2023-2024学年安徽滁州市定远县西片三校高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2023-2024学年安徽滁州市定远县西片三校高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为A B.C. D.2．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B.C. D.3．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（）A.6 B.12C.36 D.485．如图，在平行六面体中，（）A. B.C. D.6．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.40427．数列满足，，，则数列的前8项和为（）A.25 B.26C.27 D.288．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C D.9．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.10．“”是“直线：与直线：平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．下列命题中正确的是（）A.若为真命题，则为真命题B.在中“”是“”的充分必要条件C.命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”D.命题，使得，则，使得12．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是__________14．在等比数列中，已知，则__________15．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为___________海里.16．半径为的球的体积为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）讨论的单调性：（2）若对恒成立，求的取值范围18．（12分）各项都为正数的数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求使成立的的最小值.19．（12分）已知圆.（1）求过点M（2，1）的圆的切线方程；（2）直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；（3）已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.（1）求证：平面PAD；（2）求直线AB与平面PCE所成角的正弦值；21．（12分）如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为.（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）22．（10分）已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求（O为坐标原点）的面积的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果.【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为，因为，所以，即，由可得，，故所求椭圆的方程为.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.2、A【解析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，故选：A3、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A4、C【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，所以，即，当且仅当时等号成立.所以mn的最大值为.故选：C5、B【解析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量【详解】连接，可得，又，所以故选：B.6、C【解析】根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.【详解】因为是等差数列且，，所以，，.故选：C.7、C【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.故选：C8、C【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.【详解】对任意，都有成立，即令，则，所以函数在上单调递增不等式即，即因为，所以所以，，解得，所以不等式的解集为故选：C.9、C【解析】利用函数的奇偶性求出，求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用点斜式即可求出结果【详解】函数的定义域为，若为奇函数，则则，即，所以，所以函数，可得；所以曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即故选：C10、C【解析】根据两直线平行求得的值，由此确定充分、必要条件.【详解】由于，所以，当时，两直线重合，不符合题意，所以.所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.故选：C11、B【解析】A选项，当一真一假时也满足条件，但不满足为真命题；B选项，可以使用正弦定理和大边对大角，大角对大边进行证明；C选项，利用逆否命题的定义进行判断，D选项，特称命题的否定，把存在改为任意，把结论否定，故可判断D选项.【详解】若为真命题，则可能均为真，或一真一假，则可能为真命题，也可能为假命题，故A错误；在中，由正弦定理得：，若，则，从而，同理，若，则由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要条件，B正确；命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，故C错误；命题，使得，则，使得，故D错误.故选：B12、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点，方程有两个根，，分离参数得，与图象有两个交点，令，，令，解得当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，且在处取得极大值及最大值，可以画出函数的大致图象如下：观察图象可以得出.故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】取的中点G，连接FG，BG，FB，由正方体的几何特征，易证平面AEC//平面BFG，再根据是侧面内一点（含边界），且平面，得到点P在线段BG上运动，然后在等腰中求解.【详解】如图所示：取的中点G，连接FG，BG，FB，在正方体中，易得又因为平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理证得平面BFG，又因为，所以平面AEC//平面BFG，因为是侧面内一点（含边界），且平面，所以点P线段BG上运动，如图所示：在等腰中，作，且，所以，设点F到线段BG的距离为d，由等面积法得，解得，所以线段长度的取值范围是，故答案为：14、32【解析】根据已知求出公比即可求出答案.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以.故答案为：32.15、【解析】利用正弦定理求得甲驱逐舰与乙护卫舰的距离.【详解】，设甲乙距离，由正弦定理得.故答案为：16、【解析】根据球的体积公式求解【详解】根据球的体积公式【点睛】球的体积公式三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可；（2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，当时，令，得，令，得；当时，令，得，令，得综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减【小问2详解】解：由（1）知，函数在上单调递增，则，所以对恒成立等价于对恒成立设函数，则，设，则，则在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所以；故，即的取值范围是18、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用数列的递推关系式，结合等差数列的定义，即可求得数列的通项公式；（2）化简，结合裂项相消法求出数列的和；（3）利用分组法求得，结合，即可求得的最小值.【小问1详解】解：因为各项都为正数的数列的前项和为，且满足，当时，解得；当时，；两式相减可得，整理得（常数），故数列是以2为首项，2为公差的等差数列；所以.【小问2详解】解：由，可得，所以，所以.【小问3详解】解：由，可得，所以当为偶数时，，因为，且为偶数，所以的最小值为48；当为奇数时，，不存在最小的值，故当为48时，满足条件.19、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解析】(1)将圆的一般方程化为圆的标准方程，结合图形即可求出结果；(2)根据题意可知直线过圆心，利用直线的两点式方程计算即可得出结果；(3)设圆E的圆心E（a，1），根据题意可得圆E的半径为，结合圆与圆的位置关系和两点距离公式计算求出，进而得出圆的标准方程.【小问1详解】圆，即，其圆心为，半径为1.因为点（2，1）在圆上，如图，所以切线方程为y=1；【小问2详解】由题意得，圆的直径为2，所以直线过圆心，由直线的两点式方程，得，即直线的方程为x+y-2=0；【小问3详解】因为圆E的圆心在直线y=1上，设圆E的圆心E（a，1），由圆E与y轴相切，得R=a()又圆E与圆相外切，所以，由两点距离公式得，所以，解得，所以圆心，，所以圆E的方程为.20、（1）证明见详解（2）【解析】（1）将线面平行转化为面面平行，由已知易证；（2）延长相交与点F，利用等体积法求点A到平面PCE，然后由可得.【小问1详解】四边形ABCD为正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小问2详解】延长相交与点F，因为，所以分别为的中点.记点到平面PCF为d，直线AB与平面PCE所成角为，则.易知，，，，因为平面ABCD，所以，所以因为，所以由得：即，得所以22.21、（1）（2）【解析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可（2）利用三角形的中位线性质，先求出二面角，然后利用二面角与二面角的互补关系即可求得【小问1详解】根据母线SA与底面所成的角为，且底面圆的半径可得：则圆锥的侧面积为：【小问2详解】如图所示，过点作底面的垂线交于，连接，则为的中位线则有：，，易知，则，又直径AB与直径CD垂直，则则有：为二面角可得：又二面角与二面角互为补角，则二面角的余弦值为故二面角大小为22、（1）；（2）1.【解析】(1)根据给定条件结合列式计算得解.(2)设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答.【小问1详解】椭圆C的