含参不等式的解法举例

第4页（共6页）含参不等式专题（淮阳中学）编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。含参数的一元二次不等式的解法：1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑）例1、解关于的不等式。解：为方程的两个根（因为与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当时，不等式的解集为（2）当时，不等式的解集为（3）当时，不等式的解集为综上所述：（1）当时，不等式的解集为（2）当时，不等式的解集为（3）当时，不等式的解集为变题1、解不等式；2、解不等式。小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。例2、解关于的不等式分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解(1)当有两个不相等的实根。所以不等式：(2)当有两个相等的实根，所以不等式，即；(3)当无实根所以不等式解集为。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。小结：讨论，即讨论方程根的情况。2．二次项系数含参数（先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑）例3、解关于的不等式：解：若，原不等式若，原不等式或若，原不等式二、含参数的分式不等式的解法：例1：解关于x的不等式分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax－1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于当=0时，原不等式等价于解得，此时原不等式得解集为{x|}；当>0时,原不等式等价于,则：当原不等式的解集为；当0<原不等式的解集为；当原不等式的解集为；当<0时,原不等式等价于，则当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为；小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。牛刀小试：解关于x的不等式思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数分两级讨论：先按>1和<1分为两类，再在<1的情况下，又要按两根与2的大小关系分为三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直