具有逆断面的总则

具有逆断面的总则

1逆断在弱可乘正解中的应用1982年，蜀鹤和mcfadan引入了“s正半组”的概念，即。在s的正半组中，s的逆截面称为s的逆截面。如果s的每个元素都包含一个唯一的逆元素，则反截面的概念被引入以来，国内外许多科学家研究了该组，并取得了许多重要的结果。1985年，赛德引入了一个可乘反截面的概念，并获得了逆截面是可乘的充要条件。1989年，萨德通常提供了一个基于逆截面的正常半组结构理论。1994年，蜀尔特和阿尔莫纳斯研究了弱势代表的逆截面。我们可以利用逆截面来执行正截面。1999年，陈建飞引入了正截面的概念。这是反截面概念的推广，类似于逆截面，因此，可以引入纯文本、弱文本的概念。本工作的主要目标是引入和研究正半组的弱复合截面。设S是正则半群,So是S的子半群.对于任意x∈S,集合So∩V(x)记作VSo(x),VSo(x)中的元素记为xo,并且记如果对任意x∈S,|VSo(x)|=1,则称So为S的逆断面,其中V(x)表示x的逆元的集合.设S是半群.则S的子半群So称为S的纯正断面,如果满足下列条件:(1.1)(∀a∈S)VSo(a)≠∅;(1.2)∀a,b∈S,若{a,b}∩So≠∅,则VSo(a)VSo(b)⊆VSo(ba).如果So是S的纯正断面,那么由条件(1.1)知S是正则半群;由条件(1.2)知So是S的纯正子半群.如果SoSSo⊆So,则称S的子半群So为S的拟理想.2饱和断面的可乘性定义1设S是具有纯正断面So的正则半群.如果满足则称So是可乘的,其中E(So)是So的幂等元的带.定义2设S是具有纯正断面So的正则半群.如果满足则称So是弱可乘的,其中E(So)是So的幂等元的带.众所周知,集合I和Λ在逆断面与纯正断面的研究中起着重要作用.利用I和Λ,纯正断面So是可乘的,弱可乘和拟理想可以等价地定义.纯正断面So是(1)可乘的如果ΛI⊆E(So).(2)弱可乘的如果VSo(ΛI)⊆E(So).(3)拟理想如果ΛI⊆So.显然如果So是正则半群S的可乘纯正断面,那么So是弱可乘的且So是S的拟理想.定理2.1设S是具有弱可乘纯正断面So的正则半群.则对∀e∈E(S),有VSo(e)⊆E(So).证明对任意的e∈E(S),取eo∈VSo(e),则eo=eoeeo=eoeeeo.因为So是弱可乘的,所以eo在So中只有幂等的逆元.但So是纯正的且eo∈So,故eo是幂等元.定理2.2设S是具有纯正断面So的正则半群.则So是可乘的充要条件是So是S的拟理想且对任意的e∈E(S),有VSo(e)⊆E(So).证明若So是可乘的,则对任意的e∈E(S),eo∈VSo(e),有eo=eoeeo=eoeeeo∈E(So).反之,令e∈Λ,f∈I且x∈VSo(ef),则(fxe)2=fxe且ef∈V(fxe)∩So.由假设ef是幂等元.故ΛI⊆E(So),即So是可乘的.事实上,我们有下面的关于纯正断面是可乘的与弱可乘的和拟理想的关系.定理2.3纯正断面So是可乘的充要条件是So是弱可乘的且So是拟理想.证明必要性显然.假设So是弱可乘的且So是拟理想,则由定理2.1知对任意的e∈E(S),有VSo(e)⊆E(So).从而由定理2.2知,So是可乘的.下面给出纯正断面是弱可乘的两个等价条件,它们是具有逆断面的正则半群的相应结果的推广.定理2.4设S是具有纯正断面So的正则半群.则So是弱可乘的充要条件是〈E(S)〉={x∈S:VSo(x)⊆E(So)}.证明假设So是弱可乘的.设x∈S,若VSo(x)⊆E(So),取xo∈VSo(x),则x=xxox=xxo·xox∈〈E(S)〉.另一个包含关系我们需要证明:若VSo(x)∪VSo(y)⊆E(So),则VSo(xy)⊆E(So).设xo∈VSo(x),yo∈VSo(y).因为So是弱可乘纯正断面,所以有VSo(xoxyyo)⊆E(So).取(xoxyyo)o∈VSo(xoxyyo),则由So是纯正的且xo,yo和(xoxyyo)o是S的幂等元可知yo(xoxyyo)oxo∈E(So).但yo(xoxyyo)oxo∈V(xy),故VSo(xy)中包含幂等元.从而由文献的推论2.1可知,它只包含幂等元.反之,对任意的x,y∈S,xo∈VSo(x),yo∈VSo(y),有xox∈E(S),yyo∈E(S),故xoxyyo∈〈E(S)〉.由假设可知VSo(xoxyyo)⊆E(So).故So是弱可乘的.在这种情况下,E(So)是〈E(S)〉的纯正断面,因为由定理2.4可知条件(1.1)满足,由纯正断面的定义可知条件(1.2)也满足.定理2.5设S是具有纯正断面So的正则半群.则So是弱可乘的充要条件是IΛ={ef:e∈I,f∈Λ}是S的幂等生成的子半群且具有纯正断面E(So).证明假设So是弱可乘的,取x∈〈E(S)〉,则由定理2.4知VSo(x)⊆E(So).取xo∈VSo(x),则有x=xxox=xxo·xox∈IΛ,且显然有IΛ⊆〈E(S)〉.反之,取x∈〈E(S)〉,则存在a,b∈S,ao∈VSo(a)和bo∈VSo(b),使得x=aaobob.对任意的aoo∈VSo(ao),boo∈VSo(bo),有bobooaooao∈E(So)且bobooaooao∈VSo(x).由文献的推论2.1可知VSo(x)⊆E(So),从而由定理2.4的证明知,So是弱可乘的.对逆断面而言,若S是纯正半群,则所有的逆断面都是弱可乘的.对纯正断面也有类似的结论.定理2.6设S是具有纯正断面So的正则半群.若S是纯正的,则So是弱可乘的.证明对∀x,y∈S与∀xo∈VSo(x),yo∈VSo(y),因S是纯正的,故xoxyyo∈E(S),从而VSo(xoxyyo)⊆E(S).且同时有VSo(xoxyyo)⊆So,故VSo(xoxyyo)⊆E(S)∩So=E(So).由定义,So是弱可乘的.推论设S是具有纯正断面So的纯正半群.则So可乘的充要条件是So是拟理想.3群sing22r的电子鼻sing12r最后,给出一个具有弱可乘但非可乘的纯正断面的纯正半群的例子,且此纯正断面既不是纯正半群本身也不是逆断面.在此例中,利用了奇异实2×2矩阵的半群Sing2×2R,且用Sing*2×2R表示其矩阵中(1,1)位置元素不为0的矩阵的集合.例设S1是Sing*2×2R的子集,表为令S=S1∪