且BE，AE，DE两两垂直，故体积为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.【详解】由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，∴“欧拉线”的方程为.故答案为：.14、【解析】由焦距可得c，长轴长得到a，再根据可得答案.【详解】因为椭圆的长轴长为4，则，焦距为2，由，得，则椭圆的标准方程为：.故答案为：.15、##0.4【解析】设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.【详解】设，则，从而，解得：，所以故答案为：16、（1）；（2）.【解析】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案；（2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程.【小问1详解】设C点的坐标为，则由题知，即.【小问2详解】设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程则由题知，即，又，则，所以直线BC方程为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的单位向量，从而可证明线面平行.(2)令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.【详解】证明：过作于点，则，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，

，，，∵为的中点．∴．则，，，设平面的法向量为，则令，则，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，设，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量为.∵直线与平面所成角的正弦值为，∴，化简得，即，∵，∴，故【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行，考查了平面法向量的求解，属于中档题.18、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】（1）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过线面垂直证明，法三:根据三垂线证明；（2）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过面面平行证明线面平行；（3）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量方法求解，法二：运用等体积法求解.【小问1详解】证明：法一：在直三棱柱中，因为，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以，所以所以，所以.法二：连接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，则，因为，所以面因为面，所以因为，所以四边形为正方形，所以因为，所以面因为面，所以.法三：用三垂线定理证明：连接，在直三棱柱中，有面因为面，所以，又，则，因为，所以面所以在平面内的射影为，因为四边形为正方形，所以，因此根据三垂线定理可知【小问2详解】证明：法一：因为为的中点，为的中点，为中点，是与的交点，所以、，依题意可知为重心，则，可得所以，，设为平面的法向量，则即取得则平面的一个法向量为.所以，则，因为平面，所以平面.法二：连接.在正方形中，为的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以又为中点，所以四边形是矩形，所以且因为且，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为，平面平面平面平面，所以平面平面，平面，所以平面【小问3详解】法一：由（2）知平面的一个法向量，且平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等，，所以，所以点到平面的距离所以到平面的距离为法二：因为分别为和中点，所以为的重心，所以，所以到平面的距离是到平面距离的.取中点则，又平面平面，所以平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等.设点到平面的距离为，由得，又，所以，所以到平面的距离是，所以到平面的距离为.19、（1）条件选择见解析，，（2）【解析】（1）设数列的首项为，公差为d，选①由求解；选②由求解；选③由求解；则，由，利用数列通项与前n项和公式求解；（2）易知，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解：设数列的首项为，公差为d，选①得，则，选②得，则，选③得，则，所以数列的通项公式为因为，所以当时，，则当时，，则，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以【小问2详解】因为，所以数列的前n项和①②①-②得∴，则20、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式进行求解即可；（2）运用二次函数的性质进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，所以有，所以；【小问2详解】由（1）可知：，当时，有最大项，最大项为：.21、（1）.（2）.【解析】（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.【小问1详解】解：设圆M的方程为，则圆心依题意得